Tom tat cac dang toan on thi 10

Kì thi vào cấp 3 là một trong những kì thi được xem là khá quan trọng chọn trường là một chuyện thi để được điểm mà mình mong muốn lại là chuyện khâc các dạng đề sau đây mong sẽ giúp ích nhiều cho các em trong kì thi tới

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI-RÚT GỌN BIỂU THỨC

1.Khái niệm

x là căn bậc hai của số không âm a Û x2 = a Kí hiệu: x= a

2 Điều kiện để căn thức có nghĩa

î

+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ

+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b

-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc a , mà tga = a

-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b

4 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:

+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0

+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0

+Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:

* Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ

* Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ

-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2

3 Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P):

+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ó a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt + Nếu (d) Tiếp xúc (P) ó a’x2 = ax + b có nghiệm kép

+ Nếu (d) và (P) không có điểm chung ó a’x2 = ax+b vô nghiệm

Chú ý: Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)

III Các bài toán về lập phương trình đường thẳng:

1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ):

Ø Cách giải:

- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b

ð Phương trình đường thẳng cần lập

2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ;y 1 )và B (x 2 ; y 2 ):

Ø Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :

î í

b ax y

2 2

1 1

4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y 0 ) và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)

Ø Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)

+ Đi qua M (x0; y0) nên ð y0 = a.x0 + b (1)

+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :

a’x2 = ax + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b

ð phương trình đường thẳng cần lập

IV.Quan hệ giữa hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;

(d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0

-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2

-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2

-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2

+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung

+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau

V.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên

VI.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y)

Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số

VII.Vị trí của đường thẳng và parabol

-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:

+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2)

-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:

+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ

+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = m

a

±+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm

VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

cx2= ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm

Chú ý:

- Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P)

- Để (d) cắt (P) tại hai điểm:

+Nằm về hai phía trục tung: Phương trình (V) có hai nghiệm trái dấu

+ Nằm về cùng một phía trục tung: Phương trình (V) có hai nghiệm cùng dấu (Nếu nằm cùng về bên phải Oy thì phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt dương; Nếu nằm cùng về bên phải Oy thì phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt âm)

IV.Tìm điều kiện để (d) và (P)

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm

X.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m)

+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m

+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0

XI.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số

1.Ứng dụng vào phương trình

2.Ứng dụng vào bài toán cực trị

3 Tính diện tích hình tạo bởi các đường thẳng hoặc giữa các giao điểm của đường thẳng

và Parabol với điểm bất kì

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN SỐ Kiến thức cần nhớ

Ø Dạng tổng quát :

î í

ì

= +

= +

' ' 'x b y c a

c by ax

Ø Số các nghiệm của hệ:

+ Nếu ¹ Û

' ' b

b a

a Hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu = ¹ Û

' '

c b

b a

+ Nếu = = Û

' '

c b

b a

- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y

- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x

KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

2 Phương pháp cộng :

- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn

- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử

- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại

KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

3 Chú ý :

Với hệ phương trình

î í

ì

= +

= +

' ' 'x b y c a

c by ax

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế

+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế

+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ± 1và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)

- Từ (2) rút x theo y (hoặc y theo x) thay vào phương trình (1)

- Giải phương trình bậc hai, từ đó suy ra: x, y

- Khử hệ số tự do: Nhân (1) với d’, (2) với d Sau đó trừ vế cho vế hai phương trình

- Đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai: mx2+nxy py+ 2 = 0

Phương pháp giải:

+ Đặt x=ty: Khi đó, phương trình trở thành: y mt2( 2 + +nt p)= 0

TH1: Nếu y=0Þ = Thay vào (1), ta thấy (x, y) (0,0)x 0 = không phải là nghiệm TH2: Giải phương trình mt2 + + = Giả sử có nghiệm là tnt p 0 0, suy ra x= t0y

2

2

dy

at bt c

=

+ + Từ đó suy ra x,y

3 Hệ phương trình đối xứng loại 1:

(Hệ phương trình mà khi đổi vai trò hai ẩn thì mỗi phương trình trong hệ không thay

î x, y là nghiệm phương trình:

2

X -SX P 0+ =

4 Hệ phương trình đối xứng loại 2:

(Hệ phương trình mà khi đổi vai trò hai ẩn thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải: Trừ về cho vế (nhân liên hợp) để xuất hiện: (x-y) H(x,y)=0

Giải hệ phương trình trong các trường hợp: x-y=0 và H(x,y)=0

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

=éê

ê = ë

- < thì phương trình vô nghiệm

b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 =

a c

î (S2 ³4P) thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0

II Một số dạng bài tập về phương trình bậc 2

1 Bài tập về số nghiệm của phương trình bậc hai:

Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c + Phương trình có hai nghiệm phân biệt ó Δ > 0 (Δ’ > 0)

