Luận văn thạc sỹ đại lượng xấp xỉ tốt nhất của toán tử đường chéo

Để nghiên cứu tính khả thi của thuật toánđối với bài toán có kích cỡ hoặc số chiều rất lớn, việc đánh giá sự phụ thuộc của sai sốtường minh theo số chiều của bài toán đóng vai trò trung

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

PHẠM TRƯỜNG GIANG

ĐẠI LƯỢNG XẤP XỈ TỐT NHẤT CỦA

TOÁN TỬ ĐƯỜNG CHÉO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN KIÊN

Thái Nguyên – 2022

Mở đầu 1

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 61.2 Không gian các dãy số 91.3 Đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng 16

2 σn của toán tử đường chéo TM

3.1 Toán tử đường chéo từ ℓp vào ℓq 273.2 σn của toán tử đường chéo Tλ : ℓp → ℓq 28

4.1 Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức 354.2 Giới hạn của σn 39

1

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Kiên, Trường Đại học Giao thông Vận tải Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy hướng dẫn, người đã tận tình chỉbảo, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiệnluận văn này

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy Cô trong Khoa Toán-Tintrường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã truyền đạt kiến thức và giúp đỡ chotác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Lộc Bình, Lạng Sơncùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thờigian đi học Cao học Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè luôn giúp

đỡ và động viên tôi trong thời gian học tập cũng như trong quá trình hoàn thành luậnvăn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2022

Tác giảPhạm Trường Giang

Trong những năm gần đây các phương pháp xấp xỉ phi tuyến và các phương pháp sốxây dựng từ xấp xỉ này cho hiệu suất cao hơn khi so sánh với các phương pháp tuyến tínhtruyền thống Trong ba thập kỷ gần đây, đã có một thành công lớn trong việc nghiên cứuphép xấp xỉ phi tuyến với nhiều ứng dụng trong thực tế như phân tích số, xử lý hình ảnh,thống kê học cũng như trong thiết kế mạng nơ-ron Độc giả quan tâm đến các phươngpháp xấp xỉ phi tuyến, quá trình phát triển cũng như ứng dụng của các phương pháp này

có thể tham khảo các tài liệu [6, 7, 8]

Gọi X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ và T là một toán tử tuyếntính liên tục từ X vào Y Gọi D là một tập đếm được trong Y , D được gọi là từ điển Với

x ∈ X cho trước, xét thuật toán xấp xỉ T x bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của cácphần tử có trong từ điển này Sai số của phép xấp xỉ này là

σn(T x, D) := inf

(aj )nj=1⊂C, (yj )nj=1⊂D

Với 1 ≤ p, q ≤ ∞ và dãy số dương không tăng λ = (λk)k∈N, xét toán tử tuyến tính đườngchéo

Tλ := (ξk)k∈N 7→ (λkξk)k∈N

từ ℓp vào ℓq và E = {ek : k ∈ N} trong đó ek = (δk,j)j∈N và δk,j là ký hiệu delta Kronecker.Chúng ta quan tâm đến giá trị chính xác của σn(Tλ, E) Kết quả đầu tiên theo hướng này

1

được đưa ra bởi Stepanets [23] trong trường hợp p = q với điều kiện limk→∞λk = 0 Sau

đó kết quả trong [23] được Stepanets tổng quát lên cho trường hợp 1 ≤ p ≤ q < ∞ trong[24] và trường hợp 1 ≤ q < p < ∞ trong [25, Định lý 6.1] Cách tiếp cận của Stepanetstrong [24, 25] chưa xem xét cho trường hợp p hoặc q bằng vô cùng Trong cùng điều kiệnlimk→∞λk = 0 nhưng bằng cách tiếp cận khác, Gensun và Lixin [10] cũng thu được giátrị chính xác của σn(Tλ, E) trong trường hợp p = q

