Chuyên đề:
phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình
và hệ bất phơng trình
Biên soạn :trịnh xuân tình
Phần I: Phơng trình vô tỉ
Ph
ơng pháp 1:Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:
1/ f x ( ) = g x ( ) ⇔ ( )
≥
=
2/ f x ( ) + g x ( ) = h x ( ) Bình phơng hai vế
1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x 17 8x 23 + = −
2-(ĐH Cảnh sát -1999) x2 + x2 + 11 31 =
3-(HVNHHCM-1999) − + x2 4x 2 2x + =
4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt: m − x2 − 3x 2 + = x
5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + mx 2 + = 2x 1 +
6-(ĐGKTQD-2000) 5x 1 − − 3x 2 − − x 1 0 − =
7-(ĐHSP 2 HN) x x 1 ( − + ) x x 2 ( + ) = 2 x2
8-(HVHCQ-1999) x 3 + − 2x 1 − = 3x 2 −
9-(HVNH-1998) 3x 4 + − 2x 1 + = x 3 +
10-(ĐH Ngoại thơng-1999) 3 x x − + 2 − 2 x x + − 2 = 1
Ph
ơng pháp 2: ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
I-Đặt ẩn phụ đ a pt về pt theo ần phụ:
Dạng 1: Pt dạng: ax2 + bx c + = px2 + qx r + trong đó a b
p = q
Cách giải: Đặt t = px2 + qx r + ĐK t 0 ≥
1-(ĐH Ngoại thơng-2000) ( x 5 2 x + ) ( − ) = 3 x2 + 3x
2-(ĐH Ngoại ngữ -1998) ( x 4 x 1 + ) ( + − ) 3 x2 + 5x 2 6 + =
Trang 23-(ĐH Cần thơ-1999) (x 1)(2 x) 1 2x 2x + − = + − 2
4- 4x2 + 10x 9 5 2x + = 2 + 5x 3 + 5- 2 3 2
18x − 18x 5 3 9x + = − 9x 2 +
6- 3x2 + 21x 18 2 x + + 2 + 7x 7 + = 2
Dạng 2: Pt Dạng:α P(x) + β Q(x) + γ P(x).Q(x) = 0 ( αβγ ≠ 0 )
( )
pt
=
* Nếu P x ( ) ≠ 0chia hai vế cho P x ( ) sau đó đặt ( )
( )
Q x t
P x
1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 x − + + = 4 2 − 1
2- 2 x ( 2 − 3x 2 + ) = 3 x3 + 8 3- 2 x ( 2 + 2 ) = 5 x3 + 1
Dạng 3: Pt Dạng :
Cách giải : Đặt t = P x ( ) ± Q x ( ) ⇒ = t2 P x ( ) + Q x ( ) ± 2 P x Q x ( ) ( )
1-(ĐHQGHN-2000) 2 2
3
2-(HVKTQS-1999) 3x 2 − + x 1 4x 9 2 3x − = − + 2 − 5x 2 +
3-(Bộ quốc phòng-2002) 2x 3 + + x 1 3x 2 2x + = + 2 + 5x 3 16 + −
4- 4x 3 + + 2x 1 6x + = + 8x2 + 10x 3 16 + −
5-(CĐSPHN-2001) x 2 − − x 2 + = 2 x2 − − 4 2x 2 +
Dạng 4 : Pt Dạng: a cx + + b cx d a cx b cx − + ( + ) ( − ) = n
Trong đó a, b,c,d, n là các hằng số ,c 0,d 0 > ≠
Cách giải : Đặt t = a cx + + b cx( a b − + ≤ ≤ t 2 a b ( + )
1-(ĐH Mỏ-2001) x + 4 x − 2 = + 2 3x 4 x − 2
Trang 32- 3 x + + 6 x − − ( 3 x 6 x + ) ( − ) = 3
3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt:
x 1 + + 3 x − − ( x 1 3 x + ) ( − ) = m
a/ Giải pt khi m 2 = b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm
