Xỏc định m để hàm số 1 cú ba điểm cực trị, đồng thời cỏc điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giỏc cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1.. Gọi C' là trung điểm của SC..
Trang 1đề thi thử môn toán
Thời gian làm bài 180 phỳt
Cõu 1 ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y x = −4 2 mx2+ − m 1 (1) , với m là tham số thực
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1
2 Xỏc định m để hàm số (1) cú ba điểm cực trị, đồng thời cỏc điểm cực trị của
đồ thị hàm số tạo thành một tam giỏc cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1
Cõu 2 ( 2,0 điểm )
1 log 5 6 log 2 log 3
2
x − x+ + x− > x+
2 Giải phương trỡnh:
sin 2 cos x x + − 3 2 3 os c x − 3 3 os2 c x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 0 =
Cõu 3 ( 1,0 điểm )
Tớnh tớch phõn I = 2 2
6
1 sin sin
2
π
Cõu 4 ( 1,0 điểm )
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, góc BAD= 600, SA vuụng gúc mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C' là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC'
và song với BD, cắt cỏc cạnh SB, SD của hỡnh chúp lần lượt tại B', D' Tớnh thể tớch của khối chúp S.AB'C'D'
Cõu 5 ( 1 ,0 điểm )
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng :
3 1 3 1 3 1 3
Cõu 6 ( 2,0 điểm )
1 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và tâm I của hình bình hành nằm trờn đường thẳng y = x Tỡm tọa độ đỉnh C và D
2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng
∆
1 2
1
2
z t
= − +
= −
=
Một điểm M thay đổi trờn đường thẳng ∆, xỏc định vị trớ của điểm M
để chu vi tam giỏc MAB đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 7 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trỡnh :
= + +
= +
2 2
1 3 2 2
3 3
y xy y
x y x
Trang 2Híng dÉn
C©u 1 2 ' 3 ( 2 )
2
0
x m
=
+ Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔pt y' =0 có ba nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó ⇔ >m 0
+ Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A(0;m−1 ,) B(− m m;− 2+ −m 1 ,) (C m m;− 2+ −m 1)
2
ABC B A C B
SV = y −y x −x =m m; AB AC= = m4+m BC, =2 m
3 2
1 2
2
ABC
m
AB AC BC
=
=
V
C©u 2
1 ĐK : x>3
2
2
3
x
x
−
+
3
x
x
−
+
9 1
10
x x
x
< −
>
KÕt hîp víi §K, ta được nghiệm của PT là : x> 10
2 Gi¶i PT lîng gi¸c
0 3 3 ) sin cos 3 ( 8 3 3 cos 3 6 cos 3 2 cos sin 6 cos
sin
2
0 3 3 ) sin cos 3 ( 8 2 cos 3 3 cos 3 2 ) 3 (cos
2
sin
2 3
2
3
=
−
− +
+
−
− +
⇔
=
−
− +
−
− +
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x
0 ) sin cos 3 ( 8 ) sin cos 3 ( cos 6 ) sin cos 3 (
cos
−
Trang 3
=
=
=
⇔
=
− +
=
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
) ( 4 cos
1 cos
3 tan 0
4 cos 3 cos
0 sin cos
3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos
3
(
2
2
loai x
x
x x
x
x x
x x
x x
Ζ
∈
=
+
=
k x
k x
, 2
3
π
π π
Câu 3
Ta có: I =2 2
6
1
2
π
6
3 cos (cos ) 2
π π
3
2
x = × t
x cos
6 t 2 t 4
= ⇒ = ⇒ =
Do vậy:
2 2
4
3 sin 2
π
π
= ×∫ = 3 ( 2)
16 π +
Câu 4.
Ta có: ∆SAC vuông tại A ⇒
2 2 2a
SC= SA +AC =
⇒ AC' = SC/ 2 = a ⇒∆SAC' đều
Vì (P) chứa AC' và (P)// BD ⇒ B'D' // BD Gọi O là tâm hình thoi ABCD và I = AC' ∩ B'D' ⇒ I là trọng tâm ∆SBD
Do đó: ' ' 2 = 2
B D = BD a Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ D'B' ⊥ (SAC) ⇒ B'D' ⊥ AC'
Do đó: SAB'C'D' = 1 ' ' ' 2
a
AC B D = Đường cao h của khối chóp S.AB'C'D' chính là đường cao của tam giác đều SAC'
2
a
h= → V = 1 . ' ' ' 3 3
3 AB C D 18
a
h S = (đvtt)
Câu 5.
+Ta đặt , c z
y b , x
a= 1 = 1 =1 với x y z, , >0 và do abc=1 nên xyz=1
+ BĐT
2
y z z x x y
Trang 4+Theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
( ) ( ) ( ) x2 y2 z2 ( )2
y z z x x y
xyz
y z z x x y
→ BĐT đuợc chứng minh.
Câu 6
1
Ta có: uuurAB= −( 1;2)⇒AB= 5 Phương trình của AB là: 2x y+ − =2 0.
I∈ d y x= ⇒I t t I là trung điểm của
AC và BD nên ta có:
(2 1;2 ,) (2 ;2 2)
C t− t D t t− .
Mặt khác: S ABCD =AB CH =4 (CH: chiều cao) 4
5
CH
Ngoài ra: ( )
| 6 4 | 4
;
t
d C AB CH
Vậy tọa độ của C và D là 5 8; , 8 2;
C D
hoặc C(−1;0 ,) (D 0; 2− )
2 Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất
Điểm M∈∆ nên M(− +1 2 ;1 ; 2t −t t).
2
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ ur=(3 ; 2 5t ) và vr= − +( 3t 6;2 5).
Ta có ( ) ( )
2 2
2 2
r
r
Suy ra AM BM+ =| | | |ur + vr và u vr r+ =(6; 4 5)⇒ + =|u vr r| 2 29
Mặt khác, với hai vectơ u vr r, ta luôn có | | | | |ur + vr≥ +u vr r| Vậy AM BM+ ≥2 29
Trang 5Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u vr r, cùng hướng 3 2 5 1
t
t t
− +
(1;0; 2)
M
⇒ và min(AM BM+ ) =2 29
Câu 7.
Ta cã
=
−
− +
= +
⇔
= + +
= +
) 2 ( 0 2
2
) 1 ( 1
2 2
1
2 2
3 3
3 3
3 2 2
3 3
xy y x y x
y x y
xy y x
y x
y≠0 Ta có:
= +
−
−
= +
) 4 ( 0 1 2
2
) 3 ( 1
2 3
3 3
y
x y
x y
x
y x
Đặt : t
y
x
= (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0 ⇔ t = ±1, t =
2
1 a) Nếu t = 1 ta có hệ 3
3 3
2
1 1
=
=
⇔
=
= +
y x y
x
y x
b) Nếu t = -1 ta có hệ ⇔
−
=
= +
y x
y
x3 3 1
hệ vô nghiệm
c) Nếu t =
2
1
ta có hệ
3
3 2 ,
3
3 2
3 3
=
=
⇔
=
= +
y x
x y y x