Đề luyện thi ĐH cấp tốc - Có Đáp án

Giải các phương trình sau a... Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Đề số 01

Bài 1 (2,0 điểm): Gọi (C m) là đồ thị của hàm số y=−x3 +(2m+1)x2 −m−1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị (C m)tiếp xúc với đường thẳng y=2mx−m−1

Bài 2 (2,0 điểm):

1 Giải bất phương trình 2x+7 − 5−x ≥ 3x−2

cos1

sin2

3

++

π

Bài 3 (3,0 điểm):

1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): x2 + y2 −4x−6y−12=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d:2x− y+3=0sao cho MI =2R, trong đó

I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C).

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1với

)0

;0

ln

e

dx x x

x I

2 Tìm k∈{0;1;2;3; ;2005} sao cho C2005k đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

−

≤+

+ +

032)2(

20052005

77

2

1 2 1 2

m x m x

x

x x

x

Hướng dẫn giải để 01

Bài 1: 2 ĐS: m = 0, m = 1

Bài 2: 1 ∈ ∪ 3 ;5

141

;3

2

x

2tanx = ±

24(

1003 2005

1002 2005

nên C2005k lớn nhất khi k =1002∨k =1003

Bài 5: Viết bất phương trình dưới dạng 7 x+ 1(72x −72)≤2005(1−x) (x≥−1)

Sẽ thấy ngay nghiệm là −1≤x≤1 Vậy để hệ có nghiệm thì f(x)=x2 −(m+2)x+2m+3≥0phải có nghiệm x∈[ ]−1;1

ĐS: m≥−2

Đề số 2

Bài 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =x3 −2mx2 +m2x−2 (1)

1 Khảo sát hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 1

=+++

2)1()1(

4

2 2

y y y

x x

y x y x

2 Tìm nghiệm trên khoảng (0;π)của phương trình

)4

3(cos212cos32sin

x

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip 1

49:)(

2 2

=+ y

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

b) Xác định tỉ số

cos

π

dx x x I

=++

+

(2) 2)1()1(

(1) 4

2

2

y y y

x

x

y x y

sin

4 2 x− x= + 2 x− π

(1)

)2

32cos(

112cos3)cos

3 =1

b

a

Đề số 03Bài 1 (2,0 điểm) Cho hàm số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Cho điểm M0(x0;y0)thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểmA và B Chứng minh M0 là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài 2 (3,0 điểm)

1 Giải các phương trình sau

a 4sin3 x+4sin2 x+3sin2x+6cosx=0

b x+2 7−x =2 x−1+ −x2 +8x−7+1

4

1loglog

)1(log

=+

4log

log2

5)(

log

2 4

2 2 2

y x

y x

Bài 3: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn

bằng 4 2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn

2 Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;0),B(0;4;0),C(0;0;3).

a) Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P)

Bài 4 (2,0 điểm)

x

x x

I =∫2 +

cos2sin

π

2 Cho z a bi= + là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai đối với hệ số thực

nhân z và z làm nghiệm.

Hướng dẫn giải đề số 03

+

2

1cos

1sin

0)1(sincos6)1(sin

sin

4 2

x

x x

x x

x

1b 1≤x≤7

0)7)(

1(7

212

=+

4loglog

2

5)(

log

2 4

2 2

2

y x

y x

16

32

2 2

xy

y x

Bài 3 Phương trình chính tắc của (E) 2 1

2 2

2

=+

b

y a

x

(a>b>0)Theo gt a=2 2, các đỉnh trên Oy là B1(0;−b),B2(0;b), các tiêu điểm F1(−c;0);F2(c;0) Tứ giác F1B1F2B2 là hình thoi, theo giả thiết 4 đỉnh cùng nằm trên 1 đường tròn nên hình thoi là hình vuông vậy b = c

Bài 2:

1 Giải phương trình cos3x =1− 3sin3x

2 Giải bất phương trình x2 −3x−10 > x−2

3 Giải hệ phương trình

=

−

1)3(log)3(log

59

5 5

2 2

y x y

x

y x

Bài 3:

1 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) x+ y+z−4=0 và ba điểm A(3;0;0),

)0

B , C(0;0;6) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là giao tuyến của (α) và mặt phẳng (ABC)

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của G trên (α)

c) Tìm tất cả các điểm M thuộc (α) sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất

2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết M(1; - 1) là trung điểm

BC và ;0)

3

2(

G là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh ABC

sin21

π

dx x

x I

2 Tìm số thực x thỏa mãn x− +1 6− +x 3 (x−1)(6−x) (1= −i 10)(1+i 10) 2−

Hướng dẫn giải đề 04Bài 1: m = -1

Bài 2: 1 Giải phương trình cos3x =1− 3sin3x

x

x

3sin323sin313

cos

03sin

3

13sin

=

−

1)3(log)3(log

59

5 5

2 2

y x y

x

y x

59

03

;03

2 2

y x y

x

y x

y x y x

2cos2

dx x

x dx

x

x I

Với u=2, ta có x− = ⇔ =1 2 x 5

Vậy với x= ∨ =2 x 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đề số 05

Bài 1: Cho hàm số y=−x3+3x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2 Tìm m để phương trình: −x3 +3x2 +m3 −3m2 =0có ba nghiệm phân biệt