Trong trường hợp không gian dãy hữu hạn chiều ℓM

p với chuẩn p của véc tơ u =(u1, , uM) ∈ RM cho bởi

và toán tử đường chéo TM

λ từ ℓM

p vào ℓM

q xác định bởi

TλM : (x1, x2, , xM) 7→ (λ1x1, λ2x2, , λMxM)với λ = (λj)M

j=1, giá trị chính xác của đại lượng σn(TM

λ , EM) đối với cơ sở tiêu chuẩn EM

của RM thu được bởi Gao, xem [9] Trong bài báo gần đây hai tác giả Nguyễn Văn Kiên

và Nguyễn Văn Dũng [19] đã tổng quát hóa kết quả của Gao [9] cho toán tử đường chéo

từ ℓp vào ℓq xem xét tất cả các trường hợp 1 ≤ p, q ≤ ∞

Gần đây, xấp xỉ và giải số các bài toán có số chiều hoặc có kích cỡ rất lớn ngày càngđược quan tâm vì chúng được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực như công nghệ thông tin,tài chính, toán, hóa học, cơ học lượng tử, khí tượng học Một phương pháp số để giải cácbài toán kích cỡ lớn có thể có độ phức tạp tính toán tăng theo hàm mũ của số chiều khiyêu cầu độ chính xác tính toán được tăng lên và thuật toán trở nên không khả thi Hiệntượng này được gọi là “thảm họa về số chiều” Để nghiên cứu tính khả thi của thuật toánđối với bài toán có kích cỡ hoặc số chiều rất lớn, việc đánh giá sự phụ thuộc của sai sốtường minh theo số chiều của bài toán đóng vai trò trung tâm, xem trong [20, 21].Việc nghiên cứu giá trị chính xác của đại lượng các đại lượng xấp xỉ nói chung và đạilượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử chéo từ không gian ℓp vào ℓq đóng vai tròquan trọng trong các bài toán xấp xỉ, đặc biệt là các bài toán xấp xỉ các hàm trong khônggian Sobolev khi mà số chiều hoặc kích cỡ của bài toán rất lớn Chẳng hạn như trong cácbài báo Dinh Dũng, Ullrich [5], Chernov, Dinh Dũng [2]; Cobos, K¨uhn, Sickel [3, 4]; Krieg[12]; K¨uhn [13]; K¨uhn, Mayer, Ullrich [14]; and K¨uhn, Sickel, Ullrich [15, 16, 17], Nguyen,Nguyen, Sickel [18]; Nguyen, Nguyen [19] các tác giả đã dựa vào các đại lượng xấp xỉ củatoán tử chéo từ không gian ℓp vào ℓq để đánh giá sai số của các phương pháp xấp xỉ tươngứng các hàm trong không gian Sobolev và chỉ ra hằng số tiệm cận của các đại lượng này

Ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng việc nghiên cứu hằng số tiệm cận của sai số xấp

xỉ là cơ sở để đánh giá đại lượng này tường minh theo số chiều của bài toán

Bên cạnh đó, đối với việc giảng dạy môn Toán ở trường Trung học phổ thông, việcnghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng từ không gian ℓp vào ℓq một mặtcủng cố các kiến thức cơ bản, tính chất của các dãy số như bất đẳng thức H¨older, bấtđẳng thức về chuẩn kakq ≤ kakp với a = (ai)i∈N và 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ Mặt khác việc nghiêncứu này giúp cho tác giả hiểu sâu hơn các tính chất của dãy số như các bài toán tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong dãy số để từ đó áp dụng vào giải các bài toán khó vềdãy số

1 Mục đích của đề tài luận văn

Mục đích của luận văn là trình bày và nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n sốhạng của toán tử đường chéo từ không gian ℓM

p hữu hạn chiều sang không gian ℓM

q Đồngthời luận văn xem xét nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tửđường chéo trong không gian vô hạn chiều từ ℓp vào ℓq Từ kết quả đó luận văn ứng dụngvào giải một số bài toán sơ cấp liên quan

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Nội dung đầu tiên của luận văn là trình bày một số kiến thức chuẩn bị để phục vụ chonghiên cứu ở các chương sau như không gian tuyến tính, toán tử tuyến tính, đại lượngxấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng và các tính chất của đại lượng này

Nội dung tiếp theo của luận văn nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạngcủa toán tử đường chéo từ không gian ℓM

p sang không gian ℓM

q Trong nội dung này, chúngtôi đưa ra giá trị chính xác của đại lượng σn(TM

λ , EM) dựa trên cách tiếp cận của Gao [9]

trong đó m0 là số nguyên m lớn nhất sao cho n < m ≤ M và

Các kết quả này được trình bày dựa trên bài báo [19]

