Khi đường thẳng qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.. Bài 6: Cho tam giác ABC cân ở A, từ trung điểm H của cạnh đáy BC hạ đường thẳng HE vuông góc với AC E thuộc AC.. Gọi
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
VĨNH LINH
ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8 Năm học 2010-2011 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà tổng các chữ số của nó bằng 21
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: A =
:
x = 8 và y = 251
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 + x 8 + x
P =
x (Với x > 0)
Bài 4: Giải và biện luận phương trình sau:
2
x - a x - a =
b - x x - b ; a, b là tham số
Bài 5: Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, cắt BD, BC, DC,
theo thứ tự ở E, K, G Chứng minh:
a) AE2 = EK.EG
b) 1 = 1 + 1
c) Khi đường thẳng qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi
Bài 6: Cho tam giác ABC cân ở A, từ trung điểm H của cạnh đáy BC hạ đường
thẳng HE vuông góc với AC (E thuộc AC) Gọi O là trung điểm của HE
Chứng minh: OA vuông góc với BE
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8 Năm học 2010-2011
Bài 1: (2,0 điểm)
Số tự nhiên có tổng các chữ số của nó bằng 21 thì phải có từ ba chữ số trở lên (vì
số có hai chữ số lớn nhất là 99 cũng chỉ có tổng các chữ số là 9 + 9 = 18 < 21) 0,25 đ Trong các số có từ ba chữ số trở lên thì số nhỏ nhất phải là số có ba chữ số 0,25 đ Trong các số có ba chữ số, số nhỏ nhất phải là số có chữ số hàng trăm nhỏ nhất 0,25 đ Nếu chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2 thì tổng của các chữ số hàng chục và hàng đơn
vị tương ứng sẽ là : 21 – 1 = 20 hoặc 21 – 2 = 19
Cả hai trường hợp này đều bị loại vì tổng đó lớn nhất chỉ có thể là 9 + 9 = 18
0,25 đ 0,25 đ
Khi đó chữ số hàng chục cũng như hàng đơn vị đều là 9 để có 3 + 9 + 9 = 21
Vậy số phải tìm là : 399
0,25 đ 0,25 đ
Bài 2: (1,5 điểm)
A =
3
2x 3 y - 1 y + y + y + 1
:
y y y + 1
0,50 đ
2
2
: y - 1 2x 2x 3 3
0,50 đ
2
2x 3
y - 1
Thay số tính được A = 1
2
0,25 đ
Bài 3: (1,5 điểm)
2 + x 8 + x x + 10x + 162 16
P đạt giá trị nhỏ nhất khi x + 16
Xét tích x 16 16
x
(không đổi), suy ra tổng x + 16
x đạt giá trị nhỏ nhất khi 16
x =
x
0,25 đ
Trang 3Ta có P = 4 + 16 10 18
Bài 4: (1,5 điểm)
Điểm TP
2
x - a x - a =
b2x – a2b2x – x3 + a2x3 – b3 + ab2 – ax2 + x2 = 0 0,125 đ (1 – a2)b2x – (1 – a2)x3 + (1 – a)x2 - b2 (1 – a) = 0 0,125 đ
(1 – a)(x2 – b2) - (1 – a2)(x2 - b2 )x = 0 0,125 đ
Với ĐK xb x2 b2 0
ta có (1 – a) – (1 – a2)x = 0 1- a 1 a x 1 a 0,125 đ
* Nếu (1 – a)(1 + a) 0 a 1 thì x = 1
Giá trị x = 1
1 + a là nghiệm của phương trình đã cho nếu
1
x =
1 + a b còn
* Nếu a = 1 => phương trình có dạng 0x = 0, được nghiệm đúng với mọi giá trị x
* Nếu a = -1 => phương trình có dạng 0x = 2 => phương trình vô nghiệm 0,125 đ
Bài 5: (2,0 điểm)
Hình vẽ đúng a) (0,5 đ)
* BK // AD và AB // DG nên theo hệ Talet ta có: EK EB
EA ED và
ED EG
* Suy ra: AE2 = EK.EG
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ b) ( 0,75 đ)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: AE AE 1
AK AG
EK EB AK BD
EG ED AG BD
0,25 đ 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ
K
G D
E
C
B A
Trang 4Do đó: AE AE ED BE BD 1
AK AG BD BD BD
c) (0,75 đ)
Đặt AB = a, AD = b
Do AB // CG nên BK a (1)
KC CG
Do KC // AD nên KC CG (2)
b DG Nhân từng vế của (1) với (2) ta được: BK a
b DG Suy ra: BK.DG = ab không đổi
0,25 đ 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ
Bài 6: (1,5 điểm)
Hình vẽ đúng
Kẻ BK AC; E cắt AO tại I Có AH
BC
Xét AHE và BCK có:
E = K = 1v , EAH KBC (cùng phụ với C Nên suy ra AHE ~ BCK
Do đó: AE HE
BK CK (1) HE//BK (cùng vuông góc với AC) và
HB = HC (gt) suy ra EK = EC
Do đó HE = 2EO; CK = 2EK Nên từ (1) suy ra: AE OE
BK EK
Mà AEO và BKE là các tam giác vuông Do đó: AEO ~ BKE
Suy ra: AOE BEK
Mà BEK BEO = 1v nên
AOE BEO = 1v
Do đó EIO 1v hay OI IE Vậy OA BE
0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ
0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ
Lưu ý: Bài 5 và bài 6, nếu HS không vẽ hình thì không có điểm phần chứng minh
E
K
O I
B
A