4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x + + 8 x − + (1 x)(8 x) + − = a
a/Gpt khi a 3 = b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm
5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm
x 1 − + 3 x − + (x 1)(3 x) − − = m
6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1 + + 4 x − + (x 1)(4 x) 5 + − =
Dạng 5: Pt dạng: x a + − +2 b 2a x b − + x a + − −2 b 2a x b − = cx m +
Trong đó a, b,c, m là hằng số a ≠ 0
Cách giải : Đặt t = x b − ĐK:t 0 ≥ đa pt về dạng:
t a + + − = t a c(t2 + + b) m
1-(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2 − + − − x 1 2 x 2 1 − − − =
2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1 + − − x 2 x 1 2 − − =
3-(ĐHCĐ KD-2005) 2 x 2 2 x 1 + + + − x 1 4 + =
2
+
5- x 3
2
+
6
+
a/ Giải pt khi m 23 = b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm
II-Sử dụng ẩn phụ đ a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số :
1- 6x2 − 10x 5 + − ( 4x 1 6x − ) 2 − 6x 5 0 + =
2-(ĐH Dợc-1999) ( x 3 10 x + ) − 2 = x2 − − x 12
Trang 43-(ĐH Dợc-1997) 2 1 x ( − ) x2 + 2x 1 x − = 2 − 2x 1 −
4- ( 4x 1 − ) x2 + = 1 2x2 + 2x 1 + 5- 2 1 x ( − ) x2 + + = x 1 x2 − 3x 1 −
6-(ĐHQG-HVNH KA-2001) x2 + 3x 1 (x 3) x + = + 2 + 1
III-Sử dụng ẩn phụ đ a về hệ pt:
Dạng 1: Pt Dạng: xn + = a b bx an −
Cách giải: Đặt y = n bx a − khi đó ta có hệ:
n
n
− + =
1-(ĐHXD-DH Huế-1998) x2 − = 1 x 1 +
2- x2 + x 5 5 + = 3- x2 − 2002 2002x 2001 2001 0 − + =
4- (ĐH Dợc-1996) x3 + = 1 2 2x 13 −
ax b + = r ux v + + dx e + trong đó a, u, r 0 ≠
Và u ar d, v br e = + = +
2
2
1-(ĐHCĐ KD-2006) 2x 1 x − + 2 − 3x 1 0 + =
2- 2x 15 32x + = 2 + 32x 20 − 3- 3x 1 + = − 4x2 + 13x 5 −
4- x 5 + = x2 − 4x 3 − 5- x2 = 2 x 2 − +
6- x 1 3 x x − = + − 2
Dạng 3: PT Dạng: n a f x − ( ) +m b f x + ( ) = c
Cách giải: Đặt u = n a f x , v − ( ) = m b f x + ( ) khi đó ta có hệ: u v cn m
+ =
1-(ĐHTCKT-2000) 3 2 x 1 − = − x 1 −
2- 3 x 34 + − 3 x 3 1 − = 3- 3 x 2 − + x 1 3 + =
4- 4 97 x − + 4 x = 5 5- 418 x − + 4 x 1 3 − =
Ph
ơng pháp 3: Nhân l ợng liên hợp:
Dạng 1: Pt Dạng: f x ( ) + ± a f x ( ) = b
Trang 5Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ: ( ) ( )
1- 4x2 + 5x 1 + + 4x2 + 5x 7 3 + = 2- 3x2 + 5x 1 + − 3x2 + 5x 7 − = 2 3- 3- (ĐH Ngoại thơng-1999 ) 3 x x − + 2 − 2 x x + − 2 = 1
4-(ĐH Thơng mại-1998) x2 − 3x 3 + + x2 − 3x 6 3 + =
1
Dạng 2: Pt Dạng: f x ( ) ± g x ( ) = m f x ( ( ) ( ) − g x )
5