0

; 0

a

b a

2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

ì

>

³ D 0

0

a c

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : ó

ï ï

ï î

ïï

ï í ì

>

->

³ D 0 0 0

a b a c

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:

ó

ï ï

ï î

ïï

ï í ì

<

->

³ D 0 0 0

a b a c

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:

1 1

ï í

ì

=

-= +

a

c x x

a

b x x

2 1

2 1

2 1 2

1

1

x x

x x x

x

+

= +

Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng

4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức:

Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0

+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm

+ Bước 2: Nêu hệ thức vi et :

ï î

ï í

ì

=

-= +

a

c x x

a

b x x

2 1

2 1

.

) 2 (

) 1 (

+ Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3)

+ Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m

+ Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm

6.Bài tập dạng so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kì:

ì

>

-

->

+ - Þ

-0 ) ).(

(

0 ) ( ) (

2 1

2 1

a a

a a

x x

x x

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < a

î í

ì

>

-

-<

+ - Þ

-0 ) ).(

(

0 ) ( ) (

2 1

2 1

a a

a a

x x

x x

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm x1 > a

nghiệm kia x2 < a Þ (x1-a x).( 2-a) > 0

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m

Hoặc có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:

ï <

î

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) Đặt t = x2 (t ³ 0) ta được PT

at2 + bt + c = 0 GiảI PT ẩn t, từ đó suy ra nghiệm của PT đã cho

- Nếub1+ =c1 b2 +c2 =b3+ =c3 b4 + thì cộng 2 vào 2 vế, quy đồng mẫu số c4

- Nếu b1- =c1 b2-c2 =b3 - =c3 b4- thì trừ 2 vế cho 2, quy đồng mẫu số c4

Chú ý: Nếu mỗi về có n phân thức thì hoặc cộng với n hoặc trừ cho n haivế của phương

+ Kiểm tra x=0 có phải là nghiệm;

+ Chia cả tử và mẫu cho x;

x), giải Pt ẩn y suy ra nghiệm x

Dạng 3: Phương trình dạng ax4 +bx3+cx2 ±kbx k a 0+ 2 = , Trong đó a 0¹

Phương pháp giải:

-Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm

- Chia cả hai vế cho x2 ¹ ta được 0

+ Giải (2), giả sử có nghiệm y0

+ Giải y0=x +(a+b)x +ab 2

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải

Dạng 6: Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = mx2 (1) Trong đó ab=cd Phương pháp giải:

Phương trình (1) Ûéë(x +(a+b)x+ab x +(c+d)x+cd2 )( 2 )ùû= mx2

- Kiểm tra x=0 có phải là nghiệm

- Chia cả hai vế cho x2 ¹ , ta được 0

ay by c x (1)

ax bx c y (2)

ïí

Û êë =

-Dạng 2: Phương trình dạng f(x) g(x)= (1)

Phương pháp giải:

Cách 1:

Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả: f (x) g (x)2 = 2

Giải phương trình trên, thử lại nghiệm

Cách 2: PT (1)

g(x) 0f(x) g(x)f(x) g(x)

³ìï

Ûíé =ê

ïë = î

-Cách 3: PT (1)

f(x) 0f(x) g(x)f(x) 0f(x) g(x)

éì ³í

îê

Û êì <

êí- =êî

Û í- £î

6 Phương trình và bất phương trình chứa căn thức

î

- Giải phương trình t0 g(x)

f (x)

=

Dạng 5: Phương trình dạng a f (x) g(x)( + )+b( f (x) ± g(x))±2a f (x).g(x) c 0+ = Phương pháp giải:

Đặt t= f (x) ± g(x) khi đó phương trình trở thành:

at2+bt+c=0 Giả sử có nghiệm t0

- Giải phương trình t0 = f (x)± g(x) (Dạng 3)

Dạng 6: Phương trình dạng: x a+ 2 - +b 2a x b- + x a+ 2- -b 2a x b- =cx d+ (1)

y bx a 0 Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

ïí

f(x) a f(x) b

af(x) a f(x)

b Sử dụng phương pháp cộng đại số giả hệ

phương trình trên

Dạng 11: Phương trình dạng: f(x)± g(x) m f(x) g(x) (1) = ( - )

Phương pháp giải:

f (x) g (x)

