de thi thu dai hoc suu tam

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: Toán 12.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a,a>0:∠BAD=600; Hai mặt phẳng SACvà SBDcùng v

Trang 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011

Môn: Toán 12 Khối A.

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

A /

Câu I : ( 2,0 điểm ) Cho hàm số :y x= 3−3x 2+ có đồ thị là ( )C

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Tìm tất cả các điểm M∈( )C để tiếp tuyến tại M cắt (C) ở điểm N với MN=2 6

Câu II : ( 2,0 điểm )

1) Giải phương trình : sin 4x+ =2 cos x3 +4sinx+cosx

x

Câu III : ( 1,0 điểm )

Tính tích phân:

2

x

x e

=

Câu IV : ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a,(a>0):∠BAD=600; Hai mặt phẳng (SAC)và (SBD)cùng vuông góc với đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh BC và SD.Mặt phẳng(AMN) cắt cạnh bên SC tại E.Biết MN vuông góc với AN Tính thể tích khối đa diện AND.MCE theo a

Câu V : ( 1,0 điểm ) Chứng minh rằng nếu a b c, , ∈[ ]0;1 thì:

5

abc

B.

PHẦN TỰ CHỌN:( 3,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phầnB)

A

.Theo chương trình chuẩn:

Câu VIA : ( 2,0 điểm )

1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2;10 và đường thẳng d:y=8.Điểm E )

di động trên d.Trên đường thẳng đi qua hai điểm A và E,lấy điểm F sao cho uuur uuurAE AF. =24.Điểm F chạy trên đường cong nào? Viết phương trình đường cong đó

2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho∆ABC,biết C(3; 2;3)và phương trình đường

cao AH,phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình:

x− = y− = z−

Câu VII A.(1,0 điểm):Tìm phần thực,phần ảo của số phức: z= + +1 2i 3i2+4i3+ +L 2009i2008

B.Theo chương trình nâng cao

Câu VIB : ( 2,0 điểm )

1.(1.0 điểm)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng : d y1: −2x=0;d2:y+2x=0 ,điểm A∈d1; điểm B∈d2thoả mãn OA OBuuuruuur. =3.Hãy tìm tập hợp trung điểm M của AB

2 (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz,viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng

x+ = y+ = z−

và tạo với mặt phẳng ( )P x: +2y z− + =5 0 một góc nhỏ nhất.

Câu VII B:(1,0 điểm):Cho số phức z thoả mãn z =1 và z i 2

z

S= + + + +1 z2 z4 L z2010

-Hết -

Đề thi khảo sát lần

4

Trang 2

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011

Môn: Toán 12 Khối A.

ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 Khi m=0 thì hàm số trở thành y x= − +3 3x 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x= − +3 3x 2. • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D=¡ . • Sự biến thiên:  Chiều biến thiên y'=3x2−3 Ta có 0 1 1 = −  = ⇔  =x y' x  y, > ⇔ < − ∨ > ⇔0 x 1 x 1 h/số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1 & 1;) ( +∞)  y,< ⇔ − < < ⇔0 1 x 1 hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)  y CD = y( )− =1 4; y CT = y( )1 =0  Giới hạn x 3 2 3 x 3 2 lim y lim x 1 x x →±∞ →±∞   =  − + ÷= ±∞   0,25 0,25  Bảng biến thiên: x −∞ -1 1 +∞

y' + 0 − 0 +

y 4 +∞

−∞ 0

0,25 • Đồ thị: Đồ thị cắt trục Ox tại các điêm (-2;0),(1;0),cắt trục Oy tại điểm (0;3)

0,25

2 Tìm tất cả các điểm M để tiếp tuyến tại M cắt (C) ở điểm N với MN=2 6 1,00

1

x

4

y

3 3 2

= − +

y x x

Đề thi khảo sát lần

4

Trang 3

Ta có M a a( ; 3−3a+ ∈2) ( )C Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng

d:y=(3a2−3) (x a− + −) a3 3a+2phương trình hoành độ giao điểm của (C) và

tiếp tuyến d là: x3− + =3x 2 (3a2−3) (x a− + −) a3 3a+2

( )2( )

2

x a

=



⇔ − + = ⇔  = − để tồn tại N thì a≠0.Suy raN có hoành độ

2a N 2 ; 8a a 6a 2

2

;

m

0,25

pt⇔(sin 4x−sin 2x) (+ sin 2x−cosx) (+ −2 4sinx) =cos x3

x= +π k π∨ =x π +k π∨ =x k π

0,25

0,25 0,25

2

Giải phương trình: 2x2 3x 1 4x 1 3

x

+Khi x>0thì pt 12 3 2 12 3 4

2 2

0

2

t t

≥





 = + +

⇔ = − ⇔ − − = ⇔ = ( tm),t= −2( )l

2

14

Khi x<0thì pt 12 3 2 12 3 4

2 2

0

2

t t

≥





 = + +

⇔ − = − ⇔ + − = ⇔ = ( tm),t= −3( )l

4

Kl nghiệm pt là: 3 37

14

4

x= −

0,25

III

Tính tích phân:

2

x

x e

=

Trang 4

( ) ( )

2 1

2 0

4 2

x

+

∫

1

x

với

1 1 0

x

I =∫e dx ;

