BĐT nâng cao

Một số điểm cần l u ý : - Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không đợc trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi cha biết rõ dấu của hai vế.. C

V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số

V.1 - Bất đẳng thức

1 Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa : Cho hai số a và b ta có a > b ⇔a – b > 0

b) Một số bất đẳng thức cơ bản :

01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :

A2n ≥ ∀ ∈0 n Ơ với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

2n A≥0 ; ∀ ≥ ∀ ∈A 0; n Ơ ; dấu bằng xảy ra khi A = 0

A+ B ≥ A B+ Với A≥0;B≥0

dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

A B− ≤ A− B với A B o≥ ≥ dấu bằng xảy ra khi B = 0

02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

A ≥0 Với A bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

A + B ≥ +A B dấu bằng xảy ra khi A và cùng dấu

A− B ≤ −A B Dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu và A> B

03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) :

- Cho các số 1 2

n

+ + +

( Trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của chúng ) Dấu bằng xảy ra khi a1=a2 = = a n

- Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dới các dạng sau :

2

a b

ab

+ ≥ Với a và b là các số không âm ( )2

4

a b+ ≥ ab Với a và b là các số bất kỳ ( )2

2

a b

+ ≥ Với a và b là các số bất kỳ

Dấu bằng xảy ra khi a = b

04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) :

- Cho hai bộ các số thực: a a1, , ,2 a và n b b1, , ,2 b n

Khi đó : ( )2 ( 2 2 2) ( 2 2 2)

Dấu bằng xảy ra khi :

- Hoặc 1 2

n n

a

b = b = = b với ai , bi khác 0 và nếu a i =0 thì b tơng ứng cũng bằng 0 i

- Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không

- Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số :

( )2 ( 2 2) ( 2 2)

05) Bất đẳng thức x 1 2

x

+ ≥ Với x > 0 ; x 1 2

x

+ ≤ − Với x < 0 c) Các tính chất của bất đẳng thức :

01) Tính chất bắc cầu : Nếu a > b và b > c thì a > c

02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng :

Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d

03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngợc chiều : Nếu a > b và c < d thì a – c > b – d

04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân :

- Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số

Nếu a >b và c > 0 thì ac > bc

Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc

- Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều

Nếu a > b >0 và c > d > 0 thì ac > bd

Nếu a < b < 0 và c < d < 0 thì ac > bd

- Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :

a b≥ ⇒a2n+ 1 ≥b2n+ 1 Với mọi n∈Ơ

a b≥ ≥ ⇒0 a2n ≥b2n Với mọi n∈Ơ

a b≤ < ⇒0 a2n ≥b2n Với mọi n∈Ơ

0 < a < 1 ⇒a n <a m Với n > m

a > 1 ⇒a n >a m Với n > m

2 Một số điểm cần l u ý :

- Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không đợc trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi cha biết rõ dấu của hai vế Chỉ đợc phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó

- Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra đợc số lớn nhất và số nhỏ nhất Tính chất này đợc dùng để sắp thứ tự các ẩn trong việcchứng minh một bất đẳng thức

3 Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức:

3.1 Biến đổi tương đương và dựng bất đẳng thức cú sẳn

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thức x thì : 2

2

3 4 11

2 1

− +

Giải :

Ta có :

2

  Với mọi x

Do vậy : 2

2

3 4 11

2 1

− + ⇔3x2 +4x+ ≥11 2(x2 − + ⇔x 1) 3x2 +4x+ ≥11 2x2 −2x+2

2 ( )2

Dấu bằng xảy ra khi x = -3

Ví dụ 2 : Cho a, b ∈Ă và a+b ≠ 0 Chứng minh rằng a5 b5 2 2

a b

a b

Giải :

Xét tử của M :

a5 +b5 −a b3 2−a b2 3 =(a5 −a b2 3) (− a b3 2−b5) =a a2( 3 −b3) −b a2( 3 −b3) =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

Vì a+b ≠ 0 nên M= ( )2 1 2 3 2

  > 0 do a, b không thể đồng thời bằng 0

3.2 Ph ơng pháp phản chứng:

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn

0 0 0

a b c

ab ac bc abc

+ + >



 + + >



 >



Chứng minh rằng cả ba số đó đều dơng

Giải

- Giả sử có một số không dơng: a ≤ 0

Từ abc > 0 ta có: bc < 0 (* )

Từ a+b+c >0 ta có: b + c > - a > 0

Từ ab +bc+ac >0 ta có: bc + a(b + c) > 0 ⇒ bc > - a (b + c) > 0 (**)

Ta có (*) và (**) mâu thuẫn nhau ⇒ đpcm

3.3 Ph ơng pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản:

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x, y > 0 Ta có : ( 1 + x) (1 + y) ≥ (1 + xy )2