éì ³í

ê <

îê

Û êì ³

êîë

CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng chia hết cho p2

- Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

- Số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

- Số chính phương chia cho 8 dư 0, 1 hoặc 4

- Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n

- Không tồn tại một số chính phương nằm giữa: a2 và (a+1)2

Suy ra: ay+b và ax+c là ước của bc-ad đồng thời tích của chúng bằng bc-ad

Chú ý: Ta có thể giải bằng cách rút y theo x như sau:

- Đặt cy cp= (hoặc my mp= Þ =y mp2, tương tự ta suy ra: x mq= 2) hay

2

y cp= Tương tự, ta cũng suy ra: x cq= 2

- Từ đó ta có phương trình: aq bp 1+ = hoặc aq bp k+ =

- Tìm giá trị a, b Từ đó tìm x,y

CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC- BÀI TOÁN MIN,MAX

A ³ " În ¥ với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

· 2n A³ 0 ; " ³ " ÎA 0; n ¥ ; dấu bằng xảy ra khi A = 0

· A+ B³ A B+ Với A³ 0;B³ 0

Dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

· A B- £ A- B với A B o³ ³ dấu bằng xảy ra khi B = 0

- Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

· A ³ 0 Với A bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

· A+ B ³ +A B dấu bằng xảy ra khi A và cùng dấu

· A- B £ A B- Dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu và A> B

- Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) :

ax by+ £ a +b x +y Dấu bằng xảy ra khi ay = bx

- Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :

Một số bài toán về min,max:

2a

= TH2: Nếu a<0:

2a

=

-Dạng 2:

2 2

a 'x b'x c'P

+ Nếu P m³ ÞPmin = , thay trở lại (*) ta suy ra được x m

+ Nếu P M£ ÞPm ax =M, thay trở lại (*) ta suy ra được x

- Nhân chéo, biểu thị x theo P: x b Pd

Phương trình (*) có nghiệm 0

t 0

S 0

D ³ì

³ Û í ³

î Từ đó suy ra min, max

CHUYÊN ĐỀ 7: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình :

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:

a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng

đã biết

c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số

+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b = + ( v íi 0<a 9; 0 b 9;a, b N) £ £ £ Î

+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c = + + ( v íi 0<a 9; 0 b,c 9;a, b, c N) £ £ £ Î

v = v1 + v2 Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v1 - v2

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Những kiến thức cần nhớ:

- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được 1

x công việc

- Xem toàn bộ công việc là 1

Chú ý:

+ Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai

+ Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai

ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để

Dạng 4: Toán có nội dung hình học:

Kiến thức cần nhớ:

- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài)

- Diện tích tam giác S 1x.y

2

= ( x là chiều cao, y là cạnh đỏy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là cỏc cạnh gúc vuụng)

- Số đường chộo của một đa giỏc n(n 3)

Ø Chú ý : Trong một bài toán thông thường liên quan đến 3 đại lượng Một đại

lượng đã biết, một đại lượng chưa biết mà bài toán yêu cầu tim, một đại lượng chưa biết có liên quan đến tình huống bài toán

Ø Mối quan hệ giữa các đại lượng:

+ Quãng đường = vận tốc x Thời gian

+ Chuyển động có dòng nước : Vx = Vthực - Vn

Vngược = Vthực - Vn + Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian

= Năng suất x số người + Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V )

+ Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả ra

+ Toán có nội dung hình học:

- Chu vi hình chữ nhật có các cạnh a, b : C = (a +b).2

- Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b

…………

+ Toán làm chung, làm riêng:

-Coi toàn bộ công việc là 1 (đv)

- Giả sử công nhân A hoàn thành công việc trong x giờ

Þ 1 giờ công nhân A sẽ làm được

x

1 công việc

- Công nhân B hoàn thành công việc trong y giờ

Þ 1 giờ công nhân B làm được

y

1 công việc -Cả hai người làm trong t giờ thì hoàn thành công việc

Þ 1 giờ cả hai người làm được

t

1 công việc

Þ Ta có phương trình :

t y x

1 1 1

= +

Chú ý: Trong bài toán chuyển động liên quan đến “đi trước, về sau” cần nhớ:

Gọi thời gian A chuyển động là a, thời gian B chuyển động là b

A đi trước B – x (h) Cùng về đích 1 lúc b=a-x

A về sau B – x (h) Cùng về đích 1 lúc b=a+x

A,B cùng xuất phát A về trước B – (x) b=a+x

A, B cùng xuất phát A về sau B – y (h) b+y=a

A đi trước B – x (h) về trước B – y (h) b-y=a-x

A đi trước B – x (h) về sau B – y (h) b+y=a-x

A về sau B – x (h) về trước B – y (h) b-y=a+x

A về Sau B – x (h) về sau B – (h) b+y=a+x