BI KIEP TOA DO OXY ( Luyen thi dai hoc 2016)

Môn toán là một môn học rất quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống của chúng ta. Vì vậy, nó là một môn học không thể thiếu trong nền giáo dục và đa số khi chúng ta thi đại học, ra trường, đi làm đều cần đến môn toán. Đa số các bạn cho rằng môn toán là khó nhất nhưng không phải thực sự là như vậy, cũng là do một số nguyên nhân bạn học dở môn toán như: Mất căn bản, không thuộc công thức, thiếu sự kiên nhẫn, và không chịu làm bài tập... Bạn thực sự học giỏi

Trang 1

HỨA LÂM PHONG (WINDYLAMPHONG@GMAIL.COM) 1

RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG CHỨNG MINH VÀ GIẢI

Đối với bài toán hình học phẳng Oxy, ngoài cách chứng minh các tính chất hình học bằng “phương pháp thuần túy”, “phương pháp véctơ”, ta còn có thể sử dụng thêm “phương pháp tọa độ” Trong chuyên đề này, tác giả cố gắng tập hợp các dạng hình có yếu “vuông góc” nhằm tạo “ hệ trục tọa độ mới ” (tương tư như khi ta xây dựng ở phương pháp véctơ) xử lý một

số tính chất quen thuộc như “vuông góc”, “song song”, “thẳng hàng”, “bằng nhau”, “điểm thuộc đường tròn” v,v… Hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho Quý Thầy Cô và các em học sinh

Cuối lời xin kính chúc sức khỏe Quý Thầy Cô, đặc biệt là các em học sinh sẽ có một kì thi THPT Quốc Gia 2016 thật thành công !

Sài Gòn, 31/05/2016 Hứa Lâm Phong ( windylamphong@gmail.com – FB: Phong Lâm Hứa – 0933524179)

Câu 1 (HÌNH THANG VUÔNG) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , AB AD 1CD

3 Giao điểm của AC và BD là E3 3 , điểm ;  F5 9; 

thuộc cạnh AB sao cho AF5FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết rằng đỉnh A có tung độ âm

(Trích đề TTL2, THPT Chuyên Đại Học Vinh, 2016)

 Dựng hình và phát hiện tính chất hoặc các yếu tố đặc biệt cần khai thác

Đề bài cho 2 dữ kiện là tọa độ E và F Như vậy từ 2 dữ kiện này ta có thể thiết lập được:

Khi đó ta có tọa độ các điểm: A  0 0; , C 18 6a; a , F 5 0 a; 

Trang 2

Để tìm tọa độ điểm E có 2 cách sau:

 Phân tích định hướng tìm lời giải (“Sau tính chất”)

● Viết pt AC qua E; EF   tham số tọa độ điểm A theo AC

phần giải tiếp xin dành cho bạn đọc, đáp số D15 15 ; 

 Lời giải theo đáp án của trường ĐH Vinh (góc nhìn của véctơ và “sau tính chất”)

Gọi IEFCD Ta cần chứng minh EAI vuông cân tại E.

Trang 3

Suy ra AC.EF  b  a  ACEF 

2 21

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là D15 15 ; 

Câu 2 (TAM GIÁC VUÔNG CÂN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông

cân tại A , có trọng tâm G Gọi E,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC ; D là điểm đối xứng của H qua A và I là giao điểm giữa AB và đường thẳng CD. Biết điểm D 1 1;  , đường thẳng IGcó phương trình 6x3y 7 0 và điểm E có hoành độ bằng 1 Tìm tọa độ

các đỉnh của tam giác ABC

(Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2016)

■ Dựng hình và phát hiện các tính chất hoặc điểm quan trọng

 Khi dựng hình xong, ta tiếp tục phát hiện đến 2 tính chất ẩn sau trong bài toán nhưng chính do các

dữ kiện mà đề bài đặt ra lại gợi ý cho ta tìm và phát hiện ra các tính chất ấy Cụ thể ta cần chứng minh:

Trang 4

■ Phân tích định hướng tìm lời giả (“sau tính chất”)

● Viết pt đường thẳng DE qua D và song song IG xE 1 E ?; ?

● Viết pt đường thẳng EC qua E; IG G EC IG G ?; ?

