ON THI VAO 10 CO HDAN

Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.. a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.. d Hãy xác định

ĐỀ SỐ 1 Bài 1. (1,5 điểm)

a) Cho biết: A = 9 + 3 7 và B = 9 - 3 7 Hãy so sánh A + B và A.B

b) Tính giá trị của biểu thức:

−

Bài 2.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một tam giác có chiều cao bằng 2

5 cạnh đáy Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm3.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác

Bài 3 (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua

điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F

a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp

b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?

c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Gọi K là giao điểm của MH và EB So sánh MK với KH

d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF

Chứng minh rằng: 1 r 1

3 R < < 2

Bài 4. (2 điểm)

Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2cm2, chu vi là 6cm và AB > AD Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh của hình được tạo thành

ĐỀ SỐ 2

Bài 1 (2 điểm)

a 1

a) Rút gọn biểu thức K

b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0

Bài 2 (2 điểm) Cho hệ phương trình:

mx y 1

334

− =





 − =



a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1

b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm

Bài 3. (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2

3AO Kẻ dây

MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M,

N và B Nối AC cắt MN tại E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất

Bài 4 (2 điểm) Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3 Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly

ĐỀ SỐ 3

Bài 1. Cho hàm số:

y f (x) = = 2 x − + x 2 + a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Chứng minh f(a) = f(- a) với − ≤ ≤ 2 a 2

c) Chứng minh y2 ≥ 4

Bài 2. (2 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Bài 3. (1,5 điểm)

Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = 0 với x là ẩn số, m là tham số (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = - 1

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại

Bài 4. (3 điểm)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, A = 450 Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC Gọi H là giao điểm của BD và CE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh: HD = DC

c) Tính tỉ số: DE

BC. d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vuông góc với DE

ĐỀ SỐ 4

Bài 1 (2,5 điểm) Cho biểu thức

4 1

−

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = - 1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x 3)P x 1 − > +

Bài 2. (2 điểm)

a) Giải phương trình: x4 + 24x2 - 25 = 0

b) Giải hệ phương trình: 2x y 2

9x 8y 34

− =



 + =



Bài 3.

Cho hình bình hành ABCD có đỉnh nằm trên đường tròn đường kính AB Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC Chứng minh:

a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn

b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì BMD BCD · + · không đổi

c) DB.DC = DN.AC

Bài 4.

Cho hình thoi ABCD với giao điểm hai đường chéo là O Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O Lấy một điểm S trên d Nối SA, SB, SC, SD

a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (SBD)

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SBD)

c) Tính SO, biết AB = 8 cm; ABD 30 , ASC 60 · = 0 · = 0

Bài 5.

Chứng minh rằng: Nếu x, y là các số dương thì: 1 1 4

x + ≥ y x y

+ Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi nào?

ĐỀ SỐ 5

A

a) Tìm x để A có nghĩa

b) Rút gọn A

Bài 2.

a) Giải hệ phương trình

3x 2y 5

15

x y

2





 − =



b) Giải phương trình 2x2 − 5 2x 4 2 0 + =

Bài 3.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE

a) Chứng minh BC // DE

b) Chứng minh các tứ giác CODE; APQC nội tiếp được

c) Tứ giác BCQP là hình gì ?

Bài 4.

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng 24 cm và đường cao bằng 20 cm

a) Tính thể tích của hình chóp

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp

Bài 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = (x 2008) + + (x 2009) +

ĐỀ SỐ 6

Bài 1: Cho đường thẳng (D) có phương trình: y = - 3x + m

Xác định (D) trong mỗi trường hợp sau:

a) (D) đi qua điểm A(-1; 2)

b) (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng 2

3

−

Bài 2: Cho biểu thức A = 2 2

x + x + a) Tìm tập xác định của A

b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD Chứng minh:

a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng

b) BQD APB · = ·

C) Tứ giác APBQ nội tiếp

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B Vẽ nửa đường thẳng AS vuông góc với mặt phẳng (ABC) Kẻ

AM vuông góc với SB

a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SBC)

b) Tính thể tích hình chóp SABC, biết AC = 2a; SA = h và ACB 30 · = o

Bài 5:

Chứng minh rằng: Nếu x, y, z > 0 thỏa mãn 1 1 1

4

x + + = y z thì

1

ĐỀ SỐ 7 Bài 1: Tìm x biết x 12 + 18 x 8 = + 27

Bài 2:Cho phương trình bậc hai 3x2 + mx + 12 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại

Bài 3: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ

Tính vận tốc dự định và thời gian dự định

Bài 4:Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC, và cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC Nối BK cắt AC ở I

a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC

b) Chứng minh : IC2 = IK.IB

c) Cho góc BAC 60 · = o Chứng minh cát tuyến AKD đi qua O

Bài 5 Biết rằng a, b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a.b = 1 Chứng minh:

2 2

2 2

a b

HƯỚNG DẪN & ĐÁP SỐ

ĐỀ 1 Bài 1.

a) Ta có A + B = 18 và A.B = 92 − (3 7)2 = − 81 63 18 = nên A = B

.

2

Bài 2.

Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đã cho là x và y (x > 0; y > 0, tính bằng dm) Theo bài ra ta

có hệ phương trình:



y

=

⇔   − + = ⇔  = 





(thỏa mãn điều kiện)

Trả lời: Chiều cao của tam giác là 11 dm và cạnh đáy của tam giác là 55

dm

Bài 3

a) Tứ giác AEMO có:

EAO 90 = (AE là tiếp tuyến)

EMO 90 = (EM là tiếp tuyến) ⇒ EAO EMO 180 · + · = 0

⇒AEMO là tứ giác nội tiếp b) AMB 90 · = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AM OE ⊥ (EM và EA là 2 tiếp tuyến) ⇒ MPO 90 · = 0

Tương tự, MQO 90 · = 0

Tứ giác MPQO là hình chữ nhật c) Ta có ∆EMK ∆EFB (g.g) EM EF

⇒ = (0,25đ)

Vì MF = FB (MF và FB là hai tiếp tuyến) nên:

MK = MF

F

E

M

x

y

F

E

M

H

x

y

K

Mặt khác, ∆EAB ∆KHB (g.g) EA AB

(Talet)

Vì EM = EA (EM và EA là 2 tiếp tuyến) suy ra MK = KH

d) ∆EOF vuông (EOF 90 · = 0) OM là đường cao và OM = R

Gọi độ dài 3 cạnh của ∆EOF là a, b, c Ta có:

+ +

a b c 2a

+ +

a b c 3a

3

< <

Bài 4 (2 điểm).

Hình được tạo thành là hình trụ Số đo độ dài của AB và AD là các nghiệm của phương trình

x2 - 3x + 2 = 0

Từ đó AB = 2cm và AD = 1cm

Thể tích hình trụ là V = πAD2.AB = 2π (cm3) và diện tích xung quanh của hình trụ là

Sxq = 2πAD.AB = 4π(cm2)

ĐỀ 2

Bài 1 (2 điểm)

a) (1 điểm)

Điều kiện a > 0 và a ≠ 1 (0,25đ)

:

a ( a 1) ( a 1)( a 1)

=

.( a 1)

b) (0,5 điểm) a = 3 + 2 2 = (1 + 2)2 ⇒ a 1 = + 2 (0,25đ)

3 2 2 1 2(1 2)

a 0 a

− <



−

< ⇔ < ⇔  >

a 1

0 a 1

a 0

<



Bài 2 (2điểm)

a) (1 điểm) Khi m = 1 ta có hệ phương trình:

x y 1

334

− =





 − =



x y 1 3x 2y 2004

− =





2x 2y 2 3x 2y 2004





x 2002

y 2001

=



 b)



y mx 1

y mx 1

3

2 2





Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ (*) vô nghiệm 3 3

Bài 3.

a)

* Hình vẽ đúng

* EIB 90 · = 0 (giả thiết)

* ∠ ECB 90 = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

* Kết luận: Tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp

b) (1 điểm) Ta có:

* sđcungAM = sđcungAN

*∠ AME = ∠ ACM

*GócAchung,suyra∆AME ∆ACM

* Do đó: AC AM

AM = AE ⇔AM2 = AE.AC c)

* MI là đường cao của tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB

* Trừ từng vế của hệ thức ở câu b) với hệ thức trên

* Ta có: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2

d)

* Từ câu b) suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME Do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nằm trên BM Ta thấy khoảng cách NO1 nhỏ nhất khi và chỉ khi

NO1⊥BM.)

* Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được O1 Điểm C là giao của đường tròn đã cho với đường tròn tâm O1, bán kính O1M

Bài 4 (2 điểm)

Phần nước còn lại tạo thành hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của hình nón do 8cm3

nước ban đầu tạo thành Do đó phần nước còn lại có thể tích bằng

3

  =

 ÷

  thể tích nước ban đầu Vậy trong ly còn lại 1cm3 nước

ĐỀ 3

M

E

C

I

O1

N

B

C D

E

H O

x

Bài 1 a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa là:

2 x 0 x 2

2 x 2

Tập xác định là [-2; 2]

b) f (a) = 2 a − + a 2 ; f ( a) + − = 2 ( a) − − + − + = a 2 2 a − + a 2 +

Từ đó suy ra f(a) = f(- a)

c) y2 = ( 2 x ) − 2 + 2 2 x 2 x ( 2 x ) − + + + 2

= − + 2 x 2 4 x − 2 + + 2 x

= + 4 2 4 x − 2 ≥ 4 (vì 2 4 x − 2 ≥ 0)

Đẳng thức xảy ra ⇔ = ± x 2 Giá trị nhỏ nhất của y là 2

Bài 2.

* Gọi x,y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (điều kiện x,y ∈ ¥ *)

* Theo giả thiết ta có phương trình x + y = 600

* Số sản phẩm tăng của tổ I là: 18

x

100 (sp)

* Số sản phẩm tăng của tổ II là: 21

y

100 (sp)

* Từ đó ta có phương trình thứ hai: 18 21

100 + 100 =

* Do đó x và y thỏa mãn hệ phương trình:

x y 600

+ =







* Giải ra được x = 200 , y = 400

* So sánh điều kiện và kết luận

Bài 3.a) Khi m = - 1, phương trình đã cho có dạng 2 x 4

x 2

= −



b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔∆’ = m2 - (m - 1)3 > 0 (*)

Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u2 thì theo định lí Vi-ét ta có:

2







Từ (2) ta có u = m - 1, thay vào (1) ta được: (m - 1) + (m - 1)2 = 2m ⇔m2 - 3m = 0 ⇔m = 0 hoặc

m = 3 Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*), tương ứng với u = - 1 và u = 2

Bài 4.

a) Ta có ADH AEH 90 · = · = 0, suy ra

AEH ADH 180 + = ⇒tứ giác AEHD nội tiếp được trong một đường tròn

b) ∆AEC vuông có EAC 45 · = 0 nên ECA 45 · = 0, từ đó ∆HDC vuông cân tại D Vậy DH = DC c) Do D, E nằm trên đường tròn đường kính BC nên AED ACB · = · , suy ra ∆AED ∆ACB, do đó:

BC = AC = AE 2 = 2

d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có BAx BCA · = · , mà BCA AED · = · (cùng bù với

·DEB) ⇒ BAx AED · = · do đó DE // Ax

Mặt khác, OA ⊥ Ax, vậy OA ⊥ ED (đpcm)

ĐỀ 4

Bài 1.

=

:

=

.

=

4x

x 3

=

− Điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9

b) P = - 1 khi và chỉ khi 4x + x 3 0 − =

3 9

c) Bất phương trình đưa về dạng 4mx > x + 1 ⇔(4m - 1)x > 1

* Nếu 4m-1 ≤ 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m-1 > 0 thì nghiệm bất phương trình là 1

x 4m 1

>

− Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi x > 9

1 9

4m 1

⇔ ≥

− và 4m - 1 > 0 Ta có 5

m 18

Bài 2.

a) Đặt t = x2, t ≥ 0, phương trình đã cho trở thành: t2 - 24t - 25 = 0, chú ý t ≥ 0 ta được t = 25

Từ đó phương trình có hai nghiệm x = - 5 và x = 5

b) Thế y = 2x - 2 vào phương trình 9x + 8y = 34 ta được: 25x = 50 ⇔x = 2 Từ đó ta có y = 2

Bài 3.

a) Do AB là đường kính đường tròn (O) ⇒ ADB 90 · = 0 mà ADB DBC · = · (so le trong)

DBC 90

⇒ = (1) Mặt khác DMC 90 · = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường kính CD

C D

O M N

b) Khi điểm D di động trên đường tròn (O) thì tứ giác CBMD luôn là tứ giác nội tiép.

