c Viết phương trình đường thẳng d2 qua A và vuông góc với d1.. Bài 3: Các đường cao của tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn O cũng là các đường phân giác của tam giác trực tâm.. Bài 4:
Trang 1§1.CĂN BẬC HAI I- MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
2
Bài 2 Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
x 2
§2.RÚT GỌN BIỂU THỨC.
Bài 1: a ab a b;(a 0,b 0)
b b a
Bài 3: Rút gọn rồi tính:
a) 1 10a 25a 2 4a với a = - 5 b) 4x 9x26x 1 với x = - 3
c) 9a 9 12a 4a 2 với a = - 9 d) 1 3m m2 4m 4
m 2
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
2
2
Bài 6: Cho biểu thức
2
A
6x 3y
a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
Trang 2b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
Bài 7: Phân tích thành thừa số: 1 a a a
1 a
với a > 0; a ≠ 1.
Bài 8: Chứng minh rằng:
2
1 x x x 1 x 1
1 x
1 x
x x
x
x
1
1
1
2 2
1
x
x x
x
( với x > 0 ; x 1 ; x 4) a) Rút gọn A ; b) Tìm x để A = 91
P
(với x ≥ 0 ; x 4 ) a) Rút gọn P b) Tìm x để P = - 2
§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 Giải các hệ phương trình sau
Bài 2 Với giá trị nào của tham số m thì
3x 5y 2m
có nghiệm nguyên b) mx 2y 1
3x y 3
§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Giải các phương trình sau:
2
r) x 1 x 1 s) x 1 x 3 t) 2x 1 x 3 4 u) x 2 x x 24
v) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +1 = 0 z) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) = 4
§5 ĐỊNH LÍ VIET:
Bài 1: Cho phương trình x 2 – 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình hãy tính:
Trang 3
Bài 2 Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2 – 7x – 3 = 0 Hãy lập phương trình có nghiệm là:
Bài 3 Cho phương trình x 2 + (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3 Tìm m và nghiệm còn lại.
c) Tìm m để 1 2
2
d) Tìm m để 2x1 x2 x1 2x2 0
e) Tìm biểu thức liên hệ giữa x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
Bài 4: Cho phương trình 2x 2 – 5x + 1 = 0 tính x x1 2 x x2 1 ( x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình) Bài 5:Cho phương trình x2 2 3x 1 0 , có hai nghiệm x1, x2 Không giải phương trình Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
1 2 1 2
Bài 6: Tìm hai số u, v biết: a) u + v = - 3 ; uv = - 4 b) u + v = 5 ; uv = - 24.
Bài 7: Cho phương trình x 2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0
a) Chứng minh rằng PT luơn cĩ hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của PT Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x 1 + x 2
Bài 8.Cho phương trình x 2 + mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x 1 2 + x 2 2 ; x 1 3 + x 2 3 theo m.
d) Xác định giá trị của m để x 1 2 + x 2 2 = 10.
e) Tìm m để 2x 1 + 3x 2 = 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
Bài 9.Cho phương trình bậc hai: mx 2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0 Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 10.Cho phương trình x 2 – mx + m – 1 = 0 ( ẩn x, tham số m).
Trang 4a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x 1 + x 2 – 6x 1 x 2
+) Chứng minh A = m 2 – 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
§6.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Bài 2 : Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2 giờ Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2 chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
Bài 3 : Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 54 Tìm số ban đầu.
Bài 4 : Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225 m 2 Tính kích thước của hình chữ nhật đó.
Bài 5 : Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày phần việc của đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Bài 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 5h20 ’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
HD: Gọi x(km/h) là vận tốc của thuyền.(x > 0).
Ta có phương trình: 20x x202 163
Vận tốc của thuyền là 3km/h.
Bài 8: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút Tính vận tốc lúc đi.
HD: Gọi x(km/h) là vận tốc lúc đi của người đi xe đạp (x > 0).
Ta có phương trình: 30x x36313
Vận tốc lúc đi là 9km/h.
