HỆ TỌA ĐỘ OXY LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM và đường phân giác trong BD.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giá

Trang 1

Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

PHÂN LOẠI BÀI TOÁN : ĐƯỜNG -ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đối tượng đã ngiên cứu là : Điểm - tam giác , hình bình hành - hình vuông , hình chữ nhật , hình thoi , hình thang và hình tròn

Với đề thi đại học gần đây , Bộ ra đề tương đối tổng hợp Các em cần phải nắm vững những kiến thức về các hình nói trên thì mới giải ngắn gọn được

Trong bài giảng này , tôi hệ thống theo các dạng : Tam giác - Hình vuông - Hình thoi - Hình chữ nhật Mỗi một dạng tôi trình bày một số bài để các em tham khảo , một số bài hướng dẫn trên lớp

và một số bài tập tương tự để các em tự luyện

I VỀ TAM GIÁC

A VỀ KIẾN THỨC

1 Về véc tơ :

- Cần phải biết được khái niệm hai véc tơ bằng nhau : Tọa độ tương ứng bằng nhau

- Cách viết tọa độ của một véc tơ : Tọa độ ngọn trừ cho tạo độ gốc

- Hai véc tơ song song nhau : tỷ số hai tọa độ bằng nhau

5 Tính chất đường phân giác :

Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy

6 Thuộc công thức tính khoảng cách từ một điểm M x y tới đường thẳng d:( 0; 0)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng :V x y− − =4 0 và d: 2x-y-2=0 Tìm tọa độ điểm

N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại M thỏa mãn : OM.ON=8

Gợi ý

+/ Nhận xét : hai đường thẳng này cắt nhau tại A(-2;-6) Gọi I là tâm đường tròn đi qua M,N có bán kính R H là trung điểm MN

+/ Nếu N thuộc d suy ra : N =(a a; −4) Do đó M thuộc ∆ ⇒ =N (b b; 2 −2)

+/ Đường thẳng (ON) cắt ∆ tại M thì O,M,N thẳng hàng : OMuuuur=kONuuur (k≠0)

Trang 2

B Đường tròn nội tiếp tam giác

ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F Cho D(3;1) và đường thẳng

EF có phương trình y-3=0 Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương

Gợi ý

+/ Nhận xét : B và D có tung độ bằng 1 suy ra (BC) nằm

trên đường thẳng y=1 suy ra BD=5

2 Do E và F thuộcđường thẳng y=a suy ra tọa độ chúng có dạng : E(a;3) và

F(b;3) Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài

1 2

 Ta có đường thẳng d qua D(3;1) và A vuông góc với (BC) nên có dạng :

x=3 H là trung điểm EF có tạo độ H(3;3) suy ra :

33

-2

A

B()

C D(3;1)

y=1

y=3 H

d

Trang 3

Bài 3 (KD-2011-KPB)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A có phương trình x-y-1=0 Tìm tọa độ đỉnh A và C

Gợi ý

Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân

giác (AD) Với G là trọng tâm ⇒BGuuur=2GMuuuur (1)

+/ Ta có : M(x;y) ⇒GMuuuur= −(x 1;y−1 ) BGuuur=( )5;0 suy ra (1) ta có

trình của (T) , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

y

x A B

C

O 0

60

0

30

Trang 4

Gợi ý

+/ Đường thẳng (AD) qua A(6;6) và vuông góc với d suy ra H là

giao của (AD) với d :

( Vì H là trung điểm của AD)

Đường thẳng (BC) qua D(-2;-2) và song song với d :

A(3;-7)

H(3;-1) I(-2;0)

Trang 5

(AH) nên (BC): y=3 , do đó nếu gọi M là trung điểm của BC thì thì IM//AH suy ra M nằm trên đường thẳng x=-2 Vậy M(-2;3) Gọi C=( m;3 ) do C có hoành độ dương cho nên : m>0

B đối xứng với C qua M cho nên B=( -4-m;3) Ta có : uuurBH = + −(7 m; 4 ,) uuurAC=(m−3;10)

