Tìm m và n để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 5 và hiệu các lập phương của các nghiệm đó bằng 35.. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AE, AF với đường tròn O, E, F là các tiếp điểm.. Gọi I là
Trang 1SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI
Môn thi : Toán ( Hệ chuyên)
Thời gian làm bài :150 phút
Bài 1: (3,5 điểm)
1) Tính P = 15a -8a 15 +16 khi 2 3+ 5
2) Giải phương trình: 25-x2 - 10 -x2 = 3
3) Cho phương trình x2 + mx + n = 0 Tìm m và n để hiệu các nghiệm của phương
trình bằng 5 và hiệu các lập phương của các nghiệm đó bằng 35
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng : Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 1 + 2009b2 là hợp số với mọi nN
2) Tìm các số tự nhiên n sao cho n +18n + 2020 là số chính phương.2
Bài 3: (1,0 điểm )
Cho x Tìm giá trị của x để biểu thức 0
2
N
2010
x x
đạt giá trị lớn nhất
Bài 4 : (1,5 điểm)
Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Gọi (O) là đường tròn đi qua hai điểm B và C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O), (E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC; FI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K
Chứng minh rằng :
a) Hai điểm E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi
b) EK song song với AB
Bài 5 : (2,0 điểm)
1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), với AD là đường kính
Biết AB = BC = 2 5 cm; CD = 6cm Tính bán kính của đường tròn (O)
2) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn sao cho
OA = 2R Tìm điểm M trên đường tròn (O; R) để tổng MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất
Hết
-Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh : Số báo danh Giám thị 1 : Giám thị 2 :
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN)
Bài 1 (3,5 điểm).
1) (1,0 điểm)
Rút gọn P
*
2
P = 15a - 8a 15 +16 = (a 15) - 2a 15.4 + 4 = a 15 - 4
= a 15 - 4
Thế 3+ 5
15 vào (*) ta được: P = 4
0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm
2) (1,0 điểm)
Giải phương trình: 25-x2- 10-x2 =3 1
10
x
(1) 25 x2 3 10 x2
25 x2 9 6 10 x2 10 x2
10 x2 1 (2) Phương trình (2) có 2 nghiệm x 1 3 ; x 2 3 ( thỏa mãn với điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 1 3 ; x 2 3
3) (1,5 điểm)
Điều kiện m - 4n > 02
Gọi x ,1 x là nghiệm của phương trình Không mất tính tổng quát ta giả sử2
2
x > x 1
Theo Vi-et ta có : 1 2
1 2
m n
x x
Mặt khác :
2
4
Nên ta có :
2 2
35 5
2
4 25 7
0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 3Giải hệ phương trình ta được 6
1
n m
thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy các giá trị cần tìm là : 1; 6
0,5 điểm
0,25 điểm
Bài 2: ( 2,0 điểm ).
1) (1,0 điểm)
Vì b là số nguyên tố khác 3 nên b2- 1 3
Ta có A = 3n + 1 + 2009b2 = 3( n + 1 + 669b2 ) + 2b2 - 2
= 3( n + 1 + 669b2 ) + 2(b2 - 1) 3
Do A > 3 nên A là hợp số với mọi nN
2) (1,0 điểm)
Để n +18n + 2020 là số chính phương thì 2 n +18n + 2020 = m (1) với2 2
m nguyên, dương,
(1) m -18n - n = 20202 2
2 2
m - n +18n = 2020
m - n + 9 = 2020 -81 = 1939
m - n -9 m + n + 9 = 1939
Mà 1939 = 1939 1 = 277 7
Nên m + n + 9 = 1939m - n -9 = 1
hoặc m + n + 9 = 277m - n -9 = 7
* Với m + n + 9 = 1939 m + n = 1930 2n = 1920 n = 960
m - n -9 = 1 m - n = 10
* Với m + n + 9 = 277 m + n = 268 2n = 252 n = 126
m - n -9 = 7 m - n =16
