HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT PHẲNG OXY

Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương... Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH... Xác

 Chuyên đề 7 :

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY

 Vấn đề 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM

TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

A TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM

I TỌA ĐỘ VECTƠ

 a (a ;a ) 1 2  a a i a j1  2

Với i = (1; 0) véctơ đơn vị của trục Ox

j = (0; 1) véctơ đơn vị của trục Oy

II TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM

iii) M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA kMB; k 1 

Khi đó tọa độ điểm M là:

1 k

y kyy

2

y yy

7 a cùng phương b a kbhayb ka a b1 2a b2 10

8 a b a.b 0 a b1 1a b2 20

B ĐƯỜNG THẲNG

 a 0 : a gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng 

khi giá của acùng phương với đường thẳng 

Nếu a là vectơ chỉ phương của  thì

ka cũng là vectơ chỉ phương của  (k  0)

 n 0 : n gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi n 

Nếu n là vectơ pháp tuyến của  thì kn cũng là vectơ pháp tuyến của  (k  0)

 Cách đổi giữa vectơ chỉ phương u và vectơ pháp tuyến n của đường thẳng 

Có: n= (A; B)  u = (B;  A) hay u ( B; A) 

   nên  // Oy (C = 0 thì  Oy)

 Ox: y = 0, Oy: x = 0

II CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0)

và có vectơ pháp tuyến n (A; B); (A2 + B2 > 0)

Phương trình tổng quát d: A(x  x0) + B(y  y0) = 0

2 Phương trình đường thẳng d đi qua M(x0; y0)

và có vectơ chỉ phương u (a ; a ) 1 2 (a12 + a22 0)

 Phương trình tham số d: 0 1

 Phương trình tổng quát d: a2(x  x0)  a1y (y  y0) = 0

3 Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB)

2 Khoảng cách từ M(x0; y0) đến đường thẳng d: Ax + By + C = 0

 Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù

Dấu n n1 2 Phân giác góc tù Phân giác góc nhọn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng

ON cắt đường thẳng  tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8

5 5

 

 

 

Cách 2: Nhận thấy rằng O, M, N thẳng hàng, do đó ta có thể chuyển điều kiện

OM.ON = 8 sang hệ thức vectơ bằng cách: Vẽ hai đường thẳng d và  trong mặt phẳng (Oxy), ta có hai vectơ OM và ON cùng hướng, nên:



Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(–4; 1), trọng tâm

G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

Giải

 Gọi d là đường phân giác trong của góc A  d: x – y – 1 = 0,

và gọi B' đối xứng với B qua d  B' AC

 BB' đi qua B(–4; 1) và vuông góc với d

suy ra: BB': (x + 4) + (y – 1) = 0  x + y + 3 = 0

 Gọi I là giao điểm của BB' và d,

suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

 Gọi M là trung điểm của AC  BG 2GM

Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 3 = 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; –4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45o

Cách 2: d: x + y + 3 = 0  góc giữa Ox và d là 450

 hợp với d một góc 450 cùng phương với Ox hoặc Oy

Mà  qua A (2; –4)  phương trình  là x = 2 hoặc y = –4

Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA: 3x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y  4 = 0 Tìm

tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của

tam giác đã cho

Giải

Phương trình đường cao AH: 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0  x – y = 0

Gọi K là giao điểm của IJ và AH (với IJ: x + y – 4 = 0)

suy ra K là nghiệm của hệ x y 0

Gọi B (b; –b – 4)  BC

Do H là trung điểm của BC  C (–4 – b; b); E (1; –3)

Ta có: CE (5 b; b 3)    vuông góc với BA (6 b;b 10)  

Nên (5 + b)(6 – b) + (b – 3)(b + 10) = 0

 2b2 + 12b = 0  b = 0 hay b = –6

Vậy B(0; –4); C(–4; 0) hay B(–6; 2); C(2; –6)

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

Giải

Ta có phân giác trong góc A là (d): x + y – 5 = 0

song song với đường phân giác d’ của góc phần tư

thứ II, nên góc M1 bằng góc A1 bằng 450

Suy ra AC // Ox  phương trình AC:

Mặt khác, AB vuông góc với trục hoành nên B (4; 7)

Vậy phương trình của BC là: 3x – 4y + 16 = 0

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và  là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