Suy ra BMD BCD 180 · + · = 0 (đpcm)

c) Do ANB 90 · = 0 (giả thiết) ⇒ ∈ N (O)

BDN ACD

m BAN ACD (sole trong)



ïng ch¾n

mặt khác DAC DAN DBN · = · = · (cùng chắn DN » ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra ∆ACD ∆BDN AC CD

AC.DN BD.CD

Bài 4

a) SO⊥mp(ABCD) ⇒ AC SO ⊥ (1)

ABCD là hình thoi (giả thiết) ⇒ AC BD ⊥ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AC mp(SBD) ⊥

b) SO mp(ABCD) ⊥ mà SO nằm trong mp(SAC) ⇒ mp(SAC) mp(ABCD) ⊥

c) Trong tam giác vuông AOB có:

AO AB.sin ABO AB.sin 30 = = = 4(cm). Trong tam giác cân ASC có SO là đường cao nên cũng là phân giác, suy ra

2

Trong tam giác vuông ASO có SO = AO.cotg300 = 4.cotg300 Vậy SO 4 3(cm) =

Bài 5.

Ta có

2

Vì x, y là các số dương nên x + y > 0 Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho x + y ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Chú ý: Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x, y và cho hai số dương 1 1

,

x y, sau dó

lí luận để nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta cũng có điều phải chứng minh

ĐỀ SỐ 5 Bài 1.

x 2 1

+ ≥



+ ≠



A

x 1

+

Bài 2.

A

D O

S

a)

b) Ta có a + b + c = 2 5 2 4 2 0 − + =

Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = c 4 2

4

Bài 3

a) Ta có s BCD · s BC »

2

= ®

Do DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

s CDE

2

®

®

⇒ = , mà BD CD » = » (giả thiết)

BCD CDE

b) ODE 90 · = 0(vì DE là tiếp tuyến), OCE 90 · = 0(vì CE là tiếp tuyến)

Suy ra ODE OCE 180 · + · = 0 Do đó CODE là tứ giác nội tiếp

Mặt khác s PAQ · s BD » , s PCQ · s CD »

® = ® = mà BD CD » = » (giả thuyết) suy ra PAQ PCQ · = · Vậy APQC là tứ giác nội tiếp

c) Do APQC là tứ giác nội tiếp, suy ra QPC QAC · = · (cùng chắn »CQ) và PCB BAD · = · (cùng chắn »CD)

Do QAC BAD, suy ra QPC PCB · = · · = · ⇒PQ // BC

Vậy BCQP là hình thang

Bài 4.

a) Trong tam giác vuông AOS có: OA2 = SA2 - SO2 = 242 - 202 = 176

Do SABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông, do đó

∆AOB vuông cân ở O, ta có:

AB2 = 2.AO2 = 176.2 = 352

Do đó: SABCD = AB2 = 352(cm2)

b) Ta có:

Suy ra trong tam giác vuông SOH có:

C

D Q E

P O

D

C O

S

H d

2 2 2 2

xq

2

4.AB.SH

2

2 22.16 122.4 16 122.22 32 61.11 32 671(cm )

Do đó: Stp = Sxq + Sđ = 32 671 352 32 + = ( 671 11 (cm ) + ) 2

Bài 5.

Vậy P ≥ 1, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

(x + 2009)(x - 2008) ≥ 0 ⇔ − 2009 x ≤ ≤ − 2008

Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 1⇔ − 2009 x ≤ ≤ − 2008

ĐỀ SỐ 6 Bài 1:

a) Đường thẳng (D) đi qua điểm A(-1; 2) suy ra m - 3(-1) = 2⇔m = - 1

b) Đường thẳng (D) cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng 2

3

−

Bài 2:

a) Ta có x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 ≥ 2 với mọi x ∈ ¡

Do đó x2 + 2x + 3 ≠ 0 với mọi x ∈ ¡

Suy ra tập xác định của A là ¡

b) Ta có x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = -1

Áp dụng quy tắc so sánh: Nếu m, a, b > 0 thì m m

a b

Ta có A =

1 2

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 1 khi x = -1

Bài 3.

a) Ta có sđ ·CAB= sđ ADB · 1

2

= sđAnB ¼ , (AnB ¼ thuộc đường tròn (O)).

Do đó ·CAB=·ADB Tương tự ACB BAD · = · suy ra ∆ ABD ∆ CBA

CA = BA,mà

ra ∆ BQD ∆ APB ⇒ BQD APB · = ·

A

B

C D

O

O’

P