Phòng GD Thạch Thành Kỳ Thi học sinh giỏi năm học 2010-2011Trờng THCS Thành Tân Môn Toán.. CMR: Ba điểm A, B,M thẳng hàng.. Ba điểm A,B,C không thẳng hàng b.. Trên tia AC lấy điểm M s
Trang 1Phòng GD Thạch Thành Kỳ Thi học sinh giỏi năm học 2010-2011
Trờng THCS Thành Tân Môn Toán
Ngời ra đề: Nguyễn Hữu Hà Thời gian: 150'
Đơn vị : Trờng THCS Thành Tân
Đề Bài:
Câu 1: (3đ) Cho 1
2
x
= + ữữ
với a>0, b>0
Tính giá trị của biểu thức Q= 2
2
1
x
−
Câu 2:(3đ) Giải bất phơng trình :
2
2x − 6x+ − 8 x≤ −x 2
Câu 3: (4đ)Giải hệ phơng trình
( x-y)( x2 -y2) = 3
( x+y)( x2+y2) =15
Câu4:(3đ) Cho a; b; c không âm thõa mãn điều kiện a+b+c= 1
CMR: b + c ≥ 16abc
Câu5: (3đ)Cho A( 0;5) , B(-3;0) , C( 1;1) , M ( - 4,5; - 2,5)
a CMR: Ba điểm A, B,M thẳng hàng Ba điểm A,B,C không thẳng hàng
b Tính diện tích tam giác ABC
Câu 6:(4đ) Cho (0, R) đờng kính AB Lấy điểm C thuộc (0) Trên tia AC lấy
điểm M sao cho C là trung điểm của AM
a Tìm vị trí của điểm C để AM lớn nhất
b Xác định vị trí của điểm C để AM =2R 3
***************Hết**************
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
H
ớng dẫn chấm:
Câu 1
Ta có x2= 2 ( )2
1
1
a b
1đ
Trang 2=> Q =
2
2 2
a b
a b ab
a b
−
−
=
+ −
+ nếu a≥b => Q = ( )
= + − −
+ nếu a<b => Q = a b
a
− +
1đ
0.5đ 0.5đ
Câu 2
Điều kiện: x ≥0
Biến đổi đa về dạng ( )2
2 x− 2 + 2x ≤ − +x 2 x
Đặt u = x ≥0, v = x-2
khi đó bất PT có dạng: 2u2 + 2v2 ≤ +u v
u+v ≥0 u+v ≥0 u=v =0
2u2 + 2v2 ≤ (u+v)2 (u - v)2 ≤ 0
x-2 ≥0 x≥2 x=4 Thõa mãn đk
x = −x 2 x2 -5x +4=0
Vậy nghiệm của BPT x= 4
0.5đ 0.5đ
0.5đ 1đ 0.5đ
Câu3
Hệ (x-y)2(x+y)= 3 [ (x+y)2 - 4xy] (x+y) =3 (*)
(x+y)(x2 +y2)=15 (x+y)[ (x + y)2 -2xy] =15
Trừ vế cho vế ta đợc:
2xy(x+y) =12 => x+y = 6
xy
Thay vào (*) ta đợc [(xy6 )2 -xy] xy6 =3 => xy = 2 => x+y =3
Khi đó hệ đã cho x+y =3 giải hệ ta đợc x1 =1, y1=2
xy=2 và x2= 2 , y2 = 1
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) =( 1;2) = (2;1)
1đ
1đ 1đ
1đ
Câu 4 Ta có : a= 1- b-c
Thay vào biểu thức b+c ≥16abc b+c ≥ 16bc( 1- b-c)
b+c ≥ 16bc -16b2 c - 16 bc2
0.5đ 0.5đ
Trang 3 16b2c +16bc2 - 16bc +b+c ≥ 0
c( 16b2 -8b +1 ) + b( 16c2 -8c +1) ≥0
c( 4b -1)2 + b( 4c -1)2 ≥0 Đúng
=> Điều phải chứng minh
1đ
Câu 5
a Gọi dờng thẳng y= ax + b (a≠0) là đởng thẳng AB
Đờng thẳng này đi qua A nên b=5
=> Đờng thẳng y= ax +5 đi qua B(-3;0) nên 0=a(-3) +5=> a= 5
3
(TMĐK)
Vậy đờng thẳng AB : y= 5
3x +5 Tọa độ M(-4.5;-2.5) thõa mãn hàm số y= 5
3x +5 Nên A,B,M thẳng hàng
Điểm C(1;1) có tọa độ không thõa mãn hàm số y= 5
3x +5 Nên C không thuộc đờng thẳng y= 5
3x +5 Do đó A,B,C không thẳg hàng
b Tacó AB2 =9+25=34
AC2=1+ 16=17
BC2=16+ 1 =17 => AB2= AC2+ BC2=> Tam giác ABC
vuông Do đó SABC = 1
2AC.BC =1 17 17 8.5
2 = (đvdt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
Câu 6
M
C
\
A o B
a Vì AM=2AC nên AM lớn nhất Ac lớn nhất
1đ
o
Trang 4Ac là đờng kính của Đờng tròn (o) C trùng với B
b Điểm C nằm trên dờng trònđờng kính AB
nên ∠ ACB =900 Xét ∆ ABC vuông =>AC = AB cos A =2RcosA
AM = 2AC =4Rcos A
Nên AM = 2R 3 4R cos A = 2R 3
cos A = 3
2
∠A = 300
Vậy C thuộc đờngt ròn (0) sao cho ∠ A = 300
1đ
1đ