đề thi và đáp án hsg lop 10

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Kì thi Tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp 10 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂNThời gian làm bài:150 phút không kể thời gian phát đề Câu 1 6 điểm Giải các phương trình, bất

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Kì thi Tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp

10

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂNThời gian làm bài:150 phút ( không kể thời

gian phát đề)

Câu 1 ( 6 điểm)

Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau:

1 x 9 x2 x2 5x16 0.

2 3 x 3 3x 2 24x1

3

2 2







Câu 2 ( 4 điểm)

Cho hàm số yf x( )x2 (m2)x2m 9 có đồ thị (P); tham số m

1 Chứng minh rằng với giá trị m bất kỳ thì phương trình f x  ( 1) 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng y 10 cắt ( P ) tại hai điểm có hoành

độ x1và

2

x sao cho 2 2

1 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3 (4 điểm)

1 Tính giá trị sau

sin 93 sin 423 os243 os87 sin15 sin 75

2 Chứng minh rằng 2 os3x.cosx-2cos 2c 2 x c os4xsin4 x1

Câu 4 ( 4 điểm)

Chọ họ đường cong (C m) có phương trình x2y2 2mx2(3 m y)  5 0

1 Tìm các giá trị của m để (C m) là đường tròn Khi đó, tìm quỹ tích tâm của họ đường

tròn (C m)

2 Khi (C m) là đường tròn; tìm các giá trị của m để đường thẳng :x y  5 0 cắt (C m)

tại hai điểm phân biệt Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm I của (C m)và cắt  tại

H sao cho IH có độ dài nhỏ nhất

Câu 5( 2 điểm)

Cho ABC có điểm C ( 2;1)và phương trình hai đường cao là x 3y 9 0

và x y  7 0.Tìm toạ độ trọng tâm ABC

Hết

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Kì thi Tuyển chọn học sinh giỏi toán lớp

10

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂN Thời gian làm bài:150 phút ( không kể thời

gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1 (6 đ)

1 Điều kiệnx [-3;3], pt tương đương với x( 9 x2  5) [(9-x ) 25]=0 2 

Suy ra ( 9 x2  5)(x 9 x2  5)=0

……….1.0

Giải các phương trình 9 x2  5=0 và x 9 x2  5 0 ……… 0.5 Kết luận phương trình vô nghiệm……… 0.5

2 Điều kiện 2

3

x  , chuyển vế và bình phương hai vế ………0.5

ta được phương trình 14 9 x (24x1)(3x 2)……….0.5 Kết luận phương trình có 2 nghiệm x=1 ……….1.0

3 Hệ phương trình tương đương với

2

2 2

x y x







……….0.5

Với x= y suy ra x   ta được ( 5; 5);(2 5 0  5; 5)……….0.5

Với x =2 suy ra y2  4y 3 0 ta được (2;1); (2;3) ……… 0.5

Với x = -2 suy ra y24y 3 0 ta được ( 2; 1); ( 2; 3)    ………0.5

Câu 2 (4 đ)

1 f x( 1) ( x1)2 (m2)(x1) 2 m 9………0.5 Đặt t = x +1, yf t( ) t2 (m2)t2m 9 có  m2 4m40 0, m………0.5

mọi x………0.5

2 Pt hoành độ giao điểm x2 (m2)x2m 1 0, điều kiện để (P) cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt là   0 hay m2 4m0………1.0

1 2 ( 1 2) 2 1 2 ( 2) 2(2 1) 2 2

x x  x x  x x  m  m m   ……… 1.0

Từ đó suy ra m = 0 thì 2 2

1 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2, so sánh với điều kiện ta được không có giá trị của m thoả bài toán………0.5 Câu 3 (4 đ)

1

sin 93 sin 423 os243 os87 sin15 sin 75

os3 sin 63 os63 sin 3 sin15 os15 1.0

sin(63 3 ) sin 30



    1.0

2 Vế trái

2 4 4

4 4

2 os3x.cosx-2cos 2 os sin

os4x+cos2x-(1+cos4x)-( os sin ) 1.0 os4x+cos2x-1-cos4x- os2x = -1

 1.0 Câu 4 ( 4đ)

1 (C m) là đường tròn khi a2b2 c 0 m2(3 m)2 5 0  2m2 6m 4 0

( ;1) (2; )

Tâm I ( m; m-3) thoả mãn pt x y  3 0 ……… 0.5 Quỹ tích là đường thẳng x y  3 0 ứng với x   ( ;1) (2; ) Tức là đường thẳng

3 0

x y   trừ đi phần đồ thị ứng với giá trị của x trong đoạn [1;2] ….……….0.5 2

2

Khoảng cách từ tâm I đến  là ( ; ) 2 2

2

m

Tìm m để d I ( ; ) bé hơn bán kính R là ( ; )1

5

5

IH ngắn nhất khi H là hình chiếu của I lên , đường thẳng IH vuông góc với nên có vtpt là (1;-1) và đi qua I.……… 0.5 Kết luận đường thẳng có phương trình là x-y-3=0 ………0.5 Câu 5( 2 đ)

Vì toạ độ C không thoả cả hai pt đường cao nên hai đường cao không đi qua C

Giả sử BH: x y  7 0, AH: x 3y 9 0

Vì AC vuông góc với BH và đi qua C nên có pt là x+y+1 =0……….0.5

Vì BC vuông góc với AH và đi qua C nên có pt là 3x+y +5=0

Toạ độ A thoả hê pt x+y +1 =0x 3y 9 0

 ta được A ( 3;2)……… 0.5

Toạ độ B thoả hê pt 7 0

3x+y +5=0





 ta được B ( 3; 4)………0.5 Toạ độ trọng tâm là ( 8 7; )

3 3