Xây dựng bài toán hình học giải tích phẳng từ một số bài toán hình học

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, trực tâm H, trọng tâm G, M là trung điểm BC.. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, trực tâm H, D là giao củaAH với đường tròn ngoại tiế

1 Tên sáng kiến: Xây dựng bài toán hình học giải tích phẳng từ một số bài toán hình học.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học bộ môn Toán.

3 Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 15 tháng 3 năm 2015 đến ngày 30 tháng 3 năm 2015

4 Tác giả:

Họ và tên: Tống Văn Ký

Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: Xuân Phú – Xuân Trường – Nam Định.

Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm Toán.

Chức vụ công tác: Giáo viên.

Nơi làm việc: Trường THPT Giao Thủy B.

Điện thoại: 01686316922

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến

Tên đơn vị: Trường THPT Giao Thủy B.

Địa chỉ: Xã Giao Yến huyện Giao Thủy tỉnh Nam Định.

Điên thoại: 03503893010

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là một chủ đề hay và khó Chủ đềnày luôn được sử dụng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh và kỳ thi tuyển sinhĐại học, Cao đẳng Vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh Trong

số các bài về hình giải tích trong mặt phẳng có một lớp các bài toán thiên về tính chấthình học thuần túy đã gây cho học sinh nhiều khó khăn khi tiếp cận

Đa số các giáo viên khi dạy về chủ đề này thường tìm các bài toán có sẵn trongcác tài liệu tham khảo để giảng dạy, suy nghĩ khai thác tự tìm tòi xây dựng bài toánmới còn nhiều hạn chế Việc xây dựng bài toán mới từ việc khai thác các kết quả hìnhhọc giúp giáo viên chủ động hơn, giúp học sinh phát triển tư duy phương pháp, tư duytìm lời giải cho một bài toán đặc biệt là tư duy sáng tạo

Qua những năm công tác giảng dạy, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi Đạihọc và Cao đẳng Bản thân tôi thấy việc xây dựng bài toán mới từ kết quả hình học lànhiệm vụ cần thiết của người giáo viên trong quá trình dạy học

Để góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh trong chủ đề tọa độ trong mặt

phẳng, tôi chọn đề tài: “Xây dựng bài toán hình học giải tích phẳng từ một số bài toán hình học”.

II Mô tả giải pháp

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Đối với học sinh kiến thức về hình học phẳng còn hạn chế

Khi chưa áp dụng đề tài để dạy giải bài tập hình học giải tích trong mặt phẳng,các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, chưa ý thức tìm tòi sáng tạo cũngnhư chưa tạo được niềm vui khi làm toán

Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập toán về phần hình giải tíchtrong mặt phẳng cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ cókhoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán giải tích trong mặt phẳng

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thong thường được phân chia thành haimảng: mảng thứ nhất là lớp bài toán mang nặng tính chất “đại số” và thường được xâydựng trên cơ sở là tham số hóa, mảng thứ hai là lớp những bài toán mang nặng tính

Trong đề tài này tôi muốn nêu lên ý tưởng giải quyết bài toán hình giải tíchphẳng thuộc mảng thứ hai thông qua một số bài toán.

Bài toán 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, trực tâm H, trọng tâm G, M

là trung điểm BC Đường kính AD Chứng minh:

Từ 1 ví dụ trên và bài toán 1 giáo viên có thể tạo ra 8 ví dụ khác nhau bằngcách lật ngược lại vấn đề cho bộ 3 điểm thích hợp trong 4 điểm A, G, H, I, M Yêu cầuhọc sinh đi tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC.

Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -14), tâm đường

= −



 = −

Vậy B(-2; 14), C(-5; -7) hoặc C(-2; 14), B(-5; -7)

Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -14), tâm đường

Ví dụ 1.3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -14), trọng tâm

  , trực tâm H(-26, -10) Xác định toạ độ đỉnh B, C của tam giác ABC.