Nội dung cuối cùng của luận văn là ứng dụng các kết quả của chương trước để giảimột số bài toán sơ cấp liên quan Trước hết chúng tôi áp dụng kết quả đạt được để chứngminh một số bất đẳng thức, chẳng hạn như

Cấu trúc của luận văn được chia thành 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày định nghĩa của không gian tuyếntính định chuẩn, một số khái niệm cơ bản trong không gian tuyến tính định chuẩn nhưchuẩn tương đương, không gian đầy đủ, cơ sở đếm được, Trong chương này chúng tôicũng trình bày khái niệm đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử tuyến tính

và các tính chất của đại lượng này

Chương 2 σn của toán tử đường chéo TM

λ : ℓM

p → ℓM

q Chương này nghiên cứu đạilượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử đường chéo từ không gian hữu hạnchiều ℓM

p vào không gian ℓM

q với từ điển là cơ sở chính tắc của RM Chúng tôi đưa ra giátrị chính xác của đại lượng này và trình chứng minh dựa trên cách tiếp cận của Gao [9]

Do cách tiếp cận khác nhau, để nghiên cứu chúng tôi chia bài toán làm hai trường hợp

1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ và 1 ≤ q < p ≤ ∞

Chương 3 σn của toán tử đường chéo Tλ : ℓp → ℓq Chương này mở rộng các kết quả

ở Chương 2 vào nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử đườngchéo trong không gian vô hạn chiều từ ℓp vào ℓq đối với cơ sở chính tắc

Chương 4 Ứng dụng và một số bài toán sơ cấp liên quan Trong chương này chúngtôi đưa ra một số ứng dụng các kết quả đạt được ở các Chương 2 và Chương 3 để chứngminh một số bất đẳng thức liên quan đến dãy số Trong chương này chúng tôi cũng xemxét một số bài toán về giới hạn của đại lượng xấp xỉ tốt nhất

Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày định nghĩa của không gian tuyến tính định chuẩn, một số kháiniệm cơ bản trong không gian tuyến tính định chuẩn như chuẩn tương đương, không gianđầy đủ, cơ sở đếm được, [22] Trong chương này chúng tôi cũng trình bày khái niệm đạilượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử tuyến tính và các tính chất của đạilượng này [1]

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Ta nói X là một không gian tuyến tính trên trường số K (thường xét

K = R hoặc C), nếu với mọi x, y ∈ X xác định hai phép toán: cộng véctơ x + y và nhânvéctơ với một số thuộc trường K: αx thỏa mãn các tiên đề sau:

i) Giao hoán x + y = y + x (∀x, y ∈ X);

ii) Kết hợp

(

x + (y + z) = (x + y) + zα(βx) = (αβ)x (∀x, y, z ∈ X; ∀α, β ∈ K) ;iii) Phân phối

((α + β)x = αx + βxα(x + y) = αx + αy (∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K) ;iv) Tồn tại phần tử không: ∃ θ ∈ X ∀x ∈ X : x + θ = θ + x = x;

ii) X = RM, M ∈ N với phép cộng và nhân với một số thực hiện như sau: Giả sử

Ta nói không gian tuyến tính X có số chiều bằng n (dimX = n) nếu:

i) Tồn tại hệ n véctơ độc lập tuyến tính trong X

ii) Mọi hệ (n + 1) véctơ trong X đều phụ thuộc tuyến tính

Mọi hệ n véctơ độc lập tuyến tính trong không gian n-chiều được gọi là cơ sở củakhông gian đó

Định nghĩa 1.4 Tập ˜X trong không gian tuyến tính X được gọi là không gian con của

X, nếu ˜X là kín đối với các phép cộng véctơ và phép nhân véctơ với một số, tức là

∀x, y ∈ ˜X; ∀α, β ∈ R ⇒ αx + βy ∈ ˜X

Ví dụ 1.5 i) {θ}, X là hai không gian con tầm thường của X

ii) Cho x 6= θ là một phần tử bất kì, cố định của X Xét tập ˜X = {λx : λ ∈ R} Dễthấy ˜X là không gian con của X và dim ˜X = 1