Giải

Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :

(1+x)(1+y)=1 + x ữ1 + y ữ≥ +1 xy

Cách 2 : Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

2

2

(1 )(1 ) (1 )(1 )

xy

Dấu bằng xảy ra khi x = y

Ví dụ 5 : Cho ,a b∈Ă và 3a + 4 = 5 Chứng minh rằng a2 +b2 ≥1

Giải : Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có :

2 ( )2 ( 2 2) ( 2 2) 2 2

5 = 3a+4b ≤ 3 +4 a +b ⇔a +b ≥1

Dấu bằng xảy ra khi :

3

5 4

3 4

5

b



Cách 2 : Từ 3a +4b = 5 ta có a= 5 4

3

b

−

Vậy

2

3

b

25b 40b 16 0 5b 4 0

⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ Đúng với mọi x

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi góc nhọn x ta có :

a ) sin x + cosx 1

2

≤

b) tgx + cotgx ≥ 2

Giải : a) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có :

sin x + cosx sin2 cos2 1

Dấu bằng xảy ra khi sinx = cosx hay x = 450

b ) Vì tgx , cotgx >0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số ta có ;

tgx + cotgx 2≥ tgx.cotgx =2 ( Vì tgx cotgx = 1 )

Dấu bằng xảy ra khi tgx = cotgx hay x= 450

Ví dụ 7 : Cho a≥4 Chứng minh rằng : 1 17

4

a a

+ ≥

Giải :

Ta có : 1 1 15

a

áp dụng bất đẳng thức Cosicho hai số dơng

16

a và 1

a ta có :

Mà : 4 15 15.4 15

a

Vậy 1 17

4

a

a

+ ≥ Dấu bằng xảy ra khi a = 4

Ví dụ 8 : Chứng minh rằng với mọi số thực x , y ta có :

5x +2y −2xy−4x−6y> −10

Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :

Điều này đúng vì ( )2 ( )2 ( )2

2x−1 ≥0; y−3 ≥0; x y− ≥0

và không đồng thời xảy ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0

3.4 Ph ơng pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình :

Ví dụ9 : Chứng minh rằng nếu phơng trình:

2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2

Có nghiệm thì 4c2 ≥ 3(a + b)2 – 8ab

Giải

Ta có : 2 ( ) (2 )2 2 2 ( ) 2 2 2

Để phơng trình có nghiệm thì :

' 0 a b 4(a b c ) 0 4c 3 a b 2ab 4c 3 a b 8ab

3.5 Phơng pháp làm trội:

Ví dụ10 : Chứng minh với n ∈N* thì:

2

1 2

1

2

1 1

+

+

n

Giải

Ta có:

n n n

1 1 1

1

= +

>

+

1 1

2 2

+

+ ………

1 1

2n 1 2> n

−

2

1 2

1 2

1

2

1 1 1 2

1 2 1

=

>

+ + +

+ +

=>

=

n n n

n

n n

4 Các bài tập tự luyện :

Bài 1: Trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền bằng 1 , hai cạnh góc vuông là b và c

Chứng minh rằng : b3 + c3 < 1

Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a) 2

2

7 15 12

3 1

− + Với mọi x

b ) Nếu a + b < 0 thì 3 3 ( )

c ) Nếu x3+y3 = -2 thì 2− ≤ + <x y 0

d ) Nếu x3+y3 = 16 thì 0 < x +y ≤ 4

Bài 3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a ) Nếu a2 +b2 = 13 thì a2 +b2 ≥ 2a +3b

b) 5(x2 + y2)−4(x y− ) (+2 xy+ ≥1) 0 Với mọi x , y ∈Ă

Bài 4: a) Cho hai số thực dơng a và b Chứng minh rằng : 1 1 4

+

b) Cho 0 < x < 2 và x ≠ 1 Chứng minh rằng :

2 2

4 2

−

−

Bài 5: a ) Cho a > b > 0 Chứng minh rằng

2

b ) áp dụng so sánh 2007 − 2006 và 2006− 2005

Hớng dẫn giải :

Bài 1 : Theo định lý Pitago ta có 1= b2 + c2 và 1> b; 1 > c

Vậy 1= b2 + c2 > b3 + c3

Bài 2 : a) Ta có : Vì x2 - x +1 =

2

0

x

  với mọi x

Nên 2 2 2

2

7 15 12

1

− +

2 ( )2

4x 12x 9 0 2x 3 0

Dấu bằng xảy ra khi x = 3

2

2

Đúng vì a +b < 0 và a+b2 ≥0

c) Ta có − =2 x3+ y3 =(x y x+ ) ( 2 −xy y+ 2)

Mà

2

0

y

  Nên x + y < 0

Mặt khác :