Ví dụ 1.4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -14), trực tâm

H(-26, -10), trung điểm của BC là 7 7;

B, C của tam giác ABC

Ví dụ 1.6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC tâm đường tròn ngoại tiếp

Ví dụ 1.7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 5; 7

Ví dụ 1.8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại

tiếp đường tròn tâm 21 3;

: x+1 + +(y 10) =25 và điểm A có hoành độ dương

Nhận xét: Đề thi khối D – 2010 có nội dung tương tự.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -7), trực tâm H(3; -1), tâmđường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Xác định toạ độ điểm C biết C có hoành độ dương

Đáp án của BGD như sau:

Phương trình BC có dạng y – a = 0 với a≠ −7

(do BC⊥AH và BC không đi qua A)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương trình trên có nghiệm khi a < 70

Do C có hoành độ dương nên B( 2− − 74−a a C2; ), ( 2− + 74−a a2; )

H là trực tâm nên uuur uuurAC BH = ⇔0 ( 74−a2 −5)( 74−a2 + + +5) (a 7)( 1− − =a) 0

Xem đáp án của Bộ Giáo Dục, ta thấy nếu chúng ta chỉ dùng công cụ giải tích

để giải quyết những bài toán hình học giải tích phẳng như trên sẽ gặp khó khăn hơn rất

nhiều nếu không có sự giúp đỡ các tính chất của hình học phẳng.

Bài toán 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, trực tâm H, D là giao của

AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh:

a) H và D đối xứng nhau qua BC

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác tamgiác ABC qua phép đối xứng trục BC

Giải

a) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, A trên AC,

BC

Ta có tứ giác ABNM nội tiếp

Suy ra ·HBN =·DAC(vì cùng chắn cung ¼MN )

Mà ·DBC =·DAC (vì cùng chắn cung »DC )

Nên ·HBN =·NBD

Tam giác BHD cân tại B(do BN vừa là đường cao,

đường phân giác)

Do đó H và D đối xứng nhau qua BC

b) Theo câu a) có H và D đối xứng nhau qua BC

Suy ra tam giác HBC là ảnh của tam giác DBC qua phép đối xứng trục BC

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giáctam giác ABC qua phép đối xứng trục BC

(Tức là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

có cùng bán kính và hai tâm của hai đường tròn này đối xứng nhau qua BC)

Chú ý:

Để xây dựng được bài toán giáo viên xuất phát từ ví dụ thuận cho tam giácABC biết các đỉnh A, B, C Sau đó tìm các yếu tố tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC, trực tâm, phương trình các đường BC, đường cao, đường trung tuyến, phân giác

kẻ từ A…

Từ ví dụ trên giáo viên tạo bài toán nghịch bằng cách cho biết 1 số yếu tố thích

hợp mà học sinh khi giải quyết phải sử dụng nội dung bài toán 2 để tìm tọa độ các

Ví dụ 2.1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường trung tuyến kẻ

từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 5x−3y− =8 0,x y+ + =4 0 Đườngthẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácABC tại D(-2; -4) Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độdương

Gọi H là trực tâm tam giác ABC

Theo kết quả bài toán 2, ta có H và D đối xứng nhau qua BC.

Gọi N là giao của BC và AD suy ra N(-1; -3)

Nên H(0; -2)

B thuộc BC suy ra B(b; - b - 4) với b > 0

M là trung điểm BC nên C(-b - 1; b- 3)

H là trực tâm tam giác ABC nên BH⊥AC

Ví dụ 2.2 Đề thi khối D – 2010 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có

A(3; -7), trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Xác định toạ độ điểm Cbiết C có hoành độ dương

Giải

Gọi D là giao của AH và đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC, N là giao của AH và BC

Tọa độ D là nghiệm của hệ

73

x

y x

x y

=



 =

Suy ra D(3; 7) ⇒ N(3;3)

Theo kết quả bài toán 2, ta có H và D đối xứng nhau qua BC.

Hay BC là đường trung trực của HD

x

y y

x y

C có hoành độ dương nên ( 2C − − 65;3)

Ví dụ 2.3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H(2; 1) và

tâm đường tròn ngoại tiếp là I(1; 0) Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng

d x− y− = Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường tròn ngoạitiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; -1) và B có hoành độ nhỏ hơn 4

Giải

Gọi I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

Gọi M là trung điểm của BC

Do M thuộc d và I thuộc d nên phương trình MI là x−2y− =1 0

Theo kết quả bài toán 2, ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là ảnh của đường

tròn ngoại tiếp tam giác tam giác ABC qua phép đối xứng trục BC

Hay I’ đối xứng với I qua BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường trònngoại tiếp tam giác HBC có cùng bán kính.