Bài 2:

1 Giải phương trình: sin9x+sin5x+2sin2 x=1

2 Giải bất phương trình: log (2 1)log (2 1 2) 2

=+

−++

423

11

2

y x

y x y

x

Bài 3:

1 Một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để lấy được

a) 3 viên bi màu đỏ

b) Ít nhất 2 viên bi màu đỏ

2 Chứng minh rằng nếu a≥0;b≥0 thì 3a3 +7b3 ≥9ab2

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;2;1);B(3;−1;2) Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có các phương trình như sau:

2

41

21

a Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

b Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P)

c Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng khoảng cách MA+MBđạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: Tính tích phân sau dx

x x

Hướng dẫn giải đề số 05

Bài 1:

Bài 2:

1 sin9x+sin5x+2sin2 x=1⇔ 2sin7xcos2x−cos2x=0⇔ cos2x(2sin7x−1)=0

2 Giải bất phương trình log (2 1)log (2 1 2) 2

5log2

12

4

1121

)12(log

2)12(log1

2

2

2 2

2

x

x t

t

x

x x

4

5log0

2

2

x x

3 Giải hệ phương trình

=+

−++

(2) 423

(1) 11

2

y x

y x y

≥++

0

012

y x

y x

=+

−++

51

2

11

2

y x y

x

y x y

=

−

21125

1

2 2

v u v u v

u

v

u

=++

32

1

212

1

2

y

x y

x

y x y

x

y x v

ab b

a b

b a b

3

1133

2

3

−++

−

y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2 Tìm trên (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung

Bài 2: 1 Giải phương trình:

a) cos3 x+sin3x+2sin2 x=1b) 4x −2x+ 1+2(2x −1)sin(2x + y−1)+2=0c) 2x−1+x2 −3x+1=0

2 Giải hệ phương trình

−

=+

−

2 2

2

2 2

)(7

)(3

y x y

xy x

y x y

xy x

31

x

; d2:

2

31

1

4 = = −

x

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời cắt cả d1, d2

2 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Bài 4:

Hướng dẫn giải đề 06Bài 1:

3

16

;3(

2 −

M

Bài 2:

1 Giải phương trình

a) cos3 x+sin3x+2sin2 x=1⇔ (sinx+cosx)(1−cosx)(1+sinx)=0

=

−++

−

0)12

cos(

0)12

sin(

12

y

y

x

x x

=

−+

=

−++

−

1)12

sin(

1)12

sin(

0)12

sin(

12

y y y

x x

x x

=

1)12

sin(

22

1)12

sin(

02

y

y

x x x x

=

⇔

1)1sin(

y có đồ thị (C )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Cho đường thẳng dm: y=m(x+2)+2 Tìm m để dm cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị

2sin

−

−

x x

x x

2 Giải hệ phương trình

=+

358

152

3 3

2 2

y x

xy y x

Bài 3:

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d:x−2y+2=0 Tìm

1 Tính tích phân = ∫3 +

1 3

x x

dx I

2 Tính tổng sau: C1000 +C i1002 4+C i1004 8+ + C i10096 192+C i10098 196+C i100100 200

Hướng dẫn giải đề số 07Bài 1

2 Hoành độ giao điểm của đường thẳng d m và đường cong (C ) là nghiệm của phương trình

1

1222

+

−

=+

+

x

x m

* Đường thẳng d m cắt đường cong (C ) đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai

012

m m

Tóm tắt lý thuyết:

Định lý: Trong mặt phẳng Oxy, cho đồ thị (C ) của hàm số y = f (x); p và q là hai số dương tùy ý Khi đó:

- Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y= f(x)+q

- Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y= f(x)−q

- Tịnh tiến (C ) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y = f(x+ p)

- Tịnh tiến (C ) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y = f(x− p)

Bài 2: 1 Giải phương trình 7−x2 +x x+5 = 3−2x−x2

2357

02

3

x x x

≤

≤

−

(1) )2(25

(*) 13

x x

x x

−+

≤

≤

−

(2) 0)1(16

(**) 02

2

x

x

(2) ⇔ (x+1)(x2 −16)=0;So với điều kiện x=−1

5

125

4(

Bài 1: Cho hàm số y= x3 +mx2 +9x+4 (Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=6

2 Tìm m để (Cm) có 1 cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Bài 2:

1 Giải phương trình sau: x2 −4x+5+ x2 −4x+8 =4x−x2 −1

2 Giải bất phương trình: 5log3( 2) 1

<

−

x x

3 Giải hệ phương trình

=+

2125

Bài 3:

1

z

t y

t x

12

11

3:

2

z y

2 Có 9 thẻ, mỗi thẻ ghi 1 số, từ số 1 đến 9 Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ Tìm xác suất để tích 2 số trên thẻ là một số chẵn

Bài 5 Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:

Hướng dẫn giải đề số 08

11)2(

−

≥+

−

VT x

x

3

≤

VP

Suy ra (1) có nghiệm x=2

2 Giải bất phương trình: 5log 3 ( 2) 1

<

−

x x

=+

2125

(I) ĐK: xy>0

214

252

=+

21417

2 2

2 2

xy y x xy

y x

=

25)(

4

2

y x xy

C cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ

Có 5 thẻ ghi số lẻ (1;3;5;7;9) và có 2 10

5 =

C cách chọn 2 thẻ ghi số lẻ Tích các số trên 2 thẻ là lẻ ⇔2 thẻ đều ghi số lẻ Xác suất để tích 2 số ghi trên thẻ là lẻ là:

3610

Xác suất để tích của 2 số ghi trên thẻ là chẵn là: 0.72

36

2636

10

Bài 5 Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:

c) 1≤ <z 2là tập hợp các điểm nằm miền ngoài và trên đường tròn tâm (0;0)O

bán kínhR=1 và nằm trong đường tròn tâm (0;0)O bán kính R= 2

d) Tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu là 2 điểm có tọa độ (-2;0) và (2; 0)

Đề số 09

Bài 1 Cho hàm số y =x3 −3x2 +2 (C )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) qua M∈(C)

Bài 2:

1 Giải phương trình 4cos2 x−2( 3− 2)cosx− 6 =0

2 Cho bất phương trình x2 +2(siny+cosy)x+1≥0

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường tròn (C ) có phương trình







=++

−

=+++

−++

0122

017664

2 2 2

z y x

z y x z y x

Lập phương trình mặt cầu (S ) chứa đường tròn (C ) và có tâm thuộc mặt phẳng

(Q): x+y+z+3=0

Bài 4

1 Trong 2 con xúc xắc đồng nhất

a Tìm xác suất để tổng số chấm là 8

b Tìm xác suất để tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3

2 Tính tích phân =∫1 + +

Bài 5: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện( 2) 1

)3(2)

x m x m

x m

m thì qua M(1;0)kẻ được đúng 1 tiếp tuyến

Nếu m≠1thì kẻ được 2 tiếp tuyến

Bài 2:

1 Giải phương trình 4cos2 x−2( 3− 2)cosx− 6 =0

2 Cho bất phương trình x2 +2(siny+cosy)x+1≥0

a Tìm y để bất phương trình nghiệm đúng ∀x≥0

b Tìm x để bất phương trình nghiệm đúng ∀y∈R

Giải:

a Xét f(x)= x2 +2(siny+cosy)x+1; Có ∆'=sin2y

Nếu ∆'=sin2y≤0thì f(x)≥0,∀x khi đó

0'0

2 1

S

P x

02sin

y y

b Đặt t = cos y + sin y ∈ [ − 2 ; 2 ]⇒ g(t)=2xt+(x2 +1)≥0,∀t∈[− 2; 2]

Đồ thị y =g (t)trên [− 2; 2] là 1 đoạn thẳng nên

0)2(

12

x x

Bài 4:

1 a

36

5)(A =

3

236

24)(B = =

Bài 1: Cho hàm số y= x3 +4x2 +4x+1 có đồ thị (C )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2 Cho M0(x0;y0)trên đồ thị (C ) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm M cắt đồ thị tại M1 và M2 khác M Tìm quỹ tích trung điểm I của M1M2

Bài 3:

1 Cho elip (E): 1

49

2 2

=+ y

12

1= − = −

x

(P): x−y−z−1=0Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1;1;−2), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với d

0

3 0 0

x x

k

Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là

)(1441

4

0

3 0 2

04

4)

4

0 0 2

0

k x

x x x x

x

x

⇒Hoành độ x1, x2của M1,M2 là nghiệm của pt (4 ) 2 4 0 4 0

0 0

42

0 0

0 2

1

x k y y

x x

x x

x có nghiệm duy nhất ⇔ ∆=m2 −8m=0⇔m=0∨m=8

* m=0: hệ có vô số nghiệm x+ y=0 (loại)

* m=8: Hệ có nghiệm duy nhất x= y=2

Kết luận: m = 8

2 Giải bất phương trình (4x2 −16x+7)log3(x−3)>0

ĐK x>3

0)3(log)716

4

( x2 − x+ 3 x− > ⇔ (2x−1)(2x−7)log3(x−3)>0⇔

0)3(log

0720)3(

log

07

2

3

x x

)232()24(2

232242

232

4

2

=++

−

≥++

−

=++