3

0

Dấu bằng xảy ra khi x = y = -1

d) Tơng tự câu c

Bài 3 : a) áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxky ta có :

( )2 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)2

Dấu bằng xảy ra khi a = 2 ; b = 3

b) Ta có :

Điều này luôn luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi 1; 1

Bài 4: a ) Ta có: 1 1 4 a b 4

+

Vì a,b > 0; a+b > 0 nên: (*) ( )2

4

⇔ + ≥ ( Bất đẳng thức Cosi cho 2 số ) Vậy 1 1 4

+ với mọi a , b > 0

b) Đặt (x-1)2 = t thì t > 0 và x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t

Vì 0 < x < 2 nên 1-t > 0

áp dụng bất đẳng thức ở câu (a) cho hai số dơng t và 1-t ta đợc

4

−

Mà 4 - x2 < 4 do 0 < x < 2

Vậy:

2 2

4 2

−

−

2

Bình phơng hai vế của bất đẳng thức ta đợc:

4a>2a+2 a −b ⇔ >a a −b ⇔a >a −b ⇔ > −0 b Đúng

b) áp dụng câu a với a = 2006 và b = 1 ta có:

2 2006 > 2007+ 2005 ⇔ 2006− 2005 > 2007− 2006

V.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Của biểu thức :

1 Kiến thức cần nhớ :

Cho các biểu thức A và B

- Nếu A a≤ trong đó a là một giá trị của biểu thức A

Thì a đợc gọi là giá trị lớn nhất của A (GTLN của A ) , đợc ký hiệu là MaxA hay AMax

- Nếu B ≥b trong đó b là một giá trị của B

Thì b đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của B (GTNN của B ),đợc ký hiệu là Min B hay BMin

- Các cách biến đổi thờng dùng để tìm GTLN và GTNN

Cách 1: a) Tìm GTLN: f(x) ≤ g(x) ≤ a

b) Tìm GTNN: f(x) ≥g(x) ≥ a

Cách 2: a) Tìm GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) ≤0; g(x) ≤ a)

b) Tìm GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) ≥ 0; g(x) ≥ a) Với biểu thức nhều biến có cách làm tơng tự

2 Một số diểm cần l u ý :

- Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Nếu biến lấy giá trị trên toàn tập Ă thì vấn đề đã không đơn giản Khi biến trong biểu thức chỉ lấy giá trị trong , ,Ô Â Ơ hoặc một khoảng giá trị nào đó thì vấn đề càng phức tạp và dễ mắc sai lầm

- Một sai lầm thờng mắc phải đó là khi biến đổi các biểu thức theo cách 1 hoặc cách 2 Ta kết luận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức là a nhng dấu bằng không xảy ra đồng thời

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 4x2+ y2+2xy+3x+5

Lời giải 1 :

Mà

2

3

Nên Min P = 11

4 khi x =

1

2 và x +y = 0 nên y =

-1 2

Ta thấy lời giải này sai lầm ở chỗ dấu bằng không xảy ra đồng thời Khi x =1

2 thì (x-1)

2 0≠

Lời giải 2 : Ta có

Vậy Min P = 17

4 Khi

1 0

2

0 2

2

x

y



Ví dụ 2 : Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 1

a

+

Lời giải 1 : Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có P a 1 2 a.1 2

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

Lời giải này sai lầm ở chỗ P= ⇔ =2 a 1 không thoả mãn điều kiện a ≥ 2

Lời giải 2 : Ta có 1 1 3 2 .1 3 2 3 7

Vậy Min P = 7

2 khi a = 2

3 Bài tập ví dụ :

-Về bản chất bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức và bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể coi là tơng đơng nhau Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức nếu ta phán

đoán đợc kết quả thì bài toán trở thành chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 3: Cho x, y, z ∈ R thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1

Tìm GTLN của P = x+2y+3z

Giải:

Theo bất đẳng thức Cosi – Bunhiacopxki ta có:

P2 = ( x + 2y + 3z)2 ≤ (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14

Nên P ≤ 14

Dấu = xảy ra khi:









= + +

=

=

=>









= + +

=

=

1

9 4 1 1

3 2

1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

z y x

z y x z

y x

z y x



















=

=

=

⇒

14 9 14 4 14 1

2 2 2

z y x

Vậy (x, y, z) =









14

14 3

; 14

14 2

; 14

14

(1)

