Khóa luận tốt nghiệp toán Giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân thường và ứng dụng Maple trong tính toán

Khóa luận tốt nghiệpSVTH: Bùi Huyền Trang BÙI HUYỀN TRANG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỔ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC Chuyên ngành

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH: Bùi Huyền Trang

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH: Bùi Huyền Trang

BÙI HUYỀN TRANG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỔ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI 2014 LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích đã tạo điều kiệngiúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt thòi gian học tập và nghiên cứu tại

trường Đặc biệt, em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Khuất Văn Ninh - người

đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh YỈên thưc hiên

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH: Bùi Huyền Trang

Bùi Huyền Trang

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn hành dưói sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng vói sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu em

đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thưc hiên

Bùi Huyền Trang

MỤC LỤC

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Sai số 4

1.1.1 Sổ gần đúng, sai số tuyệt đối và sai sổ tương đổi 4

1.1.2 Sai số tính toán 5

1.1.3 Bài toán ngược của sai số 7

1.2 Khái quát về phương trình vi phân 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 8

Khóa luận tốt nghiệp

SVTH: Bùi Huyền Trang

1.2.3 Một số định lý 9

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 11

2.1 Một số phương pháp giải tích 11

2.1.1 Phương pháp chuỗi hàm 11

2.1.2 Phương pháp hệ sổ bất định 14

2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 16

2.2 Một số phương pháp số 18

2.2.1 Các phương pháp Euler 19

2.2.2 Phương pháp Runge - Kutta 24

Chương 3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 26

3.1 Giói thiệu về phần mềm Maple 26

3.2 Một số ứng dụng của Maple trong việc giải phương trình vi phân 27

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI NÓI ĐÀU

Toán học là môn học khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của Toán họcđược đánh dấu bỏi những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn Trong lĩnh vực Toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân thường Vì vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết Toán học Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà Toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường

Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình về vấn đề :

“Giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân thường và ứng dụng Maple trong tính toán”

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường

Chương 3: ứng dụng của Maple trong tính toán

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận của em chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Sai số

1.1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a, Khái niệm về số gần đúng Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Khóa luận tốt nghiệp

Trong tính toán thông thường người ta không biết số đúng <2° mà chỉ biết

các số gần đúng của nó là a Sai số được gọi là gần đúng của a, độ lệch h = a°-a được gọi là sai số thực của a Vì không biết a° nên không biết h Tuy nhiên, ta có thể xác định được một số dương Aa > \h\ sao cho a—Aa<a ữ <a+Aa SốAa bé nhất

mà ta có thể xác định được gọi là sai số

tuyêt đối của a Tỷ số s = — đươc goi là sai số tương đối của« ,Aa có cùng

\a\

thứ nguyên với a, còn Sa là số không có thứ nguyên và được biểu diễn bằng

0/ 0/

/0 ’ /00 5 • • •

b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn.

Giả sử« được biểu diễn dưới dạng số thập phân

a = {P p W +P p _ 1 W1 1(F-’)

trong đó (i = p,p-\, ,p-q) là các số nguyên dương tò 0 đến 9.

Chẳng hạn a = 123,45 = 1.102 +2.101 +3.10° +4.101 +5.10'2

Thu gọn a là vứt bỏ đi một số hạng bên phải trong biểu diễn của a để được

một số gần đúngữ gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết Quy ước nếuchữ số đầu tiên bỏ đi tính từ bên trái qua có giá trị >5 thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại một đơn vị, nếu < 5 thì giữ nguyên Trường họp chữ số

bỏ đi đúng bằng 5 và các chữ số tiếp theo toàn là chữ số 0 thì chữ số cuối cùng giữ lại để nguyên nếu có là số chẵn và tăng thêm một đơn yị nếu là số lẻ (tính toán với

số chẵn thuận lợi hơn)

Khóa luận tốt nghiệp

1.1.2 Sai số tính toán

Giả sử cần tính giá trị của một hàm y° = /Oq0,*°)trong đó chỉ biết các

giá trị gần đúng x ỉ ,x 2 , ,x n vói các sai số tương ứng ầXi ( hay ỔX Ị ) (i = l,n) Sai số của giá trị y = f(x l ,x 2 , ,xn) được gọi là sai số tính toán Giả sử / là một hàm khả vi, liên tục

theo các biến Xị Khi đó:

\ y \ t í

Khóa luận tốt nghiệp

Công thức (3) đôi khi có thể viết Sy - Aln _y (4)

tổng đai số có giá tri nhỏ thì sai số tương đối Aổ = trở nên rất lớn ( vì

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của từng thành phần

c, Sai số của thương: y = —

Ạv È /.

i=\

< 0,003;

• Nếu a> 1 (phép lũy thừa) thì ổy>ổx , do đó độ chính xác giảm

• Nếu 0<a<ì thì ta có phép khai căn, khi đó ổy<ổx hay độ chính xác tăng.

• Nếu a = — 1 ta có phép nghịch đảo, khi đó ốy = ốx nghĩa là độ chính xác

không đổi

1.1.3 Bài toán ngược của sai số

Giả sử cần tính y = f (x 1 ,x 2 , ,x n )vói các sai số cần có là Ay<£.

Hãy xác định sai số cần thiết phải đạt của các đối số Xị.

Nguyên lý ảnh hưởng đều: Giả sử f ' x AXị = consí ụ = l,nj Khi đó

^- = nr 1 = \2fi =>AA = -ậi- < 0,001; dh

• Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình biểu diễn dưới dạng

Sau này trong các phương pháp giải tích ta chỉ cần nghiên cứu các phương trình vi phân thường cấp 1 với bài toán Cauchy

1.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1

* Xét bài toán (1-2)

trong đó x(t) là hàm một biến xác định trên [0,r]

Được gọi là bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 Lớp bài toán Cauchy có thể giải được bằng các phép cầu phương rất hẹp do vậy thông thường để giải các bài toán (1-2) ta phải sử dụng các phương pháp giải gần đúng (tích phân gần đúng)

Tuy nhiên, trước khi sử dụng các phương pháp tích phân gần đúng ta cần biếtbài toán (1-2) có tồn tại nghiệm hay không và tính duy nhất của nghiệm Vì nếu

thiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần tìm.

Nếu f(t, x ) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R (r>0cố định) và f (t , x ) thỏa

mãn điều kiện Lipsit theo biến X trên hình chữ nhật R, tức là ị f (t, x )—f

(t, y )ị <N\ x —y \ trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm

của bài toán (1 - 2) xác định là duy nhất

> Từ hai định lý trên ta có định lý sau:

c, Định lỷ 3 (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

Xét bài toán (1-2)

Hàm /(í,x) xác định trong R (r > 0 cố định) thỏa mãn hai điều kiện:

(1) : / (í, x) liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên:

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 2.1 Một số phương pháp giải tích

Là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức, tức là ta đi xây dựng

dãy hàm y n { x ), x & [a b\ sao cho Jn(;c) 4/0), x &[ a, b] Trong đó, J*(X)

là nghiệm của phương trình

Từ phương trình y” + xy' =e~ ỵ2 -> y" = e-*-xy'

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình y" = e x - xy' đến bậc 8 ta được:

a, Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy đối với phương trình tuyến tính cấp 2

Lấy đạo hàm y \ y " theo (9) ta có

y' = £ n.a n x H ~ l & y"= ị^nỌĩ-l) a n x nl

Thay a 0 , vào (10) thì ta được a2

Thay a 0 , ữ,, «2 vào phương trình tiếp theo của (10) thì ta được a3 Làm tương tự như

vậy ta được aA,

+) về nguyên tắc ta xác định được tất cả các a , nhưng trong thựctiễn ta

chỉ lấy một tổng riêng của chuỗi (9) Khi đó ta xác địnhđược nghiệm xấp xỉ củaphương trình vi phân

N

Chang hạn, lấy y N O) = X a n x " khi đó y N O) ~ j(x)

*=0

Nhân xét: Có thể chứng minh được rằng nếu chuỗi lũy thừa trong (8) có bán kính

hội tụ bằng R thì chuỗi lũy thừa trong công thức (9) cũng có bán kính hội

tụ bằng R Và công thức (9) sau khi xác định a n thì nó là nghiệm của bài toán

y '(*) = a x + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3

+ y "(*) = 2 a 2 + 6 a 3 x +12 a4x 2

+

Thay vào phương trình (11) ta được

<2, + (2a2 + 2a2 + a0).x + (6a3 + 3a3 +

a3)x2 + ^+ (4«2 + a^x + (9a3 + a^x 2 +.

