Luyện thi ĐH cấp tốc

Viết ptđt đi qua 2 đctr của hs.. Tìm gt của m để đths cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.. Tìm m để Cm cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoành độ dương.. Tìm m để Cm cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ

I.Xét tính đơn điệu của hàm số:

1/ Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 𝑎) 𝑦 = 𝑥

𝑙𝑛𝑥 ; 𝑏) 𝑦 = 𝑥+1

𝑥2−𝑥+1 ; 𝑐)𝑦 = 𝑥2

𝑥2−1;

𝑑) 𝑦 = 𝑥3 2 𝑥 − 5 ; 𝑒) 𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥 ; 𝑓) 𝑦 = 4 𝑥2 + 1 − 2𝑥 2/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:𝑦 = 𝑥3 − 3 2𝑚 + 1 𝑥2 + 12𝑚 + 5 𝑥 + 2 đồng biến trên: a/ R ; b/ khoảng 2; +∞ ; 𝑐) 𝑐á𝑐 𝑘𝑕𝑜ả𝑛𝑔 −∞; −1 𝑣à 2; +∞

3/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 𝑦 = (𝑥2 + 𝑚𝑥 − 5) (3 − 𝑥)

a/ Nghịch biến trên khoảng (- 1; 0) ; b/ Nghịch biến trên các khoảng của tập xác định ;

c/ đồng biến trên khoảng ( -2; 2 ) 4/ Xác định gt của m để hs sau luôn nghịch biến trên R: 𝑦 = 𝑚 − 3 𝑥 − 2𝑚 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥

5/ Tìm đk của a, b để hs sau luôn đb trên R: 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥

6/ Biết hs 𝑦 = − 𝑚2 + 5𝑚 𝑥3 + 6𝑚𝑥2 + 6𝑥 − 6 đơn điệu trên R; hỏi nó đb hay nb ?

II.Cực trị của hàm số:

A - Lý thuyết:

Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 1 𝑣à 𝑦 = 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 𝑞𝑥 + 𝑟 (2) có CTR khi PT

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt Hàm số (1) nếu có CTR và 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑓 𝑦′ + 𝑔𝑥 + 𝑕 thì

𝑦𝐶Đ = 𝑔𝑥𝐶Đ+ 𝑕 ; 𝑦𝐶𝑇 = 𝑔𝑥𝐶𝑇 + 𝑕 𝑣à 𝑝𝑡đ𝑡 𝑞𝑢𝑎 Đ𝐶Đ&Đ𝐶𝑇 𝑙à: 𝑦 = 𝑔𝑥 + 𝑕

HS (2) nếu có CTR thì: 𝑦𝐶Đ = (2𝑚𝑥𝐶Đ + 𝑛) 𝑞 & 𝑦𝐶𝑇 = (2𝑚𝑥𝐶𝑇 + 𝑛) 𝑞 và ptđt qua ĐCĐ và ĐCT là: y = (2mx+n)/q

ĐK để đồ thị của hs (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là : 𝑦𝐶Đ 𝑦𝐶𝑇 < 0

B – Luyện tập:

1/ Cho hs 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 3 𝑚 + 2 𝑥 − 𝑚 − 6 Viết ptđt đi qua 2 đctr của hs Tìm gt của m để đths cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

2/ Cho hs 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑚2𝑥 + 𝑚 Xác định m để đcđ & đct của đths đối xứng qua đt x – 2y = 5

3/ Cho hàm số: 3 2

yx  x  Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trên nằm về hai phía của đường tròn (C): 2 2 2

x y  x aya  

4/ Cho hàm số 3 2

yx  mx  m (Cm).Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường phân giác góc phần tư thứ nhất

5/ Cho hàm số y x3 3mx2 3m2 1 x m2  1 (Cm) Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoành độ dương

6/ Cho hàm số 3 2  2  3

1 3

3mx m x m x

y      (C m) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó

có đúng hai điểm có hoành độ âm

7/ Tìm gt của m để hs sau có 𝑥𝐶Đ = 2 ∶ 𝑦 = 𝑚𝑥3 + 3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑚

8/ Tìm các gt của a và b để hs 𝑦 = 𝑎𝑙𝑛𝑥 + 𝑏𝑥2 + 𝑥 𝑐ó 𝑥𝐶Đ = 2, 𝑥𝐶𝑇 = 1

9/ Tìm các gt a,b để hs 𝑦 = (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏) (𝑏𝑥 + 𝑎) đạ𝑡 𝑐𝑡𝑟 𝑡ạ𝑖 𝑥 = 0 𝑣à 𝑥 = 4

