Liên phân số và xấp xỉ tốt

Chẳng hạn để tính toánvới số π, các nhà toán học thời xưa đã dùng những phân số gần đúngtrong tính toán, chẳng hạn: 227 hoặc 355 113.Vấn đề đặt ra: Có thể tìm ra các phân số gần đúng khá

và (and) Xấp xỉ tốt (good approxmations)

Trần Thị Thu Hiền

ĐH Thái Nguyên-ĐHKH

Ngày 15 tháng 04 năm 2015

1 Nhắc lại vành Z 4

1.1 Vành chính Z 4

1.2 Phép chia với dư 5

1.3 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học 6

2 Liên phân số-Continued fractions 9 2.1 Liên phân số 9

2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước 9

2.1.2 Liên phân số hữu hạn 13

2.1.3 Liên phân số vô hạn 15

2.2 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn 21

2.2.1 Phương trình ax + by + c = 0 21

2.2.2 Biểu diễn dãy truy hồi 22

2.2.3 Biểu diễn tổng hữu hạn qua liên phân số 27

2.2.4 Biểu diễn liên phân số hữu hạn qua định thức 32 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn 33

2.4 Một vài vận dụng 40

1

Trong thực tế, khi làm việc với một số vô tỷ thì người ta thường phảidùng phân số gần đúng với nó để sử dụng Chẳng hạn để tính toánvới số π, các nhà toán học thời xưa đã dùng những phân số gần đúngtrong tính toán, chẳng hạn: 22

7 hoặc

355

113.Vấn đề đặt ra: Có thể tìm ra các phân số gần đúng khác nữa đối với

số π mà mẫu số nằm trong một khoảng nào đó hay không ? Nên dùngphân số nào mà mẫu số và tử số không vượt quá số điều kiện nào đấy

mà sai số với π lại là đủ nhỏ?

Thông thường, người ta chỉ xét các phân số với tử số là số nguyên,còn mẫu số là một số nguyên dương Ta gọi khoảng cách giữa số vô tỷ

α với phân số p

q trên trục số là sai số tuyệt đối của

p

q đối với α và kýhiệu

Do vậy, nên chọn những sai số gần đúng theo tiêu chuẩn nào có sai sốnhỏ hơn trong nhiều phân số đã biết? Những câu hỏi như vậy, đòi hỏiphải xây dựng khái niệm mới là phân số gần đúng tốt nhất và để tìm

nó cần xét đến phân số này kề trước phân số kia Chính vì những lý

do như trên, việc nghiên cứu liên phân số là cần thiết Vấn đề mà tácgiả tập trung nghiên cứu là liên phân số và xấp xỉ tốt

Ngoài phần mở đầu và kết luận cùng tài liệu tham khảo, nội dungluận văn được chia làm hai chương với 7 mục

Chương một tập trung nghiên cứu về vành chính Z, gồm ba mục Mục1.1 nhắc lại khái niệm vành Z và một vài tính chất Mục 1.2 tập trungtrình bày lại phép chia hết Mục 1.3 trình bày kết quả về số nguyên

tố và định lý cơ bản của số học

2

Chương hai tập trung trình bày về liên phân số và xấp xỉ tốt, gồm 4mục Mục 2.1 được trình bày lý thuyết về liên phân số ,Mục 2.2 Trìnhbày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qualiên phân số vô hạn và cuối cùng là Mục 2.4 một vài ứng dụng về liênphân số

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình vànghiêm khắc của Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ Qua đây tôibày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đối với thầy hướng dẫn, người đã tận tình chỉ bảo quan tâm động viên và giúp đỡ tôi hoànthành bản luận văn này Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn cácthầy cô các cán bộ khoa toán và các cán bộ quản lý khoa học - TrườngĐại học Khoa học Đại học Thái Nguyên đã hết lòng giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu Cuối cùng tôi xin cảm ơn cácanh, chị các bạn lớp cao học Toán K7Q của trường Đại học Khoa họcThái Nguyên đã động viên tinh thần, chia sẻ những khó khăn và giúp

đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 04 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Thu Hiền

Nhắc lại vành Z

Ta bắt đầu bằng khái niệm vành Euclide

Định nghĩa 1.1.1 Cho miền nguyên R Ánh xạ δ : R∗ → N, x 7→δ(x), từ tập các phần tử khác 0 của R đến tập các số tự nhiên N thỏamãn hai điều kiện sau đây:

(1) Với mọi a, b ∈ R∗ và a|b thì δ(a) 6 δ(b)

(2) Với mọi a, b ∈ R, b 6= 0, có tồn tại q, r ∈ R sao cho a = qb + r với

r = 0 hoặc δ(r) < δ(b) khi r 6= 0

được gọi là một ánh xạ Euclide

Định nghĩa 1.1.2 Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide nếu

có một ánh xạ Euclide tác động lên tập R∗

Định nghĩa 1.1.3 Miền nguyên R được gọi là một vành chính nếumỗi iđêan của R đều là một iđêan chính