(BH) là đường cao ⇒BH ⊥AC⇔BH ACuuuruuur= ⇔0 (m+7) (m− −3) 40 0=

Do vậu (1) có hai nghiệm khi a < 70

Do C có hoành độ dương cho nên (1) : B= − −( 2 74−a2) (;C= +2 74−a2)

H

K

d A(0;2)

E

Trang 6

+/ Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C'

phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A

.Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d :

Với t=4 suy ra A(4;1)

Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có ' ( )0;8 // ( ) (0;1 ' :) 4

Chú ý Bài này còn có cách giải khác

+/ Tìm C' đối xứng với C qua d x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn :

C'

0

H

Trang 7

 Với x>0 suy ra A(4;1)

+/ B thuộc đường thẳng (AC') : x=4 suy ra tọa độ B(4;m) thỏa mãn : ( )2

 Đường thẳng d' cắt d tại H ( là trung

điểm của BC- do tam giác ABC cân ) thì tọa độ của nó là nghiệm

+/ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2)

Ôn thi cấp tốc -2013 Trang 7

Trang 8

+/ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH :

 Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1)

Vậy (AC) qua A(1;2) có ( 4; 3 //) ( ) ( )4;3 : 1 2 3 4 5 0

Bài 12.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm

H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1)

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 Đường thẳng AB có

phương trình x-y=0 Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại A Biết cạnh huyền nằm trên

đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm 1;5

2

N 

  thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường

thẳng AB Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM

và đường phân giác trong BD Biết H(-4;1), M 17;12

5

  và (BD) : x+y-5=0 Tìm tọa độ đỉnh A

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng d:

x-4y-2=0 Cạnh AC song song với đường thẳng d Đường cao kẻ từ A có phương trình :

x+y+3=0 Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 đỉnh A và B

thuộc đường thẳng d có phương trình 2 2x y− −2 2 0= B và C thuộc Ox Xác định tọa độ trọngtâm tam giác ABC

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 Đường thẳng AB có

phương trình x-y=0 Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AC

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng (BC) có

phương trình : x-2y-2=0 Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B

Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) Đỉnh B

thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng 2 2 và

B có tọa độ nguyên

Bài 21* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 ,

phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Ôn thi cấp tốc -2013

Trang 8

Trang 9

Điểm -Đường thẳng trong mặt phẳng Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 Bài 22* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ¼BAC=1350, đường cao BH:

3x+y+10=0 , trung điểm cạnh BC là 1; 3

2 2

M − 

  và trực tâm tam giác H(0;-10) Biết tạo độ điểm

B âm Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 23 * Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC :

x-y+4=0 , trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm N(7;-1) Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

Bài 24* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;3) Các đường tròn nội tiếp và

ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm lần lượt là I(1;2) và 2;3

2

K 

a/ Lập phương trình đường thẳng BC hoctoancapba.com

b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc

đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 ,tìm tọa độ đỉnh C

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân

giác trong BK lần lượt có phương trình x-y+1=0; và 2x+y+5=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1) Biết

AB=2AM , đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình

là 2x+y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài 24* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d x y1: − − =2 0;d x2: +2y− =2 0Giả sử d1∩d2 tại I Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt d d tại A và B sao cho 1; 2

AB=3IA

Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB= 5; C(-1;-1) Cạnh AB có phương trình là : x-2y-3=0 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x+y-2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A,B của tam giác ABC

Bài 26 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A sao

cho khoảng cách từ B đến d bằng 3

Bài 27 Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d : 2x+3y+4=0 Viết phương trình tổng quát của

đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng 45 0

Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 Tìm trên đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC

II VỀ HÌNH CHỮ NHẬT

A KIẾN THỨC

1 Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau

2 Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường

3 Hai cạch đối diện nhau bằng nhau

3 Theo tính chất hai đường thẳng // bị cắt bởi một cát tuyến :

I

Trang 10

Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD có phương trình x+3y=0 và x-y+4=0 , đường thẳng BD đi qua diểm 1;1

