Bất đẳng thức (Ôn vào 10)

Chuyên đề: Bất đẳng thức Danh mục của chuyên đề 20.. Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên 33 21.

Chuyên đề: Bất đẳng thức

Danh mục của chuyên đề

20 Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên 33

21 Tài liệu tham khảo

1

1 >

3-một số hằng bất đẳng thức

+ A2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An ≥ 0 với∀A vá n chẵn ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ A B+ ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A−B ≤ A− B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thứcPh

2

1 [(x−y) 2 + (x−z) 2 + (y−z) 2]≥ 0đúng với mọi x;y;z∈R Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z∈R

Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2a2 +b2 −a2 + ab+b2

a a

a n

a a

4 4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2

0 2

0 2

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

Bài 3: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn: 0 < a ≤ b ≤ c

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y

Chứng minh

y x

y x

⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

<

+ +

=

z y x z y x

z y x

1 1 1

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

1 1

1 + + )=x+y+z - (1+ 1 +1) > 0

z y

z y x

1 1

1 + + < x+y+z theo gt) →2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy

ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

Bài tập áp dụng:

Bài1: a/ Với a, b, c > 0 chứng minh:

1 1 12

 + + ≥  + + ữ

a a

3 2 1 3

2

1 + + + + ≥ Víi a i > 0

2 2 1 1 2 2

2

2 1 2 2

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 1+1+1≥ 9

c b

+ +

+

c a c

b c b a

4)Cho x≥ 0,y≥ 0 tháa m·n 2 x− y = 1 ;CMR: x+y

≥ +

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

2 1

VËy

2

1 3 3

3

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

2 +b +c +d +a b+c +b c+d +d c+a ≥

a

Gi¶i:

Ta cã 2 + 2 + 2 ≥ 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) ≥ 4

ab ab cd

ab c

ac ab

1 1

Bµi2: Cho x, y > 0 cã tæng x + y + z = 1 Chøng minh r»ng: x + y ≥ 16xyz

Bµi3: Chøng minh r»ng: víi a, b, c, d tuú ý ta lu«n cã:

a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)Bµi 4: Cho a + b + c = 1, chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 ≥ abc

Bµi 5: a) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a2 + b2 + c2 = 1 Chøng minh: -1/2 ≤ ab + bc + ca ≤ 1

Tacã





 +

>

+

>

d c b

d c a

d c a

2+b +c =

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1

6

5

≤ 〈 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh)

2,Cho a;b;c ≥ 0 tháa m·n :a+b+c=1(?)

Chøng minh r»ng: (1− 1 ).(1− 1 ).(1− 1 ) ≥ 8

c b

c a b

c a b

c a b

a d

c b

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

b

a

a

+ + +

+

<

+ +

a c

b a

a

+ + +

a

+ +

+ + +

+ (3) T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c b a

d c

c d

c b a

c

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c d b

a d

d d

c b

a

d

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

+ + +

+ + +

d a

d c

c d

c b

b c

ab <

d

c d

cd d

b

cd ab b

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a +

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

≤ Tõ :

c

a d

b

≤

d

b d c

b a c

a

≤ +

+

≤

⇒

a+ =

d c

2 2

1

+ +

=

n n

n

a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

+ + + +

+ +

<

n n n

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

+ +

>

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 1

1 1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

2

2

<

+ + +

u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0

Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

c a b

c b a

) (

) ( 2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

− +

− +

− +

>

⇒

− +

− +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

VÝ dô2: (404 – 1001)

1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c

+ +

+

c a c

b c b

y+ − ; b =

2

y x

z+ − ; c =

2

z y

x+ −

ta có (1) ⇔

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

2

3

≥ ⇔ + − 1 + + − 1 + + − 1 ≥ 3

z

y z

x y

z y

x x

z x y

⇔( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2 ;

y

x x

y

+ ≥ 2

z

x x

z

y y

z

nên ta có điều phảichứng minh

1 2

1

2 2

+

+ +

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+y+z≥3.3 xyz

≥ + +

z y x

1 1 1

z y x z y x

Mà x+y+z < 1

Vậy 1+1+1 ≥ 9

z y

+

c a c

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

( m n p) (m n p)

b a

pc a c

nb c b

+

+ +

+ +

2 2

2

2 2

− +

−

=

y

y y y

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giảthiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứngminh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

1 2

1

2

1 1

1

2 2

1

1 + < − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

⇔

k k

1 1

1 1

1 )

1 (

1

1

1

2 2

+

+ +

<

+ + +

) 1 (

b a b

2

2

1 1 1

= +

1 1

1 1

≥ + + +

a ≥ ≥ ⇒ (a k −b k).(a−b)≥ 0

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b ⇔ k k k k

b a b

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

1 1 1

+ + thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1

1 + + ) vì xyz = 1 theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn

Phần iii : các bài tập nâng cao

1/dùng định nghĩa

1) Cho abc = 1 và a3 > 36 Chứng minh rằng +

3 2

a b2+c2> ab+bc+ac

36

3 − >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 )VËy : +

− +

≥

−

+

y x

y x

2 1

1 1

1

2 2

Gi¶i :

Ta có

xy y

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

2

≥ + +

− +

+ +

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

) ( 1

1

) (

2

+ +

− +

+ +

−

xy y

y x y xy

x

x y x

1 2 2

2

≥ + +

+

−

−

xy y

x

xy x

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Iii / dùng bất đẳng thức phụ

1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

Chứng minh rằng

3

1 2 2

⇔

3

1 2 2

a (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dơng

c b a c b

c c

b a

b c

a b a

b

c c

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ + ≥ 2

x

y y

c b a c b

a c c

a

c b c

b

2 3

3

2 3

- NÕu f(x) ≥ A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x) ≤ B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

Ta cã tõ (1) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 1 ≤ ≤x 4

(2) ⇒ DÊu b»ng x¶y ra khi 2 ≤ ≤x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 ≤ ≤x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

VÝ dô 3 : Cho xy+yz+zx = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4 +y4 +z4

Gi¶i :

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =1 ( ) 2

2 x y h a h a h+ = = =a xy Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất ⇔ =x y

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớnnhất

DÊu (=) x¶y ra khi y = -1

2

VËy x+ 2 −x2 = 4y2 + 4y+ = 3 2 khi x =1 vµ y =-12

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ

1 1 2

x y

VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau

x x x

⇒ =

⇒ = ± NÕu x = 2 th× y = 2 2

NÕu x = - 2 th× y = -2 2

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2

2

x y

x y

y z z

x y z

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ : 0

0

x y

=



 =