Hoặc (x, y, z) = 14; 2 14; 3 14

−

Vậy Pmax = 14 khi (x, y, z) =  14 

14 3

; 14

14 2

; 14

14

hoặc (x, y, z) = 14; 2 14; 3 14

−

Ví dụ 4: Cho a, b, x, y là các số dơng thoả mãn + =1

y

b x a

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

a) P = xy; b) Q = x + y

Giải:

a) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

2 ab a b 1 xy 4ab

Vậy Pmin = 4ab khi 1 2

2 2

=





(Bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Vậy : Q = x+ y ( )2

Qmin = ( )2

a+ b khi x = a+ ab;y =b+ ab

Ví dụ 5: Tìm GTLN của P = 2

) (x a

x

+

Giải

Điều kiện : x≠ −a

Ta có: Với x = 0 => P = 0

Với x ≠0 ta có: P = 2

) (x a

x

+ ⇔x = P(x + a)2

⇔px2 + 2 apx + pa2 = x

⇔px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0

Để phơng trình có nghiệm thì:

∆≥ ⇔0 (2ap – 1)2 – 4pa2 ≥ 0

<=> 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p ≥ 0

<=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 ≥ 0

Giải bất phơng trình bậc 2 thu đợc P1 ≤ P ≤ P2

4 Bài tập tự luyện :

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x2 - 6x +1

b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020

c) C = 2 1

2 1

+ +

d ) D = 3x2+5y2 với 3x= 5y+2

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) M = - x2 + 4x + 7

b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y

c) P = ( x+1 ) (2 - x )

Bài 3: Tìm giá tri lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 32 1

1

x x

− +

Giải:

Bài 1: a) A= (x-3)2 -8 nên min A = 8 khi x = 3

b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nên Min B = 2007 Khi x = 3; y =2

c) Điều kiện: x < 1

2

− ; x > 0 (*) áp dụng bất dẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:

C

2 1

2 1

3

x

= −





đối chiếu với (*) ta đợc x =-1

c) Từ 3x= 5y+ ⇒2 3x− 5y =2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:

( )2 ( ) ( )

3 1x − 5 1y ≤ 3x +5y 1 1+ ⇔3x +5y ≥2

Vậy MinD = 2 khi x= 1

3 và y =

1 5

−

Bài 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nên MaxM = 11 khi x = 2

b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nên MaxN = 2005 khi x = 1; y = -1

2

c ) P = ( x+1 ) (2 - x )

2

  ( Bất đẳng thức Cosi )

Vậy MaxP = 9

4khi x =

1 2 Bài 3: Ta có: P = ( 2 ) 2

2

3 1

1

x

Ta thấy P = 0 khi x = 1

3 Với P ≠0 thì giá trị của P phải thoả mãn cho phơng trình (*) có nghiệm với x

3 4P P 1 0 4P 4P 9 0 2P 1 10

10 2 1 10

Vậy MaxP = 10 1

2

− khi x = 10 1

3

+

MinP = - 10 1

2

+ khi x = 1 10

3

−

V.3 Bất ph ơng trình

1 Kiến thức cần nhớ :

- Bất phơng trình bậc nhất : ax +b = 0 (a≠0)

+ Nếu a > 0 bất phơng trình có nghiệm x b

a

> −

+ Nếu a <0 bất phơng trình có nghiệm x b

a

< −

Tơng tự cho bất phơng trình ax + b < 0

* Ta có thể nhớ cách lấy nghiệm của bất phơng trình bậc nhất theo qui tắc " Lớn cùng bé khác " Nghĩa là nhị thức bậc nhất f(x) = ax +b (a≠0) có nghiệm x = b

a

−

Khi x > b

a

− thì f(x) và hệ số a cùng dấu , khi x < b

a

− thì f(x) và hệ số a khác dấu

- Bất phơng trình tích : A(x)B(x) > 0

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

A x

B x

A x

B x

 >











; A(x)B(x) < 0

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

A x

B x

A x

B x











trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x

- Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : Ta làm mất dấu giá trị tuyệt đói để giải bằng cách xét khoảng giá trị của biến hoặc bình phơng hai vế của bất phơng trình

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

B x

B x

≤



 >





;

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

B x

≥





- Bất phơng trình vô tỷ :

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

A x

≥







( )2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

A x

B x

B x











;

2

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ( ))

A x





2 Bài tập ví dụ :

Ví dụ 1: Giải các bất phơng trình sau :

a) -3(x+2) +2(x-1) ≥4x -3

b) ( )2 ( )

Giải a) Ta có :

-3(x+2) +2(x-1) 4x -3 3 6 2 1 4 3 4 3 7

4

5 4

5

⇔ − ≥ ⇔ ≤ −

b ) Ta có : ( )2 ( ) ( 2 )

( 2 )

Vì 2

1 0

1

m x

m

≥ +

Ví dụ 2 : Giải các bất phơng trình :

a) x2 −5x+ ≥6 0

b) 2

4 3 0

Giải a)Tacó : x2 −5x+ ≥ ⇔6 0 x2 −2x−3x+ ≥ ⇔6 0 x x( − −2) (3 x−2) ≥ ⇔0 (x−2) (x− ≥3) 0