34

Vậy (AB) qua M(1;5) có MFuuur là chỉ phương : ( )

I

M

N

E K

C D

M(1;5)

E F

I

Trang 11

- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :

1325

Trang 12

Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình hai đường Chéo

(AC): 7x +y -4 = 0, phương trình đường thẳng (BD): x – y + 2 = 0, Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5)

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm

I là giao điểm của đường thẳng d1:x−y−3=0 và d2 :x+y−6=0 Trung điểm của một cạnh

là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD ,cạnh (AB) có phương trình :

x-y+1=0 , tọa độ tâm I(1;1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật , biết AB=3BC và A có hoành độ

âm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , giao điểm hai

đường chéo là I(9 3;

2 2), trung điểm cạnh BC là M(3;0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm

C Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 8 Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD và DA lần lượt

đi qua các điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) và Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật bằng 16

Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1) Các đường thẳng chứa

các cạnh AB , AD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;3) Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D ,biết 3AB=2AD và điểm A có hoành độ âm

III VỀ HÌNH VUÔNG

A KIẾN THỨC

1 Các cạnh đôi một vuông góc nhau và bằng nhau

2 Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau

3 Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID và AID bằng nhau

4 Nếu cạnh hình vuông bằng a thì hai đường chéo có đọ dài là a 2

5 Hình vuông nội tiếp trong đường tròn có tâm I bán kính R= 2

Gọi giao của AN với BD là P Kẻ qua P đường thẳng song song

với AB cắt AD tại E cà cắt BC tại K Đặt EP=x ta thấy tam giác

EPD là tam giác vuông cân tại E :

DEP= EDP= ⇒ED EP x= = suy ra AE=PK=3x

Mặt khác ta lại có KC=x cho nên MQ=x , cho nên tam giác

AEP=PKM suy ra AP ⊥PM (1).và AP=PM Vậy :

Ôn thi cấp tốc -2013

Trang 12

C D

Trang 13

Bài 2 Một hình vuông có đỉnh A(– 4;5) và một đường chéo có phương trình 7x – y + 8 = 0.Hãy

lập phương trình đường chéo còn lại và các cạnh của hình vuông ấy

Gợi ý +/ Nhận xét : PA/d=-28-5+8=31 Chứng tỏ d không qua A , do đó d là đường chéo BD

+/ Giả sử AB qua A(-4;5) : a x( + +4) (b y− = ⇔5) 0 ax+by+4a-5b=0

Trang 14

1 Có hai cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau

2 Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường và chúng

vuông góc với nhau

3 Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi

4 Các tam giác cân bằng nhau : ABD=CBD và ABC=ADC

5 Diện tích hình thoi bằng tích hai đường chéo : S=AC.BD

B CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(1;1) , điểm M(2;3) thuộc đường

thẳng chứa cạnh AB và N(4;-1) thuộc cạnh CD Biết độ dài AC=2BD Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi

Gợi ý

+/ Gọi E đối xứng với N qua I thì E thuộc AB và E(-2;3) ,do đó

AB có véc tơ MEuuur= −( 4;0 //) ur =( )1;0 Tương tự F đối xứng với

M qua I thì F thuộc CD và F(0;-1) , CD song song với véc tơ

2

25

Trang 15

+/ Nếu b=-2a thì véc tơ chỉ phương của BD là uuuurBD =( ) (a b; = a; 2 //− a) uur1= −(1; 2)

+/ Đường thẳng (AB) qua M(2;3) có ( ) ( )1;0 : 2

+/ Vậy hình thoi ABCD có : A(5;3),B(0;3),C(-3;-1) và D(2;-1)

Bài 2* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là :

x+7y-31=0 , hai đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng d x y1: + − =8 0;d x2: −2y+ =3 0 Tìm tọa

độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm

Gợi ý Cách 1

+/ B thuộc d1⇒B t( 1;8−t1) và D thuộc d2 ⇒D t(22−3;t2)⇒BDuuur=(2t2− −t1 3;t2+ −t1 8)

+/ Do BD vuông góc AC suy ra:

+/ Đường thẳng BD vuông góc với AC có dạng :

x-2y+3=0

I

Trang 16

7x-y+m=0 ( với m là tham số )

 ; sau đó thay tọa độ I vào phương trình của AC ta được phương trình

có chứa ẩn m Giải phương trình này ta tìm đựơc m=8

+/ Từ đó ta tìm được B,D Các bước tiếp theo như phần sau của cách trên

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : 4x+ − =y 9 0,

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1;-2),B(-3;3) và giao điểm hai

đường chéo nằm trên đường thẳng d: x-y+2=0 Tìm tọa độ C và D

P = x −a + y −b −R < , thì M nằm bên trong đường tròn (C)

4 Với đường thẳng d : Ax+By+C=0 , so với (C) có tâm I(a;b)

Trang 17

5 Đối với hai đường tròn : ( ) ( ) (2 )2 2

+/ Hai đường tròn có một điểm chung :

- Nếu : ⇔R1+R2 =I I1 2⇒( )C1 tiếp xúc ngoài với ( )C2

- Nếu : ⇔R2−R2 =I I1 2 ⇒( )C1 tiếp xúc trong với ( )C2

+/ Hai đường tròn có hai điểm chung : ⇔R1+R2 >I I1 2 ⇒( )C1 cắt ( )C tại hai điểm phân biệt 2

M,N và đường thẳng đi qua hai điểm M,N gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn

Tính chất của trục đẳng phương là : Mọi điểm nằm trên nó có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau

6 Từ một điểm M bất kỳ , kẻ qua M đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì gọi d là

khoảng cách từ M đến I ta có : MAMB duuuruuur= 2−R2 là hằng số ( Không phụ thuộc vào vị trí của điểm

M ) Đặc biệt nếu MT là một tiếp tuyến của (C) thì 2

MAMB MT=

uuuruuur

7 Đường thẳng qua tâm đường tròn và điểm giữa của một dây cung thì đường thẳng đó vuông góc

với dây cung Ngược lại một đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với một dây cung thì đường thẳng đó đi qua điểm giữa của dây cung đó

8 Từ một điểm M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) Gọi I là tâm đường tròn và hai tiếp điểm của hai tiếp

tuyến thì ta có một số kết quả sau

- MA=MB và IA MA IB⊥ ; ⊥MB

- Tứ giác : MAIB nội tiếp trong một đường tròn có đường kính là MI

- MI là phân giác của hai góc : ¼MAB và ¼ AIB

9 Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M x y ( Theo phương ơhaps tách đôi ) có phương 0( 0; 0)

11 Trong một đường tròn , nếu cung AB>cung CD thì ¼AIB CID>¼ ( Có nghĩa là : dây cung càng gần tâm thì góc ở tâm chắn cung đó càng lớn

12 Cách xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài

Nếu tiếp tuyến chung ngoài cắt đường thẳng nối hai tâm tại một điểm M thì

- Nếu điểm M nằm ngoài đoạn I I thì M là tâm vị tự ngoài 1 2

- Nếu điểm M nằm trong đoạn I I thì M là tâm vị tự trong 1 2

13 Nếu ta có : OM kONuuuur= uuur thì ta có phép vị tự tâm O tỷ số vị tự là k đã biến điểm N thành điểm M Vì vậy nếu N chạy trên một đường (G) thì M chạy trên đường (G') là ảnh của đường (G) qua phép

vị tự tâm O có tỷ số vị tự là k

Trên đây là một số kiến thức về đường tròn cơ bản mà các em cần phải nắm chắc để giải toán

B MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1 ( KA-2012-PB)

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2

8

x +y = Viết phương trình chính tắc E líp , biết E líp có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông

Gợi ý

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,4 MB