Bổ đề 1.1.4 Mọi vành Euclide đều là vành chính

Chứng minh: Giả sử R là vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ →

N Vì R là vành Euclide nên nó là một miền nguyên Giả sử I là mộtiđêan của R Nếu I = 0 thì I = (0) là một iđêan chính Nếu I 6= 0 thì

có phần tử a ∈ I, a 6= 0 Đặt I∗ = I \ {0} Vì δ(I∗) ⊂ N nên có a0 ∈ I∗thỏa mãn δ(a0) 6 δ(x) với mọi x ∈ I∗ Vì a0 ∈ I nên iđêan (a0) ⊆ I

4

Bây giờ ta chỉ ra I = (a0) Thật vậy, giả sử a ∈ I Do a0 6= 0 và R làvành Euclide nên tồn tại q, r ∈ R sao ch a = qa0 + r với r = 0 hoặcδ(r) < δ(a0) Nếu r 6= 0 thì r ∈ I∗ và δ(r) < δ(a0) : mâu thuẫn Vậy

r = 0 và a = qa0 Từ đây suy ra a ∈ (a0) Do a được lấy tùy ý nên

I = (a0) và như vậy R là một vành iđêan chính

Hệ quả 1.1.5 Vành Z là một vành chính

Chứng minh: Vành Z là một miền nguyên Ánh xạ δ : Z∗ → N, n 7→

|n|, là một ánh xạ Euclide Do vậy, vành Z là một vành Euclide Theo

Bổ đề 1.1.4, vành Z là một vành iđêan chính

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0 Số a được gọi

là chia hết cho số b hay b chia hết a nếu có c ∈ Z thỏa mãn a = bc.Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a bhoặc nói b chia hết a và viết b|a Khi a = bc thì b được gọi là một ướccủa a Các tính chất cơ bản sau đây về quan hệ chia hết là hiển nhiên.(1) 1 | a với mọi a ∈ Z

(2) a | a với mọi a ∈ Z, a 6= 0

(3) Nếu a | b và b | c thì a | c với mọi a, b, c ∈ Z, a, b 6= 0

(4) Nếu a | b thì |a|6 |b| với mọi a, b ∈ Z, a, b 6= 0

có tính bắc cầu, chẳng hạn 0 5, nhưng 5 6 0 và không có tính phảnđối xứng, chẳng hạn 5 | −5, −5 | 5, nhưng 5 6= −5 Do đó quan hệchia hết không phải là quan hệ tương đương, cũng không phải là quan

hệ thứ tự trong Z

Định lý 1.2.2 Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0, luôn luôn tồntại duy nhất một cặp số nguyên q, r ∈ Z sao cho a = qb + r, trong đó

0 6 r < |b|

Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| sao cho n|b| 6 a, n ∈ Z} Vì

|b| > 1 nên −|a||b| 6 −|a| 6 a Do đó −|a||b| ∈ T Vậy T 6= ∅ Vì T làtập bị chặn trên nên T có một số lớn nhất m|b| Từ m|b| 6 a ta suy

1.3 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học

Định nghĩa 1.3.1 Số tự nhiên p > 1 không có một ước số dương nàokhác 1 và chính nó được gọi là một số nguyên tố Số tự nhiên q > 1

có ước số dương khác 1 và chính nó được gọi là một hợp số Nếu có

số tự nhiên d để n = d2 thì n được gọi là một số chính phương

Hiển nhiên ta có định lý sau đây:

Định lý 1.3.2 Cho số nguyên tố p và các số nguyên m, a, b Khi đó(1) (m, p) =

Ta sẽ thấy luôn luôn tồn tại những khoảng bao gồm các số nguyênliên tiếp với độ dài tùy ý không có số nguyên tố nào Tuy vậy, định lýsau đây chỉ ra tập các số nguyên tố là một tập vô hạn.

Định lý 1.3.3 [Euclid] Tập tất cả các số nguyên tố là tập vô hạn

Chứng minh: Ký hiệu P là tập tất cả các số nguyên tố và giả sử

P là một tập hữu hạn, chẳng hạn P = {p1, , ps} Xét số nguyêndương q =

s

Q

i=1

pi + 1 > 1 Mọi ước nguyên tố của q đều khác các pi vì

1 không chia hết cho pi Vậy có một số nguyên tố mới không thuộc P.Điều đó chứng tỏ P là một tập vô hạn

Định lý 1.3.4 Tồn tại nhiều vô hạn các số nguyên tố dạng 4n − 1 với

n ∈ N Tương tự, tồn tại nhiều vô hạn các số nguyên tố dạng 4n + 1với n ∈ N

Chứng minh: Giả sử chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố p1, , psdạng 4n − 1 Đặt q = 4

s

Q

i=1

pi − 1 > 1 Khi đó q là số lẻ Nhận xét (*): Sử dụng quy nạp theo r ta dễ dàng chỉ ra tích

r

Q

i=1

(4ni + 1) các sốnguyên dương dạng 4h + 1 cũng là một số nguyên dương dạng 4m + 1.Nếu mọi ước nguyên tố của q đều có dạng 4k + 1 thì q phải có dạng4m + 1 Vì q có dạng 4m − 1 nên q phải có một ước nguyên tố p dạng4k − 1 Từ điều giả sử ta suy ra p = pi với i nào đó Vậy p |(−1).Điều này không thể được Như vậy có nhiều vô hạn số nguyên tố dạng4n − 1