;

dv e dx= x ⇒ =v e x

1 1

0 0

1

( 2 3)

I e= − − I −I = − −e  − = −

3 3

e

I = −

0,25

AC∩BD O= do (SAC) và(SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên

SO⊥ ABCD Tam giác ABD cân có ·BAD=600⇒ ∆ABD đều cạnh 2a

đặt SO x x= ( >0 ;) AO OC a= = 3;BO OD a= = ,chọn hệ trục toạ độ Oxyz

gốc O trục Ox đi qua CA,trục Oy đi qua DB,trục Oz đi qua OS ta có

O(0;0;0),A a( 3;0;0 ,) B(0; ;0 ,a ) C(−a 3;0;0 ,) D(0;−a;0 ,) (S 0;0;x)

3

uuur

,

I =AM ∩CD E IN= ∩SC, do C là trung điểm của DI⇒E là trọng tâm tam

giácSDI ⇒

3

CE

CS

0,25

w.l.o.g.a b c≥ ≥ ⇒ab ac bc≥ ≥

1

b c

bc

+

+ (do a b c, , ∈[ ]0;1 ) 1

+

1

1 bc+bc≤ ⇔2 1 x+ ≤x 2

(*)⇔(2x+1) (x− ≤1) 0 luôn đúng với mọi x∈[ ]0;1

dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

0,25

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2;10 và đường thẳng d:y=8 ….) 1,00

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d ⇒H( )2;8 Trên tia AH lấy điểm B 0,25

Trang 5

thoả mãn AH AB AM AN 24 AB 24 12

AH

uuur uuur uuuur uuur

(do uuur uuurAB AH;

cùng hướng,AH=2)

Từ đó B(2; 2− ).Ta thấy ∆AHE: ∆AFB c g c( − − )(do ˆA chung, AH AF

AE = AB )

AFB AHE

⇒ = = ⇒F chạy trên đường tròn tâm I( )2; 4 bán kính

1

6 2

R= AB= Phương trình đường cong cố định mà F chuyển động trên đó là:

( ) (2 )2

0,25

pt tham số của AH và BM ( ): 23 &( ): 14 2

khi đó A(2+t;3+t;3 2 &− t) B(1+u; 4 2 ;3− u +u)

+xác định toạ độ B

Ta có

1;4;3

AH AH

B

⇒

uuur r

+xác định toạ độ A

Ta có: uuurBA= + − + −(1 ; 1 ; 2 ,t t t u) rBM = −(1; 2;1 ,) BCuuur=(2; 2;0− )

Vì BM là đường phân giác trong của góc B nên:

( ) (2 ) ( )2 2

0

1

4 4

t

=

⇔  = −

+ t =0⇒A(2;3;3)(loại) do A,B,C thẳng hàng

+ t =-1⇒A(1; 2;5)(tm) khi đó ta có được AB BC CA= = =2 2 tam giác ABC

đều ,vậy chu vi tam giác ABC bằng 6 2

0,25

VIIA Tìm phần thực,phần ảo của số phức: z= + +1 2i 3i2+4i3+ +L 2009i2008 1,00

z= + +i i + i + +L i

iz i= + i + i + i + +L i

( )

1 2009 1

1005 1004

i

−

L

vậy phần

thực của số phức z bằng 1005, phần ảo của số phức z bằng -1004

do i4k +i4k+1+i4k+2+i4k+3 = ∀ ∈0 k ¥

0,25 0,25 0,25 0,25

1 Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng :

1,00

Trang 6

Từ gt A x y( 1; 1)∈d B x y1, ( 2; 2)∈d2nằm về 2 phía trục tung ⇒x x1 2 <0

3 5

từ gt OA OBuuuruuur = ⇒3 x x1 2 = ⇒1 x x1 2 = −1 gọi M(x;y) là trung điểm của AB

x + =x x y +y = y⇒ x =x + +x x x =x + −x (1)

2y=2x −2x ⇒ y =x + −x 2x x =x + +x 2 (2)

Từ (1) và (2)

2

4

y x

⇒ − = − (3) Vậy tập hợp các điểm M(x;y) là đường Hyperbol cho bởi (3)

0,25

2 viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng

x+ = y+ = z−

và tạo với mặt phẳng ( )P x: +2y z− + =5 0 góc nhỏ nhất

1,00

+d có vtcp ur=(2;1;1),(P) có vtpt mr =(1; 2; 1− )

(Q) có vtpt nr=(a b c a; ; ) ( 2+ +b2 c2 >0)

+do (Q) chứa d nên ta có

nr⊥ ⇔ur n ur r= ⇔ a b c+ + = ⇔ = − − ⇔ =c a b nr a b − −a b

+gọi góc hợp bởi (P) và (Q) là

;

r r

2

cos

0 30

α ≥ vậy αmin =300 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=0 lúc đó ta chọn b=1;c= − ⇒ =1 nr (0;1; 1− )

vtpt n



0,25

giả sử z a bi a b= + , ,( ∈¡ ).ta có hệ pt :

2



2

1

 = −



⇔ 



0

ab



khi đó ta có 4 số phức là : z=1;z= −1;z i z= ; = −i

khi z=1 hoặc z= −1 ta có S =1006

khi z i= hoặc z= −i ta có ( )2 1006 ( )2 1006

0

S

0,25

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	586 KB