Bài 9: Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất 180 tấn dụng cụ trong một thời gian đã định Nhưng nhờ tinh thần thi đua, nên mỗi ngày xí nghiệp sản xuất nhiều hơn mức dự kiến 1 tấn; chẳng những rút ngắn thời gian dự định 1 ngày mà còn sản xuất thêm 10 tấn ngoài kế hoạch Hỏi thời gian dự kiến bao nhiêu ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm ra bao nhiêu tấn dụng cụ ?
HD: Gọi x(tấn) là mức sản phẩn theo kế hoạch (x > 0) Ta có phương trình: 1
1 x
190 x
180
Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân đều các phòng Nếu xếp mỗi phòng thi thêm 4 thí sinh thì số phòng thi sẽ giảm đi 2 phòng Hỏi lúc đầu mỗi phòng thi dự định xếp bao nhiêu thí sinh ? HD: Gọi x là số thí sinh dự định xếp vào một phòng thi (x nguyên dương).
Trang 5Ta có phương trình: 2
4 x
390 x
390
§7 HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)
2.Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
3.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax 2 (a ≠ 0)
4.Vị trí của đường thẳng và parabol
B MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1:.Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số
2
x
4
a) Vẽ (P) và (d).
b) Dùng đồ thị để giải phương trình x2 4x 4 0 và kiểm tra lại bằng phép toán.
c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ là - 4 Tìm giao điểm còn lại của (d1) với (P).
Bài 2.Cho (P): y = 1 2
x
4 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2
và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d).
c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn nhất thì đường cao MH lớn nhất MH lớn nhất khi là khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB và tiếp xúc với (P)
Bài 3: Cho (P): y = ax 2
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) Hàm số này đồng biến, nghịch biến khi nào b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) và tìm m để (d) và (P) chỉ có một điểm chung.
Bài 4:.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1).
b) Tìm a trong hàm số y = ax 2 có đồ thị là (P) qua A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1).
d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm tọa độ của
B và C Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 5:.Cho (P): y = x 2 và (d): y = 2x + m Tìm m để (P) và (d):
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tiếp xúc nhau.
c) Không giao nhau.
Bài 6:.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x 2
a) Vẽ (P).
b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2 Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).
Trang 6Bài 8:.Cho hai đ thẳng (d1) và (d2) có phương trình lần lượt là:y = (m-2)x + 4 và y = mx + m + 2.
a) Tìm m để (d1) đi qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m vừa tìm được.
b) Chứng tỏ rằng (d1) luôn đi qua điểm cố định với m ≠ 2.
c) Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2); (d1) (d2).
d) Tính diện tích phần giới hạn bởi hai đường thẳng (d1), (d2) và trục hoành trong trường hợp (d1) (d2).
§8- 15 BÀI TỐN PHỤ CẦN NHỚ TRONG HÌNH HỌC 9.
Bài 1: Số đo hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Bài 2: Hình thang nội tiếp được là hình thang cân.
Bài 3: Các đường cao của tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) cũng là các đường phân giác của tam giác trực tâm Và các cạnh của tam giác trực tâm này lần lượt vuơng gĩc với các bán kính OA; OB;OC
Bài 4: Trong một tam giác, khoảng cách từ đỉnh đến trực tâm bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến trung điểm của cạnh đối diện.
Bài 5: Khoảng cách từ một điểm nằm trong tam giác đều đến các cạnh là khơng đổi.
Bài 6:Tam giác đều ABC nội tiếp đ trịn (O; R) khi và chỉ khi AB = BC = CA = R 3
Bài 7: ( Hệ thức lượng trong đường trịn) Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Hai cạnh đồi AD và
BC cắt nhau tại M thế thì: MA.MD = MB.MC.
Bài 8: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) và một điểm M di động trên cung nhỏ BC Khi đĩ MA = MB + MC
Bài 9: Trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường trịn ngoại tiếp O của một tam giác thẳng hàng ( đường thẳng Ơ Le) Đồng thời HG = 2 GO.
Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) và ngoại tiếp đường trịn (I) Tia AI cắt (O) tại D Thế thì DB = DC = DI.
