Đề thi và đáp án HSG lớp 10 Vĩnh Phúc môn toán (dành cho học sinh chuyên)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (3,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)

4

y x xy





 



2 Tìm tất cả hàm số :f   thoả mãn:

f x y f x y x y  và f 1 f x( )2 x 0

 

 

Câu 2 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên tố p q, sao cho 7p 4p 7q 4q

  chia hết cho pq

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn Một đường thẳng đường  đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I I và 1, 2 I lần3

lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD Tiếp tuyến của đường tròn

1

( )I song song với CD (gần CD hơn) cắt  tại H Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác

1 2 3

I I I

Câu 4 (2,0 điểm).

Xét các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a2b3c20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

L a b c

a b c

      

Câu 5 (1,0 điểm).

Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít

nhất hai phần tử và với mọi ,m n X m n ,  thì tồn tại kX sao cho n mk 2

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

1 1 2,0 điểm

(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)

y x xy





 



Điều kiện xác định: 1; 1

x y

(2) x y x(4 1) x 4x 1 y 4y 1

         thay vào (1) ta được

0,5

(2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2y 3)

0,5

Do (2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2x 3)

Suy ra (1) x x(2 3)y y(2 3) (x y )(2x2y3) 0  xy thay vào (2) ta

được 2

0 ( )

x

x x







  

   



lo¹i

Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 1;

2 2

 

0,5

2 1,0 điểm

Ta có: f x y   f x y f y( )f(0)y y    f x( ) a x với af(0) 0,25

 

 

 

Mặt khác f 1 f x( )2 f(0)2 x a x2 x 0

 

 

0,25

2 2

1

a x



2 2,0 điểm

,

p q đều khác 2, 7 Không mất tính tổng quát ta giả sử qp Khi đó từ giả thiết ta 0,5

được 7p 4p

p

  hoặc 7q 4q

p

  TH1 7p  4pp, theo định lí Fermat ta có:

7p  4p 3 mod p  3 0 mod p  p3

0,5 TH2 7q  4qp, ta có p1,q 1 tồn tại 2 số nguyên dương u v, sao cho

1 1 1 1

7q 4 modq p 7qv 4qv mod p 7p u 4p u mod p

7 4 mod p 3 0 mod p p 3

0,5

Với p  , từ giả thiết ban đầu ta được:3

73 43 7q 4q3q 9.31 7 q 4q3q  q3,q31

Vậy p q ,   3, 3 , 31, 3 , 3, 31      

0,5

3 2,0 điểm

I2

E K B

C L

H

I3

A

D

F

I1

Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn  I cắt BC tại K và đường1

thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một hình bình

hành

0,5

Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên

AD HL AD CK AD BC BK

AB CD BK AB BK CD AH HK CD

AH LC CD AH DL

Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( )I3

0,5

Vì FD                KH FH;   HA

nên các đường phân giác HI của góc 1 AHK và FI của3 góc HFD vuông góc với nhau; hay I H1 I I2 3 (Do F I I thẳng hàng) (1), ,2 3 0,5 Chứng minh tương tự, cũng được HI3 EI2 hay I H3 I I1 2 (2)

4 2,0 điểm

4 4 3 4

4

  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2

2

  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 3

4

  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 4

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được 3 3 9 4 8

a b c

a b c

      (1) Mặt khác, do a2b3c20 nên 3 5

4 2 4

a b c

   (chia hai vế cho 4) (2)

0,5

Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được 3 9 4 13

2

L a b c

a b c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a2,b3,c4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

L bằng 13, đạt được khi a2,b3,c4 0,5

5 1,0 điểm

Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và m n là hai phần tử bé nhất của X Khi đó, do

cách xác định X nên tồn tại kX sao cho n mk 2 Suy ra m k n  và do đó k m

hoặc k n

Với k n  n m n 2  m n  vô lí.1

0,25

1

k m  m n m   m

+) Nếu |X  thì tập hợp | 2  3 

1 ,

X  m m m  +) Nếu |X  , gọi | 3 q là phần tử bé thứ ba của X (tức là m n q  ) Khi đó tồn tại

X



 sao cho 2

q m 

0,25

Do q   nên hoặc m hoặc n

Nếu m thì q m 3 n, vô lý Vậy 3

n m

 

Nhưng tồn tại t X sao cho 2

q nt , do đó t m 2 Mà 2 3 2

m m m  m  X , vô lý

Vậy |X  và | 2  3 

1 ,