I ∈ ⇒d I t+ t , HI'=EI'⇔(2t−1)2+ −(t 1)2 =(2t−5)2+ +(t 1)2 ⇔ =t 2'(5;2), ' 10

x y

=



 = −



Do B có hoành độ nhỏ hơn 4 nên B(2; 3), C(4; -1)

Ví dụ 2.4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2); B(3; 0) Gọi H

là trực tâm tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I(4; -3) Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đề thi học sinh giỏi Nam Định năm 2010 - 2011)

Giải

Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

Theo kết quả bài toán 2, ta có đường tròn ngoại

tiếp tam giác HBA là ảnh của đường tròn ngoại

tiếp tam giác tam giác ABC qua phép đối xứng

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 ( )2

Theo kết quả bài toán 2, ta có H và E đối xứng

nhau qua AB

Gọi N đối xứng với H qua M

Theo kết quả bài toán 1, ta có được N thuộc

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đường thẳng CH đi qua H, K có phương trình 2x y+ − =3 0

Đường thẳng AB đi qua K và vuông góc với HK có phương trình x−2y+ =2 0Khi đóB(2b – 2; b) suy ra C(2 – 2b; -6 - b)

Ví dụ 2.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( )5;5 , cạnh

BC có phương trình x y+ − =8 0 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua haiđiểm M(7; 3), N(4; 2) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Giải

Gọi D là giao của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Theo kết quả bài toán 2, ta có H và D đối

xứng nhau qua BC

Đường thẳng AH có phương trình x y− =0

Gọi E là giao của AH và BC

Tọa độ E là nghiệm của hệ phương trình

E là trung điểm của HD nên D(3; 3)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua các điểm M, N, D

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x2+ y2 −10x−8y+36 0=

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

x

A y

=

 =

Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình

x y

=



 =

Nên B(3; 5), C(6; 2) hoặc B(6; 2), C(3; 5)

Ví dụ 2.7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(2; 3)

Theo kết quả bài toán 1, ta có được Suy ra H(-1; 2).

Ta có D(7; 2) thuộc đường thẳng qua A vuông góc với BC (D không trùng với A) và Dthuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Nên D là giao của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác

x y

=



 = −

Nên B(3; 8), C(3; -2)

M là trung điểm của BC suy ra M(3; 3)

G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có uuuurAM =3GMuuuur⇒ −A( 3;2)

Bài toán 3 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm I, trực tâm H Gọi M, N,

P lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C, A xuống cạnh AC, AB, BC Gọi E, F lần lượt

là trung điểm AH, BC Chứng minh:

a) MN vuông góc với AI

b) MN vuông góc với EF

c) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP

Giải

a) Cách 1 Kẻ đường kính AD.

Ta có ·ADC= ·ABC

Tứ giác BNMC nội tiếp ·ABC=·AMN (vì cùng bù với ·CMN )

Do AD là đường kính nên ·DAC ADC+· =900

90

DAC AMN+ = ⇔ AD⊥MN

Cách 2 Kẻ tiếp tuyến d của đường tròn tại A ⇒ AI ⊥dđường kính AD

Tứ giác BNMC nội tiếp ·ACB=·ANM (vì cùng bù với ·BNM )

Mà ·ACB BAx= ·

Nên ·BAx =·ANM ⇒d MM//

Do đó AI ⊥MN

b) Theo kết quả bài toán 1, ta có tứ giác BHCD là hình bình hành.

Nên F là trung điểm của HD

Trong tam giác HAD có E, F lần lượt là trung điểm HA và HD.

