tư duy casio luyện thi đại học

“Chúng ta không học bấm máy, chúng ta học để sáng tạo cách bấm máy... Tính diện tích tam giác OAB.. Tính diện tích tam giác ABC... Ta sẽ còn dùng nhận xét này cho các ví dụ tiếp theo...

“Chúng ta không học bấm máy, chúng ta học để sáng tạo cách bấm máy ”

Liên hệ:

\ Thầy Quyền - TP HCM - 01226678435

\ Thầy Vương - TP HCM - 0908939004

\ Page: https://www.facebook.com/casiotuduy

\ Group: https://web.facebook.com/groups/174233502984447

Sài Gòn, tháng 12 năm 2017

Ứng dụng tích có hướng vào mặt phẳng Oxy

Trong không gian Oxyz, cho các vecto −→a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), − →

b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ), tích có hướng của hai vecto −→a , − →

b là vecto [− →a ;−→b ] được xác định như sau:

[− →a ;−→b ] =

a 2 a 3

b2 b3

;

a 3 a 1

b3 b1

;

a 1 a 2

b1 b2

!

Một trong những ứng dụng của tích có hướng cho phép ta tính diện tích của một tam giác ABC khi mà tọa độ của các điểm A, B, C đã xác định,

SABC = 1

2.

[ −→

AB; −→

AC]

.

Có thể xem các vectơ −→u = (A, B) , − →v = (C, D) trong mặt phẳng Oxy cũng là các vectơ trong không gian Oxyz bằng cách viết lại chúng dưới dạng −→u = (A, B; 0) và

−

→v = (C, D; 0), khi đó tích có hướng

[− →u ; −→v ] = (0; 0; AD − BC) Như vậy, đối với các điểm A, B, C trong mặt phẳng Oxy mà −→AB = − →u ,−−→CD = −→v ta có

SABC = 1

2.|AD − BC| (∗) Trong tài liệu này, chúng ta sử dụng (*) như một công thức hữu dụng cho phép tính nhanh diện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy

Ví dụ 1 Cho đồ thị hàm số y = x3− 3x 2 + 1 có hai điểm cực trị là A, B Tính diện tích tam giác OAB

Giải Tìm được A(0; 4), B(2; 0), tức làA = 0, B = 4, C = 2, D = 0 Áp dụng (*), diện tích

SOAB = 1

2 |0.0 − 4.2| = 4 Đáp án: B

Ví dụ 2 Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x4− 4x 2 + 1 Tính diện tích tam giác ABC

2 Giải Các điểm cực trị làA(0; 1), B(1; −1); C(−1; −1), ta có−→AB = (1; −2); −→

AC = (−1; −2),

diện tích ∆ABC cho bởi

SABC = 1

2 |1.(−2) − (−2).(−1)| = 2.

Đáp án: B

Để ý rằng, nếuA ∈ Oy, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm bậc 4 trùng phương thì ta luôn có SABC = |xB.(yB− yA)| Ta sẽ còn dùng nhận xét này cho các ví dụ tiếp theo

Ví dụ 3 Tìm tất cả giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số y = x4− 2(1 − m 2 )x2+ m + 1

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất?

A.m = 1

Giải Ta có A(0; m + 1), B(

√

1 − m 2 ; 2m2 + m − m4), C(− √

1 − m 2 ; 2m2 + m − m4) với

m ∈ (−1; 1) Theo đó

SABC =

p

1 − m 2 (2m2− m4− 1)

đạt giá trị lớn nhất khi m = 0 Đáp án: C

Ví dụ 4 Tìm tất cả giá trị của tham sốmđể đồ thị hàm sốy = x3−3x2+3(1−m)x+1+3m

có hai cực trị, đồng thời hai điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

A.m = 2 B m = 0 C m = 1 ∨ m = 2 D m = 1

Giải Ta cần y0 = 3x2 − 6x + 3(1 − m) > 0 ⇒ m > 0 (loại B) Cách nhanh nhất là thử lần lượt từng giá trị > 0 của m Ứng với mỗi giá trị đó, ta solve phương trình 3x3− 6x + 3(1 − m) = 0 theo biến x, gán 2 nghiệm vào A, C Gán y(A), y(C) tương ứng vào B, D Sau cùng xét hiệu AD − BC, kết quả ra 8 hoặc −8 thì nhận m tương ứng Cụ thể, với m = 2