Bài 11: ( Đảo của bài tốn 10) Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác gĩc A cắt (O) tại
D Kẽ đường trịn (D; DB) cắt AD tại I Thế thì I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 12: Tam giác ABC cĩ A 60 0 nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I), gọi H là trực tâm thế thì 5 điểm B; H; I; O; C cùng thuộc một đường trịn Đồng thời AH = AO.
Bài 13: Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Các điểm đối xứng với trực tâm H qua dây BC; qua trung điểm dây BC đều nằm trên (O).
Bài 14: Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) và M di động trên (O) Gọi H; P; Q lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên 3 đường thẳng AB; BC; CA Khi đĩ H, P, Q thẳng hàng ( đường thẳng Sim – Sơn).
Bài 15: ( Đẳng thức Ptơ-lê-mê) Trong một tứ giác nội tiếp Tổng của tích các cạnh đối bằng tích hai đường chéo.
§9.CHỨNG MINH HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN: Phương pháp chứng minh
1 Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
2 Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.
3 Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.
4 Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.
5 Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp (Trong đó
6 Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …
Trang 7Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên đó có điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C sao cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại A và B với (O) Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của CQ và BM Chứng minh:
a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp.
b) AB//DE.
c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AA’, đường cao AM.
a) Hai đường cao BN, CP cắt nhau tại H và PN cắt AA’ tại S Chứng minh các tứ giác BPNC và A’SNC nội tiếp.
b) Chứng minh PN vuông góc với AA’.
3) Cho (O; R) và dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại P và K Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác ACP và PCB đồng dạng.
Từ đó suy ra CP 2 = CB.CA.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK, tính PH theo R.
d) Giả sử PA // CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP.
4) Cho tam giác ABC cân tại A, một cung tròn phía trong tam giác tiếp xúc với AB, AC tại B và C Từ điểm D trên cung BC kẻ các đường vuông góc DE với BC, DF với AC và DG với AB Gọi M là giao điểm của BD và GE, N là giao điểm của EF và DC Chứng minh:
a) Các tứ giác BEDG và CEDF nội tiếp.
b) DE 2 = DF.DG
c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy ra MN vuông góc với DE.
d) Nếu GB = GE thì EF = EC.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại C Đường tròn (O) đường kính CD (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB) cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại E và F Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với (O); hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của EF và BK là P.
a) Chứng minh BMFP là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là giao điểm của AF với BE So sánh diện tích của tam giác AIB với diện tích tứ giác CEIF.
c) Giả sử 3 điểm D,M và P thẳng hàng Tính số đo góc A của ABC.
HD: a)Tứ giác ECFM nội tiếp EMF = 90 0
F là trực tâm KEBEP KB
b) Ta chứng minh S AIB = S CEIF S ACF = S AEB AC.CF = AE.BC
Thật vậy: AC AE AD AB CB ED CB CF (đpcm)
c)Do D,M,P thẳng hàng nên FED= FMP= PBF
FEC = BKC KPE vuông cân CEDF là hình vuông A = 45 0
Bài 6: Cho hình vuông cạnh a Điểm M di động trên cạnh BC, điểm N di động trên cạnh DC sao cho góc MAN = 45 0 Đặt BM = x và DN = y.
Trang 8a) Chứng minh hệ thức: a2 a.xyxy
b) Xác định vị trí của M và N sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó theo a.
HD:
a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho KD = x
S ABCD = 2.S AKN + S MCN (đpcm)
b) S AMN = S AKN = a.(x+y)/2 lớn nhất (x+y) lớn nhất.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh là a và điểm N trên cạnh AB Tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh rằng:
a) CE = CF
b) ACE = BCM và EAC MBC
c) Khi N chạy trên cạnh AB nhưng không trùng với A,B thì trung điểm M của đoạn EF luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
d) + Đặt BN = x; tính S ACFE theo a và x?
+ Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
HD:
a) CDE = CBF ( g-c-g)
b) CBMF nội tiếp BMC = BFC = AEC đpcm.
c) Dễ chứng minh: MA = ½.EF = MC M thuộc đường trung trực AC.
d) + S ACFE = S ACE + S ECF = 1/2.CD.AE + ½.CE 2 = 3 2
2
) (
x
x a
Trong đó: AE = a(a-x)/x
+ S ACFE = 3.S ABCD 6x 2 – ax – a 2 = 0 x = a/2.