■ Hướng dẫn giải chi tiết

Phương trình đường thẳng DE qua D và song song IGlà 6x3y 3 0

* Do x E 1 E ; 1 3 Gọi K là trung điểm HE , ta có hai tam giác vuông cân EAH và

ACB đồng dạng có các đường trung tuyến tương ứng AK,CE từ đó dễ có AKCE. Và

AK / /DEDEEC

* Pt đường thẳng EC qua E vuông góc DE là 3 x6y21 0

Tọa độ điểm G là nghiệm của hệ 3 6 21 0 7 7

Do E là trung điểm AB nên B ; 1 5

■ Bình luận: Qua bài toán này, ta rút ra một số lưu ý:

 Một là, ta vẫn có thể chọn H là trung điểm BC làm gốc tọa độ, dựng hệ trục Hxy như hình vẽ, đồng thời chuẩn hóa độ dài cạnh

 

HA a a để thuận lợi cho việc tính toán (Phần chứng minh

xin dành cho bạn đọc)

 Hai là, đôi khi trong một số bài toán có sử dụng PP tọa độ, bạn đọc

cũng thường hay thắc mắc vì sao khi giải tìm giao điểm giữa các đường thẳng, tác giả lại có thể tính toán và giải nhanh như vậy Câu trả lời nằm ở việc sử dụng cách giải hệ phương trình Crammer mà ta đã được học lớp 10 Cụ thể ta xét hệ phương trình sau:

Trang 5

Câu 3 (TAM GIÁC CÂN). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABCcân

tại B , trực tâm H , M là trung điểm cạnh BC Đường thẳng vuông góc HM cắt AB, AC lần

lượt tại E,F Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng độ dài HF1 , phương trình đường thẳng HM : y2  1 0, MF : x y  2 0 và E có tung độ dương

(Bài toán của tác giả : Hứa Lâm Phong)

■ Dựng hình và phát hiện tính chất và một số yếu tố cần khai thác:

Dựng hệ trục Ixy như hình vẽ Chuẩn hóa độ dài AC4 và

BC :

a y x

Trang 6

2 2

cos HMFcos HM ; HF   HMF  HMF vuông cân tại H

Trang 7

Ta có EHA HMC c g c    EA MC E là trung điểm AB và F cũng là trung điểm

IC (với I là trung điểm AC)

Suy ra EMBHK2 2; BH ( K là trung điểm EM)

Ta có:

2

BI

BKMF & BK / /MF Suy ra BMFK là hình bình hành KBFMB1 2;  Suy ra A4 1; & C 2 1; 

■ Bình luận: Qua bài toán này, ta rút ra một số lưu ý:

* Chứng minh HE HF bằng cách thuần túy

Gọi D là điểm đối xứng của C qua H (1) Ta có HM là đường trung bình DBC HM / /BD

Hai là, khi đề bài cho nhiều phương trình đường thẳng, ngoài việc tương giao với nhau tìm được

điểm mới ta còn có thể kiểm tra góc giữa chúng

Câu 4 (TAM GIÁC VUÔNG 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC

vuông tại A Gọi D là điểm đối xứng với B qua C E là một điểm trên đường thẳng AC

sao cho AE 2AC Biết phương trình đường thẳng BE là x2y 3 0 , phương trình

đường thẳng AD là x4 2y 1 0 và điểm M3 2 thuộc đường thẳng ;  AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ âm

(Thi thử Bamabel, Lần 3, 2016)

■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)

Tính chất quan trọng mà ta cần chứng minh chính là D, A,I thẳng hàng (với I là trung điểm AB hay A là trọng tâm tam giác DBE

Ta chứng minh bằng cách chọn hệ trục tọa độ Axy như hình vẽ và độ dài AC1, AB a a  0 

Trang 8

Khi đó, ta có tọa độ:

       

C 0 1; ,E 0 2; ,B a;0 ,D a; 2 Đường thẳng EB có phương trình

y x

■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải

 Gọi n a;b , a 2b2 0 là vtpt của AB Ta tìm a, b bằng cách khai thác 

■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi n a;b , a 2b2 0 là vtpt của đường thẳng AB Khi đó ta có : 

1 và AB qua M3 2 ; 

Trang 9

AB AC và gọi M là trung điểm cạnh AB. Gọi I ;1 8  là tâm đường tròn tiếp xúc với cạnh

AB, AC lần lượt tại M và C. Biết rằng phương trình đường thẳng BC là x9y 5 0, điểm

A nằm trên đường thẳng d : x y1   3 0, trọng tâm G của ABC thuộc d : x y2   1 0

Tìm tọa độ các điểm A,B,C

(Thầy Đặng Thành Nam, Vted.vn, Lần 6, 2016)