+ + − − =
2-(HVKTQS-2001) 3(2 + x 2) 2x − = + x 6 +
Ph
ơng pháp 4:Ph ơng pháp đánh giá:
1- x 2 − + 4 x − = x2 − 6x 11 + 2- x2 + − + x 1 x x − 2 + = 1 x2 − + x 2
3-(ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000) 4x 1 − + 4x2 − = 1 1
4-(ĐH Nông nghiệp-1999) x2 − 2x 5 + + x 1 2 − =
Ph
ơng pháp 5:Ph ơng pháp đk cần và đủ:
1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x + 2 x − = m
2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5 − + 9 x − = m
3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 x + 41 x − + x + 1 x − = m
Ph
ơng pháp 6: Ph ơng pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm)
1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm :
m 1 x ( + 2 − 1 x − 2 + 2 ) = 2 1 x − 4 + 1 x + 2 − 1 x − 2
2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm :
1*/ 4 x − 2 = mx m 2 − + 2*/ x 1 + + x 1 − − 5 x − − 18 3x − = 2m 1 +
3 (ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:
4 2
3 x 1 m x 1 2 x − + + = − 1
4-(ĐHCĐKB-2007) CMR∀ > m 0pt sau có 2nghiệm pb:x2 + 2x 8 − = m(x 2) −
Trang 65- 1*/ x + x 5 − + x 7 + + x 16 14 + =
2*/ x 1 − = − − x3 4x 5 + 3*/ 2x 1 − + x2 + = − 3 4 x
6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: x2 + 2x 4 + − x2 − 2x 4 + = m
Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ
Phơng pháp 1: Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:
1/
2
g(x) 0
f (x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) g (x)
<
>
2/
2
g(x) 0
f (x) g(x) f (x) 0
f (x) g (x)
<
<
3/ f (x) ± g(x) ≥ h(x) Bình phơng hai vế bpt
1-(ĐHQG-1997) − + x2 6x 5 8 2x − > −
2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x − ≤ −
3-(ĐH Luật 1998) x 2x − 2 + > − 1 1 x
4-(ĐH Mỏ-2000) (x 1)(4 x) + − > − x 2
5-(ĐH Ngoại ngữ) x 5 + − x 4 + > x 3 +
6-(ĐHCĐKA-2005) 5x 1 − − x 1 − > 2x 4 −
7-(ĐH Ngoai thơng-2000) x 3 + ≥ 2x 8 − + 7 x −
8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) x 2 + − 3 x − < 5 2x −
9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1 − − 4x 1 3 x − ≤
10-(ĐHBK -1999) x 1 3 + > − x 4 +
11-(ĐHCĐ KA-2004)
2
x 3
Ph ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t ơng đ ơng
Trang 71/ f (x) f (x) 0
0
g(x) 0 g(x)
>
> ⇔ >
f (x) 0 g(x) 0
<
<
2/ f (x) f (x) 0
0
g(x) 0 g(x)
>
< ⇔ <
f (x) 0 g(x) 0
<
>
1
>
> ⇔ >
2*/
B 0 A
1
A 0 B
<
< ⇔ ≥
hay 2
B 0
A 0
A B
>
≥
<
1-(ĐHTCKT-1998) 51 2x x2
1
1 x
− 2-(ĐHXD)
2
2 x
3-(ĐH Ngoại ngữ -1998) 1 1 4x2
3 x