Định nghĩa 1.6 Cho X là một không gian tuyến tính Ta nói X là không gian tuyếntính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn của x (ký hiệu kxkX)thỏa mãn ba tiên đề sau:

i) Xác định dương nếu ∀x ∈ X, kxkX ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = θ.ii) Thuần nhất dương ∀x ∈ X; ∀λ ∈ R : kλxkX = |λ|kxkX

Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λ ∈ C

iii) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X : kx + ykX ≤ kxkX + kykX

Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gianBanach

Định nghĩa 1.8 Hệ đếm được các véctơ {xn}∞

i=1 là cơ sở (Schauder) của X nếu

Định nghĩa 1.10 Toán tử A là toán tử tuyến tính đưa không gian tuyến tính định chuẩn

X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y nếu:

∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ R : A(αx + βy) = αAx + βAy

Nói riêng, Aθx = θy

Toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ đến x0 tađều có Axn → Ax0 (n → ∞) Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ khônggian X vào không gian Y được ký hiệu là L(X, Y )

Định lý 1.11 Giả sử toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 Khi đó A liên tục tạimọi điểm x ∈ X

Chứng minh Cho xn → x, ta có (xn − x) + x0 → x0 và do A là liên tục tại x0 nênA[(xn− x) + x0] → Ax0 Sử dụng tính tuyến tính của A, ta được Axn− Ax + Ax0 → Ax0

hay Axn− Ax → θ suy ra Axn→ Ax Suy ra điều phải chứng minh

Ta có điều kiện cần và đủ để toán tử tuyến tính liên tục

Định lý 1.12 Điều kiện cần và đủ để toán tử tuyến tính A từ không gian tuyến tính địnhchuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y là toán tử tuyến tính liên tục là

∃C > 0 : ∀x ∈ X kAxkY ≤ CkxkX

Ta có định nghĩa chuẩn của toán tử như sau

Định nghĩa 1.13 Chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng

1.2 Không gian các dãy số

Trong phần này chúng tôi định nghĩa không gian vô hạn chiều ℓp và các tính chất củacác không gian ℓp Một dãy (ai)i∈N trong R được cho bởi hàm

a : N → R, a(i) = ai

Rõ ràng với mỗi dãy (ai)i∈N trong R ta xác định được một và chỉ một hàm a : N → R

và ngược lại Do đó ta sẽ đề cập đến một hàm a : N → R như một dãy trong R

Trước tiên ta định nghĩa không gian hữu hạn chiều ℓM

p Định nghĩa 1.14 Giả sử p ∈ [1, ∞] và M ∈ N Ta định nghĩa chuẩn p của véctơ

Dưới đây ta sẽ chứng minh k · kp là một chuẩn trên RM Không gian RM được trang

bị chuẩn k · kp được ký hiệu là ℓM

p Chuẩn của dãy số (ai)i∈N được định nghĩa tương tự.Định nghĩa 1.15 Giả sử p ∈ [1, ∞] Chuẩn của dãy a = (ai)i∈N ⊂ R được định nghĩabởi

và tập

ℓp = {a : N → R : kakℓ p < ∞}

Ví dụ 1.16 Nếu a = (ai)i∈N với ai = 1

i thìkakpp =

chỉ hữu hạn khi p > 1 Rõ ràng, |ai| ≤ 1 với mọi i, do đó kakℓ ∞ < ∞ Từ đó suy ra a ∈ ℓp

với mọi p ∈ (1, ∞] nhưng không đúng với p = 1 Tương tự, nếu b = (bi)i∈N với bi = √1

i thìX

Nhận xét 1.17 Ta thấy ℓp ⊂ ℓ∞ với mọi p ∈ [1, ∞) nhưng ngược lại không đúng Thậtvậy, nếu a ∈ ℓp thì P∞

i=1|ai|p < ∞ thì trong trường hợp |ai|p → 0 khi i → ∞, điều này tươngđương với |ai| → 0 khi i → ∞ Do đó, a là một dãy hội tụ tới 0 nên nó bị chặn và hiểnnhiên ta có

Định lý 1.18 (Bất đẳng thức H¨older trong không gian hữu hạn chiều) Giả sử p ∈ [1, ∞]

và cho q là số mũ liên hợp của nó Với M ∈ N bất kỳ, ta có

.Theo bất đẳng thức Young

Nhân hệ thức trên với kukpkvkq ta nhận được (1.3)