Trang 10

Trang 11

Suy ra

5; 0 , 4;10

61 16 20 2516

41 41 41 4141

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A ;  1 2 , B 5 0;   ,C 4 1;

Câu 6 (HÌNH BÌNH HÀNH) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD

có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, có góc BAI90o Đường thẳng qua B , vuông góc với BD cắt AI tại M. Đường thẳng qua D, vuông góc BD cắt AB tại N. Giả sử phương trình đường thẳng DM là x y  4 0, NI quaJ 5 0; và 1 3

BI. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD

Bài toán của tác giả: Thầy Huỳnh Đức Khánh, 2016

cách chứng minh bằng “ phương pháp tọa độ kết hợp chuẩn

hóa số liệu“ như sau: Dựng hệ trục Cxy như hình vẽ, Đặt CD a 0, AC2 Khi đó ta có:

 Viết pt đường thẳng IN qua J ; DM  

 Tham số hóa tọa độ I theo IN biểu diễn tọa độ D theo I

Trang 12

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A ;1 1  , B  3 3;  ,C 3 5;  , D 7 3 ; 

Bình luận: Ta có thể chứng minh bằng con đường hình học thuần túy như sau:

Trang 13

Gọi H là giao điểm NI & MD Ta cần chứng minh

090

MHN Mặt khác ta lại có MAN90o nên ta sẽ tìm cách chứng minh tứ giác MAHN nội tiếp Ở đây ta chọn hướng chứng minh hai góc liên tiếp cùng nhìn một cạnh bằng nhau

Để chứng minh hai góc trên bằng nhau, ta khai thác giả thiết của bài toán (ABCD là hình bình hành, BMBD,BDND) cụ thể như sau:

o o

DBC BDA ABCD la hinh binh hanh

DBC AMH tu giac MDCB noi tiep do MCD MBD

BDA ANH tu giac MDCB noi tiep do MCD MBD

Câu 7 (HÌNH THOI) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD AC 2BD

có H là giao điểm của AC và BD Gọi E,I lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AB, AH

F là trung điểm CI. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết E2 0;  ,F ;1 1  và

B có tung độ dương

(Trích đề thi thử THPT Cù Chính Lan, Hòa Bình, 2016)

Cũng tương tự như bài toán trong hình vuông, khi đề bài chỉ cho ta dữ kiện về tọa độ của hai điểm thì phương án khả dĩ nhất ngoài việc lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là việc tính

độ dài của chúng Do quan hệ giữa hai cạnh BD và AC AC 2BD nên ta kì vọng nếu đặ một cạnh

0

BD a thì ta có thể tính EF theo a

Ngoài ra, ta còn phát hiện BFAB Việc chứng minh này có thể sử dụng định lý đảo của Pi-ta-go

trong tam giác ABF nhưng để dễ dàng hơn ta có thể chọn dựng hệ trúc Hxy ( HCHx,HBHy để chứng minh các tính chất trên) Giả sử cạnh

HB a a  HC a Khi đó tọa độ của các điểm sẽ là:

Trang 14

 Gọi I là trung điểm EFBIEF viết ptBI qua I , EF  

 Khi đó,   y B 0   Elatrung diem AB  

1 05

Do H là trung điểm AC,BD suy ra C4 1;  ,D 0 3; 

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 4 1;    ,B 0 1; ,C 4 1;  ,D 0 3; 

Câu 8 (HÌNH THANG THƯỜNG) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Biết rằng AC vuông góc CD và 3 1 3 3

Trang 15

của BD,BC Gọi I là giao điểm AC và BD , J là giao điểm của AD và BC. Tìm tọa độ các

đỉnh A và B , biết đường thẳng IJ có phương trình là 3 x y  3 0

(Trích ngân hàng đề thi đại học 2015, Group toán 3K , năm 2015)

■ Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)

Dựng hệ trục Cxy như hình vẽ và đặt AC1, AB b,CD a a,b   0,a b 

Khi đó ta có tọa độ các điểm là:

y x

1

a y

Trang 16

* Đường thẳng MN : x3y 3 0 Gọi H MN IJ nên H là trung điểm PQQ 2 3; 

Đường thẳng AB qua P và vuông góc PN x 3y13 0

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là A1 4;   ,B 2 5;

■ Bình luận (chứng minh bằng cách thuần túy)