− − < 4-(ĐHSP) 2 x 4x 3
2 x
− + − ≥
Ph
ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:
1-(ĐHSP Vinh-2001)
2 2
x
x 4
2 2x
x 21
3 9 2x 2 < +
3- 4(x 1) + 2 < (2x 10)(1 + − 3 2x) + 2
Ph
ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế :
1-(ĐH An ninh -1998) x2 + − + x 2 x2 + 2x 3 − ≤ x2 + 4x 5 −
2-(ĐHBK-2000) x2 + 3x 2 + + x2 + 6x 5 + ≤ 2x2 + 9x 7 +
3-(ĐH Dợc -2000) x2 − 8x 15 + + x2 + 2x 15 − ≤ 4x2 − 18x 18 +
4-(ĐH Kiến trúc -2001) x2 − 4x 3 + − 2x2 − 3x 1 x 1 + ≥ −
Ph
ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ:
1-(ĐH Văn hoá) 5x2 + 10x 1 7 x + ≥ − 2 − 2x
2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000) 2x2 + 4x 3 3 2x x + − − 2 > 1
3-(HV Quan hệ qt-2000) (x 1)(x 4) 5 x + + < 2 + 5x 28 +
Trang 84-(ĐH Y-2001) 2x2 + x2 − 5x 6 10x 15 − > +
5-(HVNH HCM-1999) x(x 4) − − + x2 4x (x 2) + − 2 < 2
2x
2 x
7-(ĐH Thuỷ lợi) 2 1
2x x
8-(HV Ngân hàng 1999) x 2 x 1 + − + x 2 x 1 3 2 − − >
9- Cho bpt: − 4 (4 x)(2 x) − + ≤ x2 − 2x a 18 + −
a/ Giải bpt khi a 6 =
b/Tìm a để bpt nghiệm đúng ∀ ∈ − x [ 2;4 ]
10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :
(4 x)(6 x) + − ≤ x2 − 2x m + trên[ − 4;6 ]
Ph
ơng pháp 5: Ph ơng pháp hàm số:
1-(ĐH An ninh-2000) 7x 7 + + 7x 6 2 49x − + 2 + 7x 42 181 14x − < −
2- x + x 7 2 x + + 2 + 7x < 35 2x −
3- x 2 + + x 5 2 x + + 2 + 7x 10 5 2x + < −
4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x 2 − + 16 4x − ≤ m
b/ 2x2 + ≤ − 1 m x
Phần III: Hệ Phơng trình
A- một số hệ pt bậc hai cơ bản
I-hệ pt đối xứng loại 1
1*/ Đ ịnh nghĩa : f (x; y) 0
g(x; y) 0
=
Trong đó f (x; y) f (y; x),g(x; y) g(y; x) = =
2*/ Cách giải: Đặt S x y, P xy = + = ĐK:S2 ≥ 4P
Dạng 1: Giải ph ơng trình
Trang 91-(ĐHQG-2000) x y xy 112 2
x x y y 35
x y y x 30
5- (ĐH Ngoại thơng-1997)
1 1
x y
+ + + =
+ + + =
6-(ĐH Ngoại thơng -1998)
Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm:
1-(ĐHCĐKD-2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm: x y 1
x x y y 1 3m
2- Tìm a để hệ sau có nghiệm: x y xy a2 2
3-Cho hệ pt:
xy(x 1)(y 1) m
a/ Giải hệ khi m 12 = b/ Tìm m để hệ có nghiệm
4-Cho hệ pt: x xy y m 12 2
x y y x m
a/ Giải hệ khi m=-2
b/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm ( x; y ) thoả mãn x 0, y 0 > >
Trang 105- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm:
2
6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm:
+ + + =
Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất.
