Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.. Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Trang 1TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn)
A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D=¡
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2− 3ac
y/ cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: • lim ( 3 2 ) ( 0)
x
a
a
→+∞
+∞ >
x
a
a
→−∞
−∞ >
+∞ <
+ Bảng biến thiên:
a > 0:
x -∞ +∞
y’ +
-∞
a < 0:
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ? • Điểm uốn I(−3b a ;f(−3b a)) (giải pt y’’ = 0 )
• điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2.Hàm phân thức : y ax b
cx d
+
= + ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D \ d
c
¡ + Đạo hàm : ' 2
ad bc y
cx d
−
= +
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y/ < 0, ∀ x ∈D y/ > 0 , ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
định
x -∞ x1 x2 +∞
x -∞ +∞
y’
-y +∞
-∞
x -∞ x1 x2 +∞
Trang 2+ Tiệm cận:
c
= − là tiệm cận đứng vì lim ( )
d x c
ax b
cx d
+
÷
→−
+ = −∞ +∞
d x c
ax b
cx d
−
÷
→−
+ = +∞ −∞
+
c
= là tiệm cận ngang vì lim lim
+Bảng biến thiên :
y’ > 0
y’ < 0
+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Chú ý đồ thị đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận
3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D=¡ , Hàm số chẵn
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b)
y/ = 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=± a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị
• Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±
2
b a
− ) =− ∆a Có 3 cực trị
+ Giới hạn : lim ( 4 2 ) ( 0)
x
a
a
→±∞
+∞ >
−∞ <
violet.vn/phamdohai
c
a c a
c
a c
a c
y= a/c
y= a/c
Trang 3+ Bảng biến thiên :
a > 0
a < 0
+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là : y - f(x0) = f/(x0)(x− x0) hay y = y/(x0)(x− x0)+ y(x0) Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y - f(x0) = f/(x0)(x− x0)
2 Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a1
+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)
+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
3 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
hệ phương trình : = − + (1)
=
f(x) k(x x ) y1 1 /
f (x) k (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x)
yCT
-y
yCĐ
a> 0
b>0 a< 0
b <0
a< 0 b>0
a> 0
b <0
Trang 4+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
+ ∆: y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị ∆: y = M
Bài toán 4: Xác định khoảng tăng, giảm hàm số (xét tính đơn điệu) :
+ TXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m) :
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b)
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ TXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0
3) x0 là cực trị của hàm số /( 0) 0
/ ( )
=
⇔
y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …
+ Tính y//(x1); y//(x2)……
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y = u
v u(x) ; v(x) là các đa thức có TXĐ: D Và y/ = u v v u′ −2 ′ =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
=> u u
v v
′
=
′ Do đó giá trị cực trị y(x0) = u (x )v (x )0
0
′
′
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh → KL
violet.vn/phamdohai
đổi dấu khi qua x0
Trang 5y(a) ; y(b)
+ max y[a;b] = ? min y[a;b] =?
2 P.pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT ( )a;b CT
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ ( )a;b
max y = yCĐ
* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong
2 Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ = ′
có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :
0
xlim f (x)x +
0
xlim f (x)x
−
Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
*Tiệm cận ngang : xlim y y0
→−∞ = hoặc xlim y y0
→+∞ = => y = y0 là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit
a− n = n
a
1
; a0 = 1 0 ; amn nam
= ( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx ax
x y a y a
−
=
x
b = b
÷
( )x y ( )y x x.y
• Hàm số mũ: y = ax với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2
+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2
* Hàm số logarit:
α = log a N ⇔ aα = N log a x = b ⇔ x= a b
• Đặc biệt : aloga x = x ; loga x a = x ; loga1 = 0
Trang 6• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
loga(B.C) = logaB + logaC loga B
C
÷
= logaB − logaC loga Bα β =
β
αlogaB
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
logca.logab = logcb ⇔ log ba log bc
log ac
= 0 < a, b ≠ 1 : logab = log a1
b
Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x
• Hàm số Logarit: y = logax với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : ¡
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 > logax2
+ 0 < a < 1; h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 <logax2
Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x)
a = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
v(x)
u = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
f (x)
a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = logab
logaf(x) = logag(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0
f (x) g(x)
> >
=
dạng: log f (x)a b
0 a 1
=
< ≠
⇔ f(x) =
b a
logu(x)v(x) = b ⇔ [ ]
v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1
b v(x) u(x)
> > ≠
=
• Đặt ẩn phụ :
α 2f (x)
a +β f (x)
a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x)
a Đk t > 0
α b f (x)
a + +β.ab f (x) − + γ = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0
α f (x)
a +β f (x)
b + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x)
a ;1
t= f (x) b
α 2f (x)
a +β.( )f (x)
a.b + γ 2f (x)
b = 0 ; Đặt t =
f (x) a b
÷
• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 3: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
af (x)> ag(x) ⇔ f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <
af (x) > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1
f (x)
a < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1
•logaf(x) > logag(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
•logaf(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a b
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b
•logaf(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < a b
violet.vn/phamdohai
hoặc
Trang 7* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b
•( )v(x)
u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0
• (u(x))v(x)< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
* trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dỡ dang hơn: f (x)
a > g(x)
a (a−1)(f(x) − g(x)) > 0 logaf(x) > logag(x) (a−1)(f(x)−g(x)) > 0 (mở rộng thi đại học)
* Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm
số trên
*Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số
Phần 3: Nguyên hàm.
Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).
Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒ = dt u '(x)dx
I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
− thì đặt x = asint a2 x2 ; 21 2
a x
+
+ thì đặt x = atant
Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) = − v(x).u '(x)dx
Hay∫udv uv = −∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm sớ dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
∫
ax
f x cosax dx ax e
với f(x) là đa thức: Đặt
cos
⇒
u f x du f x dx
dv ax dx v cosax dx
@ Dạng 2: ∫f x( ) ln(ax b dx+ ) Đặt
ln( )
( )
( )
=
= ∫
a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
@ Dạng 3: ∫ sin
ax ax
cosax Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài tốn 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1: ∫sin(ax+b).sin(cx+d)dx; ∫sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫cos(ax+b).cos(cx+d)dx
* Thực hiện cơng thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân
Dạng 2: ∫sin (u(x)).cos (u(x))dx n m (n,m là các số nguyên dương)
* Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x))
* nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x))
* Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đĩ dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc)
* n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì cĩ thể
đặt t = tan(u(x)) hoặc t = cot(u(x))
Trang 8Dạng 3: ∫R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học).
* Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx
* Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx
* Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính f (x)dx
g(x)
∫ trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) = + h(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x)
Nên (f (x))dx h(x)dx r(x)dx
g(x) = + h(x)
∫ ∫ ∫ Như vậy ∫h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính r(x)dx
g(x)
∫ theo trường hợp sau
Trường hợp 2: tính r(x)dx
g(x)
∫ với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)
* Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức
* Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: 2 2
g(x) =a(x ).(x x ) = (x x ) + (x x ) +(x x )
x2 là nghiệm của g(x)
* ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các
hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)
*sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức
Phần 4: Tích phân ( Tương tự phần nguyên hàm cần chú ý thêm về cận )
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/
a ∫ bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒ = dt u '(x)dx
Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
I = bf[u(x)]u dx/
a ∫ =
u(b)
u(a)
f (t)dt
∫
Dạng 2: Tính I = β f (x)dx
∫
α Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
− thì đặt x = asint a2 x2 ; 21 2
a x
+
+ thì đặt x = atant
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: (xem phần nguyên hàm)
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản) (xem phần nguyên hàm)
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ (xem phần nguyên hàm)
Bài toán 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối
Tính bf (x) dx
a ∫ + Tìm nghiệm của f(x) = 0
Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có nghiệm x = a hoặc x = b thì bf (x) dx
a ∫ = bf (x)dx
a ∫
violet.vn/phamdohai
Trang 9Nếu f(x) = 0 cĩ nghiệm x = c ∈(a;b) thì bf (x) dx
a ∫ = cf (x)dx bf (x)dx
a ∫ + c ∫
*Chú ý: Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))
Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể trịn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
x a;x b
=
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S = b| f (x) | dx
a ∫
Chú ý : nên giải pt : f(x) = 0 trên [ ]a b ( đặc biệt nếu thiếu cận a, b) ;
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
y g(x)
x b
=
= =
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx
a∫ −
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f (x)
x a;x b
=
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0; quay quanh trục Ox thì V = bf (x) dx2
a
π ∫
Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di
1 a+bi = c+di a = c; b = d 2 mơđun số phứcz = + a bi = a2+ b2
3 số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi
4 (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5 (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i
6 (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7 z = c di 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]
a bi + =a b
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac
Nếu ∆ = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b
2a
= = − (nghiệm thực)
Nếu ∆ > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b
4a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức x b i
4a
− ± ∆
=
B HÌNH HỌC.
Phần 7: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu
a
b
x y
y=g(x)
Trang 10 Khối nĩn: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l).
Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l)
Khối cầu: S = 4πr2
Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.
* Khối hình chĩp V = 1Bh
3 ; * Khối nĩn V = 1 2
r h
3 π
* Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V =4 r3
3 π * Khối lăng trụ: V= Bh
* Diện tích tam giác: 1 1 ( ) ( ) ( )
2 a 2 sin 4
abc
R
( R: là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác.) (
2
a b c
p= + +
: là nửa chu vi của tam giác.)
Định lý cosin: Tam giác ABC cĩ ba cạnh tương ứng là a,b,c:
Phần 8: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
a
→ = (x;y;z) ⇔ → a = x.→i + y → j + z →k
Tính chất : Cho→ a = (a1;a2; a3) , → b = (b1;b2; b3)
• → a ±→ b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3± b3)
• → a k = (ka1;ka2;ka3) k ∈ R
Tích vô hướng : → → a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 =→ a .→ b Cos ϕ
Cos ϕ = a2 a b1 1a2 a ba b22 22a b3 3b2 b2
1 2 3 1 2 3
+ + + + + +
a b
→ →
⊥ ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 → a cùng phương → b ;→ a ≠→ 0 ⇔ → b = k.→ a ⇔ → a ∧→b = →0
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z)⇔ OM → = x.→ i + y → j + z → k
AB → = ( xB− xA ; yB−yA;zB−zA)
• I là trung điểm của AB
x A xB
xM 2
y A yB
yM 2
z A zB
zM 2
+
=
+
=
=
• G là trọng tâm tam giác ABC
1
xG (xA xB x )C 3
1
yG (yA yB y )C 3
1
zG (zA zB z )C 3
= + +
= + +
= + +
• Tích có hướng của 2 vectơ :
a b a a2 3 ; a a3 1 ;a a1 2
b b2 3 b b3 1 b b1 2
∧ =uur
uur
* (→ a ^→ b ) ⊥ → a ; (→ a ^→ b ) ⊥ → b
Bài tốn 1:Xác định điểm trong không gian , cm tính chất hình học
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
Phần 9: Mặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2
Phương trình của mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0 có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A2 +B2 +C2 −D
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
violet.vn/phamdohai