Thử lại các giá trị của n vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài
Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm
0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 3 (1,0 điểm)
Do x > 0 nên N > 0 N lớn nhất 1
N
nhỏ nhất
Ta có :
20102 2 2 20102
x N
dấu “ = “ xảy ra khi x 2010
Suy ra giá trị nhỏ nhất của 1
N là 4.2010 = 8040 đạt được khi x = 2010
Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất Giá trị lớn nhất là 1
8040
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 4 (1,5 điểm)
Vẽ hình đúng
a) Chứng minh E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi. 0,25 điểm
Trang 4Ta có AEB = ACE
( cùng chắn cung EB )
ΔAEBΔACE (g-g)AEB ΔAEBΔACE (g-g)ACE (g-g)
AE AB
=
AC AE
AE = AB.AC2
Vì A, B, C cố định
AB AC không đổi
Mà AE = AF
AE = AF không đổi khi (O) thay đổi
Vậy hai điểm E, F nằm trên đường tròn cố định tâm A bán kính AB.AC
khi đường tròn (O) thay đổi
b) Chứng minh EK // AB:
Vì IB = IC ( giả thiết ) OI BC
Ta có AEO = AFO = AIO = 90 0 năm điểm A, E, I, O, F cùng thuộc đường
tròn đường kính AO
AEF = AIF ( cùng chắn cung AF )
AEF = EKF ( cùng chắn cung EF)
AIF = KIC ( đối đỉnh )
EKF = KIC ( hai góc ở vị trí so le trong )
EK // AB
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 5 (2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
Gọi R là bán kính của đường tròn (O); R > 0
Do AB = BC = 2 5 cm AB = BC OB AC tại I
Và IA = IC, ACD vuông tại C (nội tiếp trong đường tròn (O))
OI // CD nên OI là đường trung bình
của tam giác ACD OI = CD= 3
Áp dụng đinh lý Pitago cho OIC ta có :
OC2 = OI2 + IC2 IC2 = R2 - 9
Mặt khác BIC vuông, ta có :
BC2 = BI2 + IC2 IC2 = 2 5 - R -32 2
Vậy R -9 = 2 52 2- R -3 2 R -3R -10 = 02 R + 2 R -5 = 0
Nghiệm dương của phương trình là R = 5 thỏa mãn với điều kiện ban
đầu Do đó bán kính của đường tròn (O) là R = 5cm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
B
D A
O
C I
K
I
C B
E A
O
F
Trang 52) (1,0 điểm)
Gọi C là giao điểm của đoạn OA và đường tròn,
N là trung điểm của OC
Ta có : ON =OM = 1
AM = 2MN
Từ đó : MA + 2MB = 2MN + 2MB 2BN (không đổi)
Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BN
Lúc đó M chính là M0 làgiao điểm của đoạn BN và đường tròn (O; R)
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Ghi chú:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một trong các cách giải, mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định ở từng bài
-Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm
-Điểm toàn bộ bài không làm tròn số
C
M B
O N
M
A
0
Trang 6TUYẾN SINH VÀO THPT
MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Phân
môn Mức độ Mạch kiến thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng CỘNG
Số nguyên tố, hợp số Bài 2.1
1,0
1 bài
(2 câu)
2,0 điểm
Tìm số tự nhiên theo điều
kiện cho trước
Bài 2.2
1,0
Căn bậc hai : rút gọn và
tính giá trị của biểu thức
Bài 1.1
1,0 2 bài(4 câu)
4,5 điểm
Bất đẳng thức, giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trong
Đại số
Bài 3
1,0
Phương trình bậc hai : Giải
phương trình; điều kiện có
nghiệm, không có nghiệm
Bài 1.2
1,0
1.5
ọc Đường tròn; các yếu tốtrong đường tròn; quĩ tích
Bài 4.1a
0,75
Bài 4.1b
0,75
Bài 4.2
1,0
2 bài
(4 câu)
3,5 điểm
Bất đẳng thức, giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất trong
hình học
Bài 5
1,0
TỔNG CỘNG
3 câu
2,75 điểm
4 câu
4,25 điểm
3 câu
3,0 điểm
5 bài
(10 câu)
10 điểm