1-(HHVKTQS-2000) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất x y xy m 22 2
x y y x m 1
2-(ĐHQGHN-1999) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất: x xy y 2m 12
3- Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất:
x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2)
Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số :
Nếu ba số x, y, z thoả mãn x y z p, xy yz zx q, xyz r + + = + + = = thì chúng là nghiệm của pt:t3 − pt2 + − = qt r 0
1-Giải các hệ pt sau :
a/
x y z 1
+ + =
+ + = −
+ + =
b/ 2 2 2
x y z 1
+ + =
+ + =
+ + =
c/
x y z 9
xy yz zx 27
1 1 1
1
x y z
+ + =
+ + =
2- Cho hệ pt:
xy yz zx 4
+ + =
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất
CMR: 8 8
x, y, z
II-Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2
Trang 111*/ Định nghĩa f (x; y) 0
g(x; y) 0
=
trong đó :f (x; y) g(y; x),f (y; x) g(x; y) = =
2*/ Cách giải: Hệ pt f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x; y) 0
x y 0
f (x; y) 0
− =
hay
h(x; y) 0
f (x; y) 0
=
Dạng 1: Giải ph ơng trình:
1-(ĐHQGHN-1997)
y
x 3y 4
x x
y 3x 4
y
− =
− =
2-(ĐHQGHN-1998)
3
3
3-(ĐHQGHN-1999)
2x
2y
+ =
+ =
4-(ĐH Thái nguyên-2001)
3
3
+ =
+ =
5-(ĐH Văn hoá-2001) x 1 7 y 4
2
2
8
x 8
y
+ − =
Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:
1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm m để hệ có nghiệm: x 1 y 2 m
2- Tìm m để hệ có nghiệm: 2x y 3 m
Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất
Trang 121-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: ( )2
2
2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
III - Hệ ph ơng trình đẳng cấp:
*/ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng ax2 + bxy cy + 2 = d
*/ Cách giải: Đặt x = ty
*/ Lu ý: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của pt
Dạng 1: Giải ph ơng trình:
1-(ĐHPĐ-2000)
3-(ĐH Mỏ-1998)
Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất
1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm m để hệ sau có nghiệm :
2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:
3-Tìm mđể hệ sau có nghệm diuy nhất:
B- Một số ph ơng pháp giải hệ pt :
Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp thế:
1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt: x y m 12 2 2
+ = +
Trang 131/ Giải hệ khi m 3 =
2/Tìm m để hệ trên có nghiệm
2-(ĐHCĐKB-2002)
3
4-(ĐH Huế-1997) Tìm k để hệ sau có nghiệm:
x y k
5-(ĐH Thơng mại-2000) Cho hệ pt: x my m2 2
a GiảI hệ khi m 1 = b Biện luận số nghiệm của pt
c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt (x ; y );(x ; y )1 1 2 2 tìm m để :
A (x = 2 − x )1 2 + (y2 − y )1 2 đạt giá tri lớn nhất
6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt: x y 13 3
+ =
Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
1-(ĐHGTVT TPHCM-1999) xy 3x 2y 162 2
HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pt sau
2-(ĐHThơng mại-1997)
x xy y 1
y yz z 4
z zx x 9
+ + =
+ + =
3-(ĐHBKHN-1995) 2 2 2
2
x y z 7
+ + =
+ + =
=
4-(ĐHSPHN-2000)
HD:chia cả hai vế của2pt cho
2 x
Ph ơng pháp 3: Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
1-(ĐH Ngoại ngữ-1999)
xy
xy
− =
− =
2-(ĐH Công đoàn-2000)
2
Trang 143-(ĐH Hàng hải-1999)
1
(x 0, y 0) > >
Phần:IV Hệ Bất Phơng trình
A- Hệ bpt một ẩn số:
Cho hệ: 1( )
2
f x 0(1)
f (x) 0(2)
>
(I) Gọi S ,S1 2Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2)
S là tập nghiệm của (I) ⇔ = ∩ S S1 S2
Tìm m để hệ sau có nghiệm:
1 -(HVQH Quốc tế-1997)
2
2
2-(ĐH Thơng mại-1997)
2
3-2
2
4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)
2
5-(ĐH Thơng mại-1998)
2
− + ≤
Tìm m để hệ sau vô nghiệm:
1-
2
2
(m x )(x m) 0
− ≤
2-2
3-2
2
m x 1 3 (3m 2)x
Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
Trang 151-2
2
− + ≤
2-2
2
− + <
B- Hệ bpt hai ẩn số:
Tìm a để hệ sau có nghiệm:
+ ≤
x y a 0
3- 4x 3y 2 02 2
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
x y a 0
x y 1
+ ≤
Phú xuyên ngày 15 tháng 07 năm 2007
trịnh xuân tình