Định lý 1.19 (Bất đẳng thức H¨older, trong không gian vô hạn chiều) Giả sử p ∈ [1, ∞]

và cho q là số mũ liên hợp của nó Khi đó

kabkℓ 1 ≤ kakℓ pkbkℓ q ∀a ∈ ℓp, b ∈ ℓq, (1.4)

Nhận xét 1.20 Bất đẳng thức H¨older hữu ích trong nhiều ứng dụng Ví dụ, bất đẳngthức H¨older suy ra rằng nếu một dãy a nằm trong ℓp1 và ℓp2 với p1, p2 ∈ [1, ∞] thì nó cũngnằm trong mọi không gian “ở giữa” Thật vậy, ta giả sử p1 < p2 < ∞ và p ∈ (p1, p2) Khi

đó, có α ∈ (0, 1) sao cho p = αp1+ (1 − α)p2 Áp dụng bất đẳng thức H¨older với số mũ1

a ∈ ℓp với mọi p ∈ [q, ∞] Hơn nữa

.Lấy mũ 1/p hai vế ta được điều phải chứng minh

Để chứng minh k · kℓ p là một chuẩn, trước tiên ta chỉ ra rằng k · kp là một chuẩn trongkhông gian M chiều RM

Định lý 1.22 Với mọi p ∈ [1, ∞], hàm k · kp là một chuẩn trên RM

Chứng minh Nếu kukp > 0 với mọi u 6= 0 và kukp = 0 thì suy ra u = 0 Giả sử u ∈ Kn và

Với p = ∞ ta có

kαuk∞= max

i=1, ,M|αui| = |α| max

i=1, ,M|ui| = |α|kuk∞.Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác Nếu u, v ∈ Rn và p = 1 thì

Định lý 1.23 Không gian (ℓp, k · kℓp) là một không gian Banach với mọi p ∈ [1, ∞].Chứng minh Chứng minh gồm 3 phần: ℓp là một không gian véctơ, k · kℓ p là một chuẩn

và là một không gian đầy đủ

Trước tiên ta chứng minh k · kℓ p là một chuẩn Ta thấy rằng kukℓ p > 0 với mọi u 6= 0

và kukℓ p = 0 suy ra u = 0 Lấy a ∈ ℓp và α ∈ R Nếu p < ∞ thì

kαakℓ ∞ = sup

i∈N |αai| = |α| sup

i∈N |ai| = |α|kakℓ ∞.Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác Nếu a, b ∈ ℓp và p = ∞ thì

ka + bkℓ p ≤ kakℓ p+ kbkℓ p.Không gian ℓp là một không gian véc tơ Ta chứng minh ℓp đóng với phép cộng vàphép nhân vô hướng Thật vậy, từ thực tế rằng k · kℓ p là một chuẩn trong ℓp, ta tìm đượckαakℓ p = |α|kakℓ p < ∞ trong đó α ∈ R và a ∈ ℓp suy ra αa ∈ ℓp Nếu a, b ∈ ℓp thì

|an,i− am,i| ≤ kan− amkℓ p < ǫ ∀i ∈ N

Do đó, với mỗi i ∈ N, dãy {an,i}n∈Nlà một dãy Cô si trong R Vì R là đầy đủ nên {an,i}n∈N

là dãy hội tụ, hội tụ đến αi ∈ R Ta khẳng định rằng dãy α = (α1, α2, ) nằm trong ℓp và{an}n∈N hội tụ đến α Ta tách chứng minh thành các trường hợp p = ∞ và p < ∞

p = ∞ : Giả sử ǫ > 0 và cho N như trên Khi đó

|αi− an,i| = limm→∞|am,i− an,i| ≤ ǫvới mọi n ≥ N và i ∈ N, vì vậy

Mệnh đề 1.24 ℓp là không gian vô hạn chiều với mọi p ∈ [1, ∞] Nếu en ∈ ℓp được chobởi

en= (0, , 0, 1, 0, )

thì {en}n∈N là một cơ sở Schauder cho ℓp với mọi p ∈ [1, ∞) nhưng không phải ℓ∞.Chứng minh Tập {en}n∈N là dãy vô hạn và độc lập tuyến tính, vì vậy ℓp là vô hạn chiều.Nếu p < ∞ và a ∈ ℓp, đặt αi = ai với mỗi i ∈ N Khi đó tổng riêng