10/ Tìm các gt của m để hs 𝑦 = 𝑥2 + 3 1 − 𝑚 𝑥2 + 9 𝑚 − 2 𝑥 𝑐ó 𝑐𝑡𝑟 𝑡𝑚: 𝑥𝐶Đ+ 2𝑥𝐶𝑇 = 1

11/ Tìm các gt của m để hs sau có CĐ ( CT ): 𝑦 = 2𝑥 + 𝑚 2𝑥2 + 1

12/ (B-2007): Tìm m để đths sau có đctr và các đctr cách đều gốc tọa độ O:

𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 3 𝑚2 − 1 𝑥 − 3𝑚2 − 1 13/ Cho hs 𝑦 = 0,25𝑥4 − 2𝑥3 + 1,5 𝑚 + 2 𝑥2 − 𝑚 + 6 𝑥 + 1 Tìm m để hs có ctr; viết pt parabôn

đi qua 3 điểm ctr của đths

14/ Cho hs 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 3 + 𝑚 𝑥 Tìm gt của m để hs có 3 ctr; khi đó hãy cm cả 3 đctr của đths đều nằm trên parabôn 𝑦 = 3(𝑥 − 1)2

15/ Tìm tất cả các gt của m để hs sau có ctr và 2 ctr trái dấu: 𝑦 = 𝑥2+ 2𝑚+3 𝑥+𝑚2+4𝑚

16/ Tìm gt của m để hs sau có ctr TMĐK 𝑦𝐶Đ− 𝑦𝐶𝑇 > 8 : 𝑦 = 2𝑥2−3𝑥+𝑚

𝑥−1

17/ Cho hàm số

1

8

2











x

m mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường

thẳng 9x 7y 1  0

18/ Tìm các gt của m để các hàm số sau có ctr Tìm quỹ tích các đctr của đths :

a/

1

2 1 2









x

m x

𝑥−2 ; 𝑐) 𝑦 = 2𝑥2+ 𝑚−2 𝑥

𝑥−1

19/ (A-2005): Tìm các gt của m để hs y = mx + 1/x có ctr và k/c từ ĐCT đến t/c xiên bằng 2 2 20/ (B-2005): Chứng minh với m bkì hs sau luôn có ctr và k/c giữa 2 đctr của đths luôn bằng

20 ∶ 𝑦 =𝑥

2 + 𝑚 + 1 𝑥 + 𝑚 + 1

𝑥 + 1 21/ (A-2007): Tìm các gt của m để hs sau có ctr và các đctr của đths cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông cân tại O : 𝑦 = 𝑥2 + 2 𝑚 + 1 𝑥 + 𝑚2 + 4𝑚 (𝑥 + 2)

III.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

1/ Tìm GTNN và GTLN của các hs sau:

𝑎) 𝑦 = 𝑥 1 − 𝑥2 ; 𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 1 − 𝑥 ; 𝑐) 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥2 + 1 ; 𝑑) 𝑦 = 2𝑥 + 4 − 𝑥2 ;

𝑒)𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1

𝑠𝑖𝑛𝑥2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 ; 𝑓) 𝑦 =

3𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; 𝑔) 𝑦 =

1 𝑠𝑖𝑛𝑥+

1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 ∈ 0;

𝜋

2 ;

𝑕) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛20𝑥 + 𝑐𝑜𝑠20𝑥 ; 𝑘) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑙) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 (2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑣ớ𝑖 𝑥 ∈ 0; 𝜋 2/ Cho pt: 𝑥2 + 2𝑎 − 6 𝑥 + 𝑎 − 13 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑎 ≥ 1 tìm gt của a để nghiệm lớn của pt đạt GTLN 3/ Tìm các gt của a,b để hs 𝑦 = (𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑥2 + 1) có GTLN = 5 và GTNN = - 1

4/ Tìm GTNN và GTLN của bt: 𝑆 = 𝑎4

𝑏4 + 𝑏4

𝑎4 −𝑎2

𝑏2 − 𝑏2

𝑎2 + 𝑎

𝑏 + 𝑏

𝑎 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏 ≠ 0

5/ Tìm các gt của m để: pt 𝑥 + 2𝑥2 + 1 = 𝑚 𝑐ó 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚; 𝑏𝑝𝑡 𝑥 + 2𝑥2 + 1 < 𝑚 𝑐ó 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 6/ Tìm các gt của m để các pt, bpt sau có nghiệm:

𝑎) 𝑥 + 9 − 𝑥 = −𝑥2 + 9𝑥 + 𝑚 ; 𝑏) 3 + 𝑥 + 6 − 𝑥 = 𝑚 + 3 + 𝑥 (6 − 𝑥) ;

𝑐) 𝑚𝑥 − 𝑥 − 3 ≤ 𝑚 + 1 ; 𝑑) 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑚 − 2 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑥 ∈ 0; 𝜋 4

7/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: 𝑥 + 3 = 𝑚 𝑥2 + 1

8/ (B-2006): Tìm gt của m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 2 = 2𝑥 + 1

9/ Tìm gt của m để bpt sau được nghiệm đúng với ∀ 𝑥 ∈ 0; 1 :

(𝑥2 + 1)2 + 𝑚 ≤ 𝑥 𝑥2 + 2 + 4 10/ Tìm các gt của m để: 𝑎) 𝑚2𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑚 ≥ 0, 𝑏) 𝑚𝑥4 − 4𝑥 + 𝑚 ≥ 0 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥

11/ (A-2007): Tìm các gt của m để pt sau có nghiệm thực: 3 𝑥 − 1 + 𝑚 𝑥 + 1 = 2 𝑥4 2 − 1

IV.Sự tương giao của đồ thị hai hàm số:

1/ Tìm các gt của m để đths 𝑦 = 𝑥2 𝑚 − 𝑥 − 𝑚 cắt parabôn 𝑦 = 𝑥2 tại 3 điểm phân biệt

2/ Tìm các gt của m để hpt sau có nhiều hơn 2 nghiệm: 𝑥 + 𝑦 = 𝑚

𝑥 + 1 𝑦2 + 𝑥𝑦 = 𝑚(𝑦 + 2) 3/ Cho hs 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 4𝑎3; xác định a để đths cắt đt y = x tại 3 điểm pb cách đều nhau

4/ Tìm các gt của m để đths sau cắt Ox tại 4 điểm pbcđnhau: 𝑦 = 𝑥4 − 3𝑚 + 4 𝑥2 + 𝑚2

5/ Cho hs 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑚𝑥 + 1 (𝑥 + 1) 𝐶𝑚 𝑣à 𝑕𝑠 𝑦 = 𝑘𝑥 − 𝑘 − 2 ( 𝐷𝑘)

a/ Xác định k để ( 𝐷𝑘) cắt mọi 𝐶𝑚 ; b/ Xác định m để 𝐶𝑚 cắt mọi ( 𝐷𝑘)

6/ Tìm gt của k để đt y = 2kx – k cắt đths sau tại 2 điểm pb thuộc 2 nhánh của nó:𝑦 = 2𝑥2−3𝑥

𝑥−2

7/ (D-2006): Gọi (d) là đt đi qua điểm A(3;20) và có hsg là m Tìm gt của m để đt (d) cắt đths sau tại 3 điểm pb: 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 2

8/ (D-2008): CMR mọi đt đi qua điểm I(1;2) với hsg k (k > -3) đều cắt đths 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 4 tại 3 điểm pb cách đều nhau

9/ (D-2009): Tìm các gt của m để đt y = -1 cắt đths sau tại 4 điểm pb có hoành độ đều nhỏ hơn 2:

𝑦 = 𝑥4 − 3𝑚 + 2 𝑥2 + 3𝑚 10/ (A-2010): Tìm các gt của m để đths 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 − 𝑚 𝑥 + 𝑚 cắt Ox tại 3 điểm pb có tổng bình phương các hoành độ nhỏ hơn 4

11/ (B-2010): Tìm các gt của m để đt y = -2x + m cắt đths sau tại 2 điểm pb A, B sao cho tg OAB có dt bằng 3 ∶ 𝑦 = (2𝑥 + 1) (𝑥 + 1)

V.Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

1/ Cho hs 𝑦 = 2𝑥−1

𝑥−1 𝐶 𝑦 = 𝑥2−3𝑥+4

2𝑥−2 (𝐶) M là điểm bất kì trên (C); tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B Gọi I là gđ của 2 t/c CM: MA = MB và dt tg IAB không đổi

2/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với Ox: 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑚 − 1 𝑥 + 𝑚

3/ Chứng minh họ đường cong 𝑦 = 𝑥3 + 𝑚𝑥2 − 2𝑚 + 1 𝑥 + 𝑚 − 1 luôn t/x với nhau

4/ Cho hs 𝑦 = 𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 1 Tìm các gt của m để đths cắt đt y = 1 – x tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B,