Suy ra EF // AD

Mà AD⊥MN nên EF⊥MN

c) Ta có tứ giác BPHN nội tiếp nên ·APN = ·ABH (vì cùng chắn cung ¼NH )

Tứ giác PHMC nội tiếp nên ·APM = ·ACH (vì cùng chắn cung ¼MH )

Tứ giác BNMC nội tiếp nên ·ABH =·ACH (vì cùng chắn cung ¼NM )

Do đó ·APN = ·APM

Hay AP là đường phân giác của góc ·MPN

Chứng minh tương tự CN là đường phân giác của góc ·MNP

Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP

Ví dụ 3.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2

25

x + y = ngoại tiếptam giác nhọn ABC Biết tọa độ chân các đường cao kẻ từ B và C lần lượt là M(-1;-3), N(2; -3) Tìm tọa độ các đỉnh ABC biết đỉnh A có tung độ âm

Giải

Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 5

Theo kết quả bài toán 3, ta có được OA⊥ MN

Đường thẳng OA đi qua O và vuông góc với MN có

x y

=



 = −



Vì A có tung độ âm nên A(0; -5)

Đường thẳng AB đi qua A, N có phương trình x y− − =6 0

Đường thẳng AC đi qua A, M có phương trình 2x y+ + =5 0

Đường thẳng NC đi qua N và vuông góc AN có phương trình x y+ + =1 0

Đường thẳng BM đi qua M và vuông góc AM có phương trình x−2y− =5 0

Ví dụ 3.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn

(C): x2 + y2 = 25, đường thẳng AC đi qua K(2; 1) Gọi M, N lần lượt là chân đườngcao kẻ từ B, và C Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết phương trình đường

MN là 4x−3y+10 0= và điểm A có hoành độ âm

Giải

Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 5

Theo kết quả bài toán 3, ta có được OA⊥MN

Đường thẳng OA đi qua O và vuông góc với MN

x y

= −



 =



Vì A có hoành độ âm nên A(-4; 3)

Đường thẳng AC đi qua A và K có phương trình x+3y− =5 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

Đường thẳng BM đi qua M và vuông góc với AM có phương trình 3x y− + =5 0

Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình 2 3 2 5 0 5

025

x y

= −



 =

Suy ra C(5; 0)

Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 32 2 5 0 0

525

x y

Ví dụ 3.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm A là :∆ −x 2y+ =4 0, đường cao kẻ từ B là

BB x y− − = Hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là C' 0; 1( − ).Viết phương trình cạnh BC

Giải Theo kết quả bài toán 3, ta có được

Đường thẳng AB đi qua A, C’ có phương trình x=0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 0 0 (0; 2)

Đường thẳng CC’ đi qua C’ và vuông góc AB có phương trình y+ =1 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 1 0 3 (3; 1)

Đường thẳng BC đi qua B, C có phương trình x−3y− =6 0

Ví dụ 3.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và

trung điểm của BC là M(6; 1) Đường thẳng AH có phương trình x+2y− =3 0 Gọi D

và E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC Xác định tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng phương trình đường thẳng DE : x− =2 0 vàđiểm D có tung độ dương.

Giải

Gọi K là trung điểm của AH

Theo kết quả bài toán 3, ta có được KM ⊥DE

Đường thẳng KM đi qua M và vuông góc với DE

Đường thẳng AC đi qua A, D có phương trình x−3y+ =7 0

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH có phương trình 2x y− − =11 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 3 7 0 8 (8;5)

M là trung điểm BC nên B(4; -3)

Ví dụ 3.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có M(2; 2), N(-2; 2),

P(2; -1) lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C, A xuống AC, AB, BC Xác định toạ độcác đỉnh của tam giác ABC

Giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

Theo kết quả bài toán 3, ta có được H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

Nên PA là đường phân giác trong của ·MPN

Mà BC ⊥ PA.

Suy ra BC là đường phân giác ngoài của ·MPN

AB là đường phân giác ngoài của ·MNP

AC là đường phân giác ngoài của ·NMP

⇒ =uur uuuur− uuur=  ÷

Đường thẳng BC đi qua P và có vectơ chỉ phương uuur1

⇒uur= uuuur− uuur= −

Đường thẳng AC đi qua M và có vectơ chỉ phương uuur1

Ở đây tác giả đã dùng kỹ thuật chuẩn hóa vectơ để viết phương trình đường

phân giác Kỹ thuật này có thể áp dụng cả trong tọa độ không gian Oxyz