Bài tập: Học sinh tự chứng minh để tìm ra các trường hợp đặc biệt của các phépquay quanh trục x, y, z a Phép quay tổng quát quanh trục bất kỳ trùng với mục 3.4.2 Thực hiện phép quay một
Trang 1Bài tập: Học sinh tự chứng minh để tìm ra các trường hợp đặc biệt của các phép
quay quanh trục x, y, z)
a) Phép quay tổng quát (quanh trục bất kỳ ) (trùng với mục 3.4.2)
Thực hiện phép quay một góc quanh một trục r bất kỳ (vectơ r), vectơ r đi qua gốc tọa độ 0 (hình 3.10) Theo sơ đồ hình vẽ, vectơ r được biểu diễn: r = [ rx, ry, rz ] T
Ta đi xây dựng ma trận quay Rot (r, ) có thể theo 2 cách lần lượt theo 5 bước:
Quay cách 1 : Rot(r, ) = Rot(x, -) Rot(y, ) Rot(z, ) Rot(y, -) Rot (x, )
Quay cách 2 : Rot(r, ) = Rot(z, ) Rot(y, ) Rot(z, ) Rot(y, -) Rot(z, -)
Từ hình vẽ 3.10 ta có:
Và đặt : V = 1 - Cos
Sau khi nhân các ma trận trên, thay các giá trị sin, cos, sin, cos và V vào, rút gọn ta được ma trận chuyển đổi của phép quay tổng quát (2 cách đều cùng
kết quả):
C 0 S C -S 0 C 0 -S
0 1 0 S C 0 -S 0 C 0 0 1
1 0 0
0 -S C
1 0 0
0 1 0 0 C -S
S 0 C 0 S C
= ; Cos = ; Sin = r ; Cos = r + r
z
2
2
2
r V r r V r r r V r S Rot(r, ) = r r V r S r V r r V r S
r r V r S r r V r S r V
C
C
(3.15)
C -S 0 C 0 S C -S 0 C 0 -S
S C 0 0 1 0 S C 0 0
0 0 1 -S 0 C 0 0 1
C S 0
1 0 -S C 0
S 0 C 0 0 1
Hình 3.10: Phép quay quanh trục bất kỳ
X
Y
y
Z
rx
rz
2
1
a Quay cách 1
X
Y
y
Z
rx
rz
2
1
a Quay cách 2
Trang 2Chú ý : cũng từ phép quay tổng quát này có thể suy ra các phép quay cơ bản
quanh trục tọa độ Ví dụ khi chỉ quay quanh x một góc Thay các giá trị tương ứng vào (3.15) để được kết quả phép quay :
rx = 1 ; ry = 0 ; rz = 0 ; V = 1 - Cos
2
2
2
1 (1 C ) 1.0(1 C ) 0 1.0(1 ) 0S 0 1.0(1 C ) 0S 0 (1 C ) 0.0(1 C ) 1S 0 Rot(x, ) =
1.0(1 C ) 0S 0.0(1 C ) 1S 0 (1 C ) 0
C
C
0 0 0 1
1 0 0 0
0 C -S 0 Rot(x, ) =
0 S C 0
0 0
0 1