Từ điều kiện ban đầu ta xác định được

X

2

J t 4

Vây nghiêm xâp xỉ của phương trình là v(jt) = 1 -1

1

-464

2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

a, Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy (1-2)

Giả sử lim;ynO:) = /00 thì 3>*0) là nghiệm của bài

toán (1)

n—>00

Trong lí thuyết phương trình vi phân

thường đã chứng minh rằng: nếu hàm /(X, y )

thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y

\ f(x , y ỉ )-f (x , y 2 )\ < N

= consí

< M N

trong hình chữ nhật D với JD = |(jc,y)e/?2:|A:-jc0|<ữ,|j-j0|<Z7| thì hàm

y (je) hội tụ tói nghiệm y(jc) của phương trình (1) trên đoạn [x , x +h \ ,h >0 là một số

dương nào đó và hàm y0(jc) tùy ý cho trước

Sai số giữa y n (x ) và /(jc)được đánh giá bỏi công thức sau :

3x2 3 X 2 2 x 2 -ll 5

y 3 (x ) — —- + jtsinjt—^jcsin2jc+(l—— )cosjcH -——cos2jc + -^

2.2 Một số phưong pháp số

Phương pháp số là phương pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng bảng

số, tức là ta chỉ cần tìm các giá trị y «_y(x;) ;i = 0 , n ; x i E \_a,b~\.

Đoạn \_a,b] được chia thành n phần bằng nhau x 0 =a , Xị =a + (ị -1)

V ^

Suy ra y 3 (x) = + X sin X—^ X sin 2x+(1—^-) cos X + ^ cos2x+

Từ (1) và (16) ta có fi * /ó,., y t ) ; Ji+1 - = fi

h Suy ray M - y + h fị ,i = 0, n

y0đã biết từ điều kiện (2).

Phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng số theo công thức (18) được gọi là phương pháp Euler

(* )

Ỷ nshĩa hình hoc

Kí hiệu Mị = (Xị , yt) trong đó y,- được xác định theo công thức (18)

- Nối các điểm M 0 vói M1, M ì vói M 2 , ,M n _ 1 YỚi M n thì ta được đường

gấp khúc, kí hiệu G =[M0,M1,

- Đường gấp khúc G được gọi là đường gấp khúc Euler

Giả sử V là nghiệm của bài toán (1-2) và có đồ thị là đường cong (C) thì dáng điệu

của đường gấp khúc G gần đúng với dáng điệu của đường cong (C)

Khi h càng nhỏ thì đường gấp khúc Euler càng gần với đồ thị của nghiệm.

Ta chia đoạn ịa,b] thành 10 phần bằng nhau : h = 0,1 Taklhiệu:

f(x l t y l ) = \-^ L -0,5yf , ầ.y, = hfự,,y,) ;i = ÕÕÕ

X Ị Xị

Áp dụng phương pháp Euler thì y i+l = y t + A = y +hf (x ^ ị)

Kết quả được tính trong bảng sau:

Chia đoạn [x0 -ổ, x ữ +ổ] thành n phần bằng nhau, h =—, h> 0.

c, Phương pháp Euler cải tiến thứ 2

❖ Nội dung phương

pháp Xét bài toán (1-2)

r y ' = f ( x , y )

(x, y )e D, (x0,y0)eD

y ( xo) =

Sau đó tính y i+ \ = yi +h

-L

❖ Ví dụ Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler cải tiến thứ 2:

5 0,2 0,218323

2.2.2 Phư<mg pháp Runge - Kutta

a, Nội dung phương pháp Xét

bài toán (1-2)

y' = f (x, y)

y (x 0 ) = y 0

Ta kí hiệu : y, là nghiệm xấp xỉ của bài toán (1) tại x n y i+1 là nghiệm xấp xỉ tại x i+1

=Xị +h Phương pháp Runge - Kutta để tính y i+1 gồm các bước sau:

0,999950,9988660,995457

0,1

0,0952430,0953570,091405

0,1

0,1904870,1907140,091405

0,995450,990570,990289

0,0914060,0880840,0880570,085301

0,0914060,1761680,1761150,085301

0,9831930,9745140,9747630,964659

0,085300,083080,083050,08131

0,085300,166160166140,08131

0,013514

0,083146

Chương 3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

3.1 Giới thiệu về phần mềm Maple

Bài toán (1-2) ta hoàn toàn có thể giải một cách tổng quát bằng cách lập trình tạo

hàm trên Maple dựa vào thuật toán có sẵn đã nêu Nhưng vì thời gian hạn chế nên tôi

chỉ viết chương trình giải cho một số ví dụ, để thấy rằng phần mềm tính toán là công

cụ khá dễ dàng và hiệu quả trong việc tham gia giải quyết các bài toán biên có độ tính toán phức tạp.

Tuy nhiên thế mạnh của phần mềm tính toán là nhanh chóng và hiệu quả Việc giải bài toán trên bằng tay đã là quá phức tạp, nếu viết chương trình như trên thì việc

tính toán trở nên đơn giản song lại mất thời gian Maple cho phép sử dụng những gói

công cụ chuyên dụng có sẵn để giải phương trình vi phân một cách nhanh chóng và hiệu quả, tuỳ từng dạng phương trình mà nó cho phép biểu diễn nghiệm ở dạng biểu thức, chuỗi đa thức xấp xỉ hay bảng số

Muốn giải phương trình vi phân, trước hết ta cần nạp gói công cụ chuyên dụng cho lĩnh vực này bằng câu lệnh:

[>with(DEtools):

Lệnh giải phương trình vi phân có cú pháp tổng quát là:

[>dsolve(odesys, vars, keyword);

- Với keyword: được cho dưới dạng type = series thì máy sẽ cho ta nghiệm dưới dạng chuỗi

- Vói keyword: được cho dưới dạng type = numeric thì máy sẽ vận dụng các

phương pháp số cho ta nghiệm dưới dạng một hàm tượng trưng mà ta có thể đánh giá được giá trị số của nó tại điểm bất kì nào

- Vói keyword: được cho dưới dạng type = basic thì máy sẽ cho ta tập hàm cơ

sở mà tập nghiệm được căng trên đó (như một bao tuyến tính)

3.2 Một số ứng dụng của Maple trong việc gỉảỉ phương trình vỉ phân

Sử dụng Maple chúng ta có thể tìm được nhiều nghiệm của nhiều phương

trình vi phân thường, phương trình vi phân với điều kiện ban đầu

Tính toán trên Maple:

Bài toán 1: Giải xấp xỉ bài toán sau :

init _ con := y(0) = 1, D( j)(0) = 0

Sau khi cho thực hiện trên màn hình sẽ hiện công thức mô tả điều kiện đầu

Bước 3: Giải phương trình vi phân bằng lệch dsolve :

[>dsolve({y(0)=l,x*diff(y(x),x,x)+diff(y(x),x)+x*y)x)=0},y(x),series);

y (x) = l -ị x 2 +^ x ‘+Oự )

(Sau khi cho tìiực hiện lệnh trên màn hình sẽ hiện công thức nghiệm của phương trình

vi phân cần giải)

Kết luận: Kết quả tính toán trên Maple hoàn toàn trùng khớp với kết quả bài toán đã

sử dụng phương pháp hệ số bất định ở trên Như vậy, ta thấy được rằng: việc giải

phương trình vi phân sẽ được đơn giản hơn khi ta sử dụng Maple vào tính toán.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta với độ dài bước h = 0,1 và h = 0,05 để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình sau:

ỳ = X 2 + y 2 ; 37(0) = 0 trên đoạn X e [0; 1]

Giải

1 Tính toán trên Maple , sử dụng phương pháp Euler

Trong Maple, để tìm các giá trị y t theo công thức lặp ta có thể sử dụng mặc

định (option) remember (nhớ) Mặc định này của Maple cho phép nhớ các giá trị cũ để tính y n , mà không cần tính lại giá trị y _ v Trước tiên ta khởi động chương trình Maple

Khai báo thủ tục tính giá trị y n theo công thức Euler cải tiến:

[>y:=proc(n) option remember;

[>y(n-l)+h/2*(f(x(n-l),y(n-l))+f(x(n),y(n-l)+h*f(x(n-l)

,y(n-l))));