Bài 8: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Điểm A thuộc (O) sao cho AB > AC Đường cao AH của
ABC, đường tròn tâm I bán kính AH/2 cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và D Chứng minh:
a) ADHE là hình chữ nhật
b) BCDE là tứ giác nội tiếp.
c) OA DE
d) Các đường tròn (O), (I) còn cắt nhau tại F khác A Đường thẳng AF cắt BC tại M Chứng minh rằng: M,D ,E thẳng hàng.
e) Khi AC = R Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi cung nhỏ AB của(O), đoạn BH và cung AH của đường tròn (I) theo R.
Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R C là một điểm bất kì trên (O;R) khác A và B Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Gọi M là trung điểm của AD.
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O).
b) OM cắt AC tại I, chứng tỏ khi C di chuyển, I luôn luôn di động trên một đường tròn cố định c) Biết BC = R Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi cung nhỏ AC và các đoạn thẳng AD và DC.
§10 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
1 Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.
Chứng minh
Trang 92
e) A x 2x 1 x 2x 2 2x x 15 không phụ thuộc vào biến x.
g) B 2a a 5 5 a 2a 1 0 a.
h) (1 – 2a)(5a 2 + 2a + 1) = 1 – 10a 3
i) (5x 3 + 4x 2 y + 2xy 2 + y 3 )(2x – 10y) = 10(x 4 – y 4 ).
k) a 3 + b 3 + c 3 -3abc = 0 a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)
m) x, y 0 thì x y 2
3 Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị của biểu thức A yz zx xy2 2 2
x y z
4 Cho x + y + z = 0 Chứng minh x 3 + y 2 z + y 3 + x 2 z – xyz = 0.
5 Cho x + y + z = 0 Chứng minh 2 12 2 2 12 2 2 12 2 0
x y z x z y y z x
xy x 1 yz y 1 xz z 1
7 Cho x + y + x = a và 1 1 1 a
8 Tính giá trị của biểu thức P = x 2009 + y 2009 + z 2009 Biết x, y, z là nghiệm của phương trình:
x y z a (xy yz zx)a xyz 0
§11 CÁC BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau
A = x 2 – 4x + 1 B = 2 + x – x 2 C = x 2 – 2x + y 2 – 4y + 6.
2 2
2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các bểu thức sau
Trang 102 2 2 2
A x y 6x 2y 17; B x 4xy 5y 10x 22y 28
Bài 3: BĐT Cô – Si: Cho hai số không âm a, b ta có: a b 2 ab .
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Áp dụng: Chứng minh các BĐT sau:
1) x 2 + y 2 ≥ 2xy 2) (x + y) 2 ≥ 4 xy hoặc
2
x y xy
2
3) Cho a + b = 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 2
4) Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1.
5) Cho các số không âm a và b Chứng minh rằng (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab.
3)
2
x y
2
4)
4
x y
8
5) Cho x, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh 8(x y )4 4 1 5
xy
6) Chứng minh a b 2
b a ,Với a, b cùng dấu Chứng minh a b 2
b a ,Với a, b khác dấu.
7) x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx với mọi x, y, z 8) (x + y + z) 2 ≥ 3(xy + yz + zx)
9) (a + b)(1 1) 4
a b 10)
1 1 1
a b c
11) Cho a, b, c > 0 Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
12) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1 Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
13) (x + y + z) 2 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ) với mọi x, y, z.
14) Cho các số x, y, z có tổng bằng 3, Tìm:
a) GTLN của P = xy + yz + zx b) GTNN của Q = x 2 + y 2 + z 2
15) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
a) Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) b) Chứng minh: 1 1 4
x y x y với mọi x, y.
a b c a c b b c a a b c
Trong đó p là nứa chu vi của tam giác.
16) Giải các phương trình sau:
a) x 2 + y 2 + z 2 = x(y + z) b) (x + y) 2 = (x + 1)(y + 1)
c) (x + 1)(y + 1)(x + y) = 8xy với x, y ≥ 0 d) (x 2 + 1)(y 2 + 4)(z 2 + 9) = 48xyz.
e) x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x(y + z + t)