Định lý 1.3.5 Với số nguyên dương n đều tồn tại số nguyên tố lớnhơn n

Chứng minh: Xét số n!+1 Khi chia số này cho các số nguyên dươngnhỏ hơn hoặc bằng n đều cho số dư là 1 Do vậy mọi ước nguyên tốcủa n! + 1 đều không thuộc tập {1, 2, , n} và như thế nó phải lớnhơn n

Định lý 1.3.6 [Định lý cơ bản của số học] Mọi số tự nhiên lớnhơn 1 đều phân tích được thành một tích hữu hạn các thừa số nguyên

tố và sự phân tích là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số.Chứng minh: Xét tập F gồm tất cả các số nguyên dương không biểudiễn được thành tích một số hữu hạn các thừa số nguyên tố Ta chỉcần chỉ ra F = ∅ Thật vậy, giả sử F 6= ∅ Ta thấy nếu m ∈ F thì

m > 2, vì vậy F là tập bị chặn dưới Khi đó có số nguyên dương nhỏnhất m thuộc F Vì m ∈ F nên m phải là hợp số Khi đó có hai sốnguyên dương q1, q2 > 1 để m = q1q2 Vì q1, q2 < m nên q1, q2 ∈ F./Như vậy ta có sự phân tích q1 = t1t2 th, q2 = u1u2 uk, ở đó ti, uj

đều là các số nguyên tố Khi đó

m = q1q2 = t1t2 thu1u2 uk.Điều này mâu thuẫn với giả thiết m ∈ F Như vậy F phải là tậprỗng

Khi phân tích số tự nhiên q > 1 thành tích các thừa số nguyên tố,

có thể một số nguyên tố xuất hiện nhiều lần Nếu các số nguyên tố

p1, , ps xuất hiện theo thứ tự α1, , αs lần, thì ta viết

q với p, q là hai số nguyên

và q 6= 0 Với phép cộng và phép nhân, tập Q lập thành một trường.Các phần tử thuộc Q được gọi là các số hứu tỷ Những số thực khôngphải là số hữu tỷ được gọi là những số vô tỷ

Liên phân số-Continued fractions

2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước

Định nghĩa 2.1.1.1 Cho hai dãy số {ai} = a0, a1, a2, a3, , {bi} =

b0, b1, b2, b3, với ai, bi > 0 khi i > 0 Dãy các biểu thức N0 = a0, N1 =

= anPn−1+ bn−1Pn−2

anQn−1+ bn−1Qn−2

ta suy ra

I =

(an + bn

an+1)Pn−1 + bn−1Pn−2(an+ bn

an+1)Qn−1 + bn−1Qn−2

= (anan+1 + bn)Pn−1 + an+1bn−1Pn−2(anan+1 + bn)Qn−1 + an+1bn−1Qn−2.

khi biểu thức có nghĩa

Chứng minh: Bằng qui nạp ta có ngay kết quả

Định lý 2.1.1.4 Với ký hiệu như trên, các hệ thức sau đây luôn thỏamãn:

Qn(an+1Pn+ bnPn−1) ta suy ra δn = bn(PnQn−2− Qn−1Pn) = −bnδn−1.

Do vậy δn = (−1)n+1b0 bn theo giả thiết qui nạp

(2) được chứng minh tương tự (1)

(3) được suy ra từ (1) và (2); còn (4) được suy ra từ (3)

(4) Vì Q0 = 1, Q1 = a1 > 1 và Qn+1 = an+1Qn + Qn−1 nên dễ dàngsuy ra Qn > n Ta có |Pn+1

Qn+1 − Pn

Qn| = 1

Qn+1Qn 6 1

n(n + 1) Vậy, với

 > 0 nhỏ tùy ý cho trước, cho k > n và n đủ lớn sao cho 1

n <  ta cóđánh giá sau:

Pn+2

Qn+2 − Pn

Qn

<1

Qn+1Qn Vì

Pn+2

Qn+2− Pn

Qn

...

qn

cho n = 0, 1, α gọi liên phân số liên tục hay liên phân số

vơ hạn, cịn πi gọi liên phân số hữu hạn liên phân

số vô hạn α Đơi ta cịn viết α = [q0;... data-page="16">

số Liên phân số hai dãy số viết dạng

và gọi liên phân số hữu hạn, với q0 số nguyên, q1, , qn

là số nguyên dương, qn > Số n... lý 2.1.3.1 (xii), số thực α nằm Pn

là số nguyên Vậy α số vô tỉ

Hệ 2.1.3.4 Nếu α số vô tỷ > n> tối thiểu tronghai liên phân số hữu hạn liên tiếp thỏa mãn