• Trước hết ta chứng minh IJ đi qua trung điểm của

Câu 9 (HÌNH VUÔNG 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I , M

là điểm thuộc cạnh AB sao cho BIBM. Gọi N là giao điểm giữa IM và BC, trung điểm cạnh DN là K thuộc đường thẳng d : x 2  y 2 0 Đường tròn đường kính DN cắt cạnh

BD tại điểm thứ hai là P Tìm tọa độ điểm B biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác PMC là x2y22x y 20 và K,B,C đều có tung độ nguyên

(Sáng tác bởi tác giả Hứa Lâm Phong)

■ Nhận xét và phân tích:

Trang 17

Ngoài ra ta có thể chứng minh tính chất trên bằng phương pháp tọa độ như sau: Dựng hệ trục Axy

như hình vẽ dưới đây và đặt AB a 0

Trang 18

Câu 10 (HÌNH CHỮ NHẬT 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD tâm

I có điểm E thuộc cạnh BI ( E khác B và I ) Gọi F là điểm đối xứng của C qua E. Gọi

M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên cạnh AD, AB Giả sử tọa độ F8 4;  ,

Trang 19

phương trình đường thẳng MN : x4 3y12 0 , AE : x4  y 120 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM.

Sáng tác bởi tác giả: Hứa Lâm Phong

■ Nhận xét và phân tích:

Dựng hệ trục Dxy như hình vẽ, đặt DC a, AD 1 a 0,a1

Ở đây với nhận xét tìm được tọa độ điểm E MN AE (từ việc chứng minh thẳng hàng M N E , ,

) ta dễ dàng suy ra tọa độ của điểm C

Trong quá trình chứng minh thẳng hàng ta cũng sẽ cần chứng minh MN / /AC do đó đến đây ta sẽ viết phương trình đường thẳng AC qua C, / / MN Khi đó ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm

A AC AE Như vậy phương trình đường tròn cần viết đã đi qua 2 điểm , A E Điểm tiếp theo

Trang 20

Cách chứng minh bằng thuần túy hình học:

Ta có IE / / AF do IE là đường trung bình của AFC

ICD ONA MN / / AC

Nên ta có M,N,E thẳng hàng (theo tiên đề Eulide )

Câu 11 ( HÌNH VUÔNG 2 ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C3 3;  , đỉnh A thuộc đường thẳng x2y 2 0 , E là điểm thuộc cạnh BC và F là giao điểm giữa AE và CD. Gọi 87 7

Trang 21

Tính chất hình học mà ta cần lưu ý chính là: CIAF Để chứng minh tính chất này ta có thể chọn hai con đường hợp lý nhất hơn cả là “thuần túy” và “tọa độ” Cụ thể ta làm như sau:

* Theo “phương pháp tọa độ”: dựng hệ trục Cxy như hình vẽ và đặt BE a,EC 1a0 Khi đó

ta có: theo định lý Thales ta có:

1

01

Trang 22

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A2 2;    , B 3 2; , D  2 3; 

Câu 12 ( TAM GIÁC VUÔNG 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AH lần lượt tại D,E Đường thẳng vuông góc với AB tại D , cắt CE tại điểm F10 2 Tìm tọa độ các điểm ; 

A,C biết rằng B0 2;   , E 2 6 ;

Thi thử lần 31, Vted.vn

Dựng hệ trục Hxy HC Hx, HAHy Đặt HC c, HB b, HA  1b,c0 Khi đó ta có b.c1

Trang 23

EF qua E 2 6 và ; EF8;8 làm vtcp 

y x



62

Nhận xét A, F cùng phía so với BC x 0 nên nhận  A 4 6 ;

Vậy tọa độ điểm cần tìm là A   4 6; ,C 0 8;

Câu 13 ( TAM GIÁC VUÔNG 3) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC

vuông tại A Điểm D là chân đương phân giác trong góc A, các điểm M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC Đường tròn  C : x2 y2 4x2y 4 0 ngoại tiếp

Trang 24

tam giác DMN Gọi H là giao điểm BN và CM , đường thẳng AH có phương trình

x y 

3 10 0 Tìm tọa độ các điểm A, B,C biết hoành độ của điểm A là số nguyên

THPT Nguyễn Trãi, Ba Đình, năm 2016

Dựng hệ trục Axy AC Ax, ABAy Đặt AC c, AB b b; c   0 

Khi đó tọa độ các điểm là A     0 0; ,C c;0 , B 0; b

Do AD là phân giác trong góc AAD : x y 0

Đồng thời: BC : x y bx cy bc

c   b 1  

bc x

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	2,32 MB