C sao cho các tiếp tuyến của đths tại B và C vuông góc với nhau

5/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với Ox tại 2 điểm pb: 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑚𝑥2 + 𝑚3 − 𝑚2

6/ Tìm các gt của m để đt 2 hs sau t/x với nhau: 𝑦 = 2𝑥3 + 𝑚 𝑣à 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1

7/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với đt y = m : 𝑦 = (𝑚𝑥2 + 3𝑚𝑥 + 2𝑚 + 1) (𝑥 + 2)

8/ Tìm các gt của m để đt 2 hs sau t/x với nhau: 𝑦 = 𝑥2 + 𝑚 𝑣à 𝑦 = (𝑥2 − 𝑥 + 1) (𝑥 − 1)

9/ (D-2005): Cho hs 6𝑦 = 2𝑥3 − 3𝑚𝑥2 + 2 M là điểm nằm trên đths có hđộ bằng -1 Tìm gt của m

để tiếp tuyến với đths tại M song song với đt 5x – y = 0

10/ (B-2006): Viết pttt của đths 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥 − 1) (𝑥 + 2) biết tt vuông góc với t/c xiên

11/ (D-2007): Cho hs y = 2x/(x + 1) Tìm tđộ điểm M nằm trên đths biết tt của đths tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho dt tg OAB bằng 1/4

12/ (B-2008): Viết pttt của đths 𝑦 = 4𝑥3 − 6𝑥2 + 1 biết tt đi qua điểm M( -1; -9)

13/ (A-2009):Cho hs y = (x + 2)/(2x + 3) Viết pttt của đths biết tt tạo với 2 trục tọa độ thành tgvc tại O

14/ (D-2010): ): Viết pttt của đths 𝑦 = −𝑥4 − 𝑥2 + 6 biết tt vgóc với đt 𝑥 − 6𝑦 − 6 = 0

VI.Một số bài toán khác:

1/ Tìm điểm cố định của họ đường cong: 𝑦 = 𝑥3 − 3 𝑚 + 1 𝑥2 + 2 𝑚2 + 4𝑚 + 1 𝑥 − 4𝑚 𝑚 + 1 2/ Chứng minh với mọi m, đths 𝑦 = 𝑚 + 1 𝑥3 − 2𝑚 + 1 𝑥 − 𝑚 + 1 luôn đi qua 3 điểm cố định và các điểm cố định này thẳng hàng

3/ Chứng minh trên đths 𝑦 = 𝑥2 có 2 điểm không thuộc đths 𝑦 = 𝑥3 − 3 𝑚 + 3 𝑥2 + 18𝑚𝑥 − 8 dù m lấy bất kì gt nào

4/ Tìm trên đths y = (x – 1)/(x + 2) các điểm cách đều hai t/c của nó

5/Tìm các gt của m để đt y =m –x cắt đths 𝑦 = (𝑥2 − 3𝑥 + 1) (𝑥 − 1) tại 2 điểm đ/x nhau qua đt y=x

6/ Tìm trên đths 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥 + 2) (𝑥 − 1) các điểm đ/x nhau qua điểm I(0; 2,5)

7/ Tìm trên đths 𝑦 = 𝑥2 (𝑥 − 1) các cặp điểm đ/x qua đt y = x – 1

8/ Tìm pt đường cong đ/x với đths 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥 − 2) (𝑥 − 2) qua đt y = 2

2

5 4

2

H x

x x y







Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D): 3x y 6  0 nhỏ nhất

10/ Cho hàm số:  

2

12







x

x

Hãy xác định hàm số y = g(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua A(1;1)

11/ Cho hàm số 3 1 

3

x

x





Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (D):x + y -3 = 0

12/ Cho hàm số: 1 3

1 3

y x  x (C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trên (C) Tìm M thuộc cung AB của (C) sao cho diện tích ΔMAB lớn nhất

13/ (A-2006): Tìm các gt của m để pt sau có 6 nghiệm pb: 𝑦 = 2 𝑥 3 − 9𝑥2 + 12 𝑥 = 𝑚

14/(A-2008): Tìm các gt của m để góc giữa 2 t/c của đths sau bằng

450: 𝑦 = 𝑚𝑥2 + 3𝑚2 − 2 𝑥 − 2 (𝑥 + 3𝑚)

15/(B-2009): Với gt nào của m thì pt sau có đúng 6 nghiêm thực pb: 𝑦 = 𝑥2 𝑥2 − 2 = 𝑚

- o0o -