Giải Cách 1: Gọi H(x0 ; y0) là hình chiếu của A trên 

0 0

2 2

2 0

  Oy  H  A: không thỏa AH = d(H, Ox)

  Ox  H  O: không thỏa AH = d(H, Ox)

 là phương trình đường AH

Tọa độ H =  AH thỏa hệ

2

2kx

y kx

k 1 H 2k ; 2k1

Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB

Giải

Gọi N đối xứng với M qua I, suy ra N(11; 1)

và N thuộc đường thẳng CD

Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0 Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18

Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC

B đối xứng với A qua M, suy ra B = (3; 2)

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x – y – 4 = 0

Phương trình đường thẳng AC: 3x – 4y + 5 = 0

Bài 11: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0 và x + 3y – 5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B

Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng 1: x – 2y – 3 = 0 và 2: x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng 1

Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(–1; –1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0

Giải

 Kí hiệu: d1: x – y + 2 = 0; d2: 4x + 3y – 1 = 0

 Gọi H'(a; b) đối xứng H(1; 1) qua d1 Khi đó H'  AC

 a = (1; 1) là VTCP của d1 1, HH = (a + 1; b + 1) vuông góc với a và trung 1điểm a 1 b 1I ;

 Đường thẳng AC qua H' vuông góc d2 nên có vectơ pháp tuyến là

n (3; 4)  và pt AC: 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0  3x – 4y + 13 = 0

 Tọa độ A là nghiệm của hệ: 3x 4y 13 0

Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng:

Đặt x = b  1, y = c  4 ta có hệ xy 22 2

Giải hệ trên ta được x = 2, y = 1 hoặc x = 2, y = 1

Suy ra: B(1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; 1), C(5; 3)

Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng:

Với y = 11 được điểm M1(22; 11)

Với y = 1 được điểm M2(2; 1)

Bài 16: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

d1: x  y = 0 và d2: 2x + y  1 = 0

Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc

d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành

Giải

Vì A d1 A(t; t)

Lại do A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên C(t; t)

Mà C  d2 nên 2t  t  1 = 0  t = 1 Vậy A(1; 1), C(1; 1)

Trung điểm của AC là I(1; 0) Vì I là tâm của hình vuông nên: IB IA 1

Suy ra, B(0; 0) và D(2; 0) hoặc B(2; 0) và D(0; 0)

Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1; 1), B(0; 0), C(1; 1), D(2; 0), hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1; 1), D(0; 0)

Bài 17:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; 3) Tìm điểm

C thuộc đường thẳng x  2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng

  





t = 311t 3 30

Phương trình đường tròn (C) tâm M, bán kính R = AM = 10 là

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy Xét tam giác ABC

vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x y  3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

 , phương trình đường thẳng AB là x  2y + 2 = 0 và

AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

Giải

A  AB: x  2y + 2 = 0  A(2a  2; a) với a < 1

I là trung điểm AC  C(3  2a; a)

Bài 22: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d:

x – 2y + 3 = 0

Giải

Gọi A(a; 0)  Ox, B(0; b)  Oy

 Ta có: AB  a; b và trung điểm AB là a bI ;

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

 Đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R

1 Phương trình chính tắc: (C): (x  a)2 + (y  b)2 = R2

2 Phương trình tổng quát: (C): x2 + y2 2ax  2by + c = 0

Trong đó c = a2 + b2 R2 R a2b2c

 Cho đường cong (C): x2 + y2 2ax  2by + c = 0

Điều kiện để (C) là đường tròn là: a2 + b2 c > 0

II SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Cho (C): x2 + y2 2ax  2by + c = 0, có tâm I(a; b), bán kính R

i) d(I, d) > R  d không cắt (C)

ii) d(I, d) = R  d tiếp xúc (C)

iii) d(I, d) < R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

 (I) vô nghiệm  d không cắt (C)

 (I) có nghiệm kép  d tiếp xúc (C)

 (I) có hai nghiệm phân biệt  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

III PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d: Ax + By + C = 0

là tiếp tuyến của đường tròn  d(I, d) = R

1 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có dạng:

: x.x0 y.y0 2ax x0 2by y0 C 0

hay : (x a)(x 0  a) (y b)(y0b) R 2

2 Phương trình tiếp tuyến của (C) qua M(x0; y0)

 Gọi d là đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k

d: y = k(x  x0) + y0: kx  y + y0 kx0 = 0

 d tiếp xúc (C)  d(I, d) = R

Giải (*) tìm được 2 nghiệm k bài toán đã xong, nếu chỉ có 1 nghiệm K ta xét thêm đường thẳng: d1:x = xM (kiểm tra điều kiện tiếp xúc)

3 Phương trình tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đường thẳng : Ax + By + C = 0

 d tiếp xúc (C)  d(I, d) = R

4 Phương trình tiếp của (C) biết trước hệ số góc k

 Tiếp tuyến  có hệ số góc k có dạng

: y = kx + b : kx  y + b = 0

  tiếp xúc (C)  d(I, ) = R

IV PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM M(x 0 ; y 0 ) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN (C)

PM/(C)x20y202ax02by0c

R

i) PM/(C)0 : M nằm ngoài đường tròn

ii) PM/(C)0 : M nằm trong đường tròn

iii) PM/(C)0 : M nằm trên đường tròn

V TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Cho (C1): x2 + y2 2a1x  2b1y +c1 = 0, (C2): x2 + y2 2a2x  2b2y +c2 = 0 Phương trình trục đẳng phương: : 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y  (c1 c2) = 0

B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Giải

 Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính: R = 4 1 0   5= IA

 Hai tam giác IAM và IBM bằng nhau nên

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B 1; 1

2

 

 

  Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm

D, E, F Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương

Giải

 Vì y B = yD = 1 nên BD có phương trình y – 1 = 0

Ta lại có phương trình EF là y – 3 = 0 nên BD // EF

Suy ra: Tam giác ABC cân tại A

A

B

I

M 

 Vì tam giác ABC cân tại A nên AD  EF,

mặt khác AD đi qua D(3; 1) nên AD có phương trình x – 3 = 0

+) Với x = –1 thì F(–1; 3), suy ra BF có phương trình 4x + 3y – 5 = 0

A là giao điểm của AD và BF nên A  

73;

3 loại vì yA < 0

+) Với x = 2 thì F(2; 3), suy ra BF có phương trình 4x –3y + 1 = 0

A là giao điểm của AD và BF nên A 

133;

3 nhận vì yA > 0

Vậy A 

133;

3

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm A(1; 0) và đường tròn (C):

x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng  cắt (C) tại điểm M và

N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A

Giải

 Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R = 10

 Tam giác AMN vuông cân tại A nên  AI

Suy ra:  có véctơ pháp tuyến là AI= (0; –2)

Do đó phương trình  có dạng: y = m

Vậy phương trình  là : y = 1 hoặc y = –3

Cách 2:

Phương trình  có dạng: y = m, do đó hoành độ điểm M và N là nghiệm của phương trình: x2 + m2 – 2x + 4m – 5 = 0  x2– 2x + m2 + 4m – 5 = 0 (*)

Phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2' = –m2 – 4m + 6 > 0 (1)

Khi đó: M(x1; m) và N(x2; m)  AMx 1; m1  và ANx21; m

Vậy, phương trình  là: y = 1 hoặc y = –3

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và

d2: 3x y 0 Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

Đường thẳng AB qua A và vuông góc

với d2 có phương trình là:

  là trung điểm AC và bán kính R = IA = 1

Suy ra phương trình đường tròn (T):

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 7), trực tâm là H(3; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2; 0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương

Giải Cách 1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'

 BC đi qua trung điểm HH'

Đường thẳng BC có phương trình : y = 3 cắt

đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm

Phương trình đường tròn (C): (x 2) 2y2 74

Gọi AA1 là đường kính

 BHCA1 là hình bình hành

 HA1 qua M trung điểm BC

Ta có IM là đường trung bình của A1AH

I H

A

Toạ độ C thoả hệ phương trình:

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Giải

(C) có tâm I (2; 2), bán kính R = 2

Diện tích tam giác IAB: S = 1IA.IB.sinAIB1R21

S lớn nhất khi và chỉ khi IA  IB

Khi đó, khoảng cách từ I đến : d(I, ) = R 1

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = 4

5 và hai đường thẳng 1: x – y = 0, 2 = x – 7y = 0 Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2

và tâm K thuộc đường tròn (C)