i=1|ai|p < ∞ thì tổng trên phải hội tụ về 0 khi n → ∞ Do đó

a =P∞i=1αiei Điều này chứng tỏ rằng {en}n∈N là một cơ sở Schauder với ℓp

Với ℓ∞, cho a = (1, 1, ) ∈ ℓ∞ Nếu có αi sao cho a = P∞

i=1αiei thì αi = 1 với mọi i.Nhưng

ka − snkℓ ∞ = k(0, , 0, 1, 1, )kℓ ∞ = 1,mâu thuẫn Do đó, {en}n∈N không là một cơ sở Schauder với ℓ∞

1.3 Đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng

Cho Y là không gian Banach và D ⊂ Y là một tập đếm được và được gọi là từ điển.Xét F là một tập con trong Y Cho n ∈ N Đối với phần tử x ∈ F, ta xác định đại lượngxấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng trong D

σn(x, D)Y := inf

(c i ) n i=1 ⊂C,(b i ) n

σn(F, D)Y := sup

x∈F

σn(x, D)Y.Cho T : X → Y là một toán tử tuyến tính Khi đó ta định nghĩa đại lượng xấp xỉ tốtnhất bằng n số hạng của T bằng

Dưới đây ta nêu và chứng minh một số tính chất cơ bản của đại lượng σn(T, D).

Bổ đề 1.25 Cho W, X, Y, Z là các không gian Banach và D ⊂ Y là một từ điển Khi đó(i) Với T ∈ L(X, Y ) ta có

σ0(T, D) ≥ σ1(T, D) ≥ σ2(T, D) ≥

(ii) Với T1, T2 ∈ L(X, Y ) và n1, n2 ∈ N sao cho n = n1+ n2 ta có

σn(T1+ T2, D) ≤ σn (T1, D) + σn (T2, D)

(iii) Với T ∈ L(Z, Y ), A ∈ L(X, Z), B ∈ L(Y, W ) ta có

Chứng minh được hoàn thành

Một số tính chất mở rộng của đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng như tính chấtnội suy được chứng minh trong [11, 26]

σ n của toán tử đường chéo

T λ M : ℓ M p → ℓ M q

Chương này nghiên cứu đại lượng xấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử đườngchéo từ không gian hữu hạn chiều ℓM

p vào không gian ℓM

q với từ điển là cơ sở chính tắccủa RM Chúng tôi đưa ra giá trị chính xác của đại lượng này và trình chứng minh dựatrên cách tiếp cận của Gao [9]

2.1 Toán tử đường chéo và xấp xỉ tốt nhất bằng n số

là toán tử từ không gian ℓM

p vào không gian ℓM

λ là toán tử tuyến tính Cho x = (x1, , xM)

p−q pq

kxkp.Theo Định lý 1.12 suy ra điều phải chứng minh

Ký hiệu EM = {e1, , eM} là cơ sở chính tắc của RM Theo định nghĩa, ta có độ dàyxấp xỉ tốt nhất bằng n số hạng của toán tử TM

λ được cho bởi công thức

σn(TλM, EM) = sup

f ∈B M p

inf

Γ M n



i / ∈Γ M n

inf

Γ M n

sup

i / ∈Γ M n

|λifi|với q = ∞, trong đó BM

p là hình cầu đơn vị của ℓM

p , tức là,

BpM = {x ∈ RM : kxkp ≤ 1}

và ΓM

n là một tập con gồm n phần tử tùy ý của tập hợp {1, 2, , M}

Trong chương này ta đi tìm giá trị chính xác của σn(TM

λ , EM) với mọi 1 ≤ p, q ≤ ∞

Do cách tiếp cận khác nhau, để nghiên cứu chúng tôi chia bài toán làm hai trường hợp

1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ và 1 ≤ q < p ≤ ∞

q → p+ Vì ta có thể đạt được cận trên đúng nên tồn tại hàm f với PM

i=1|fi|p = 1 sao cho

với mọi M − n < i ≤ M Giả sử với M − n < i0 ≤ M ta có

fπ(M −n)λπ(M −n) = fπ(M −n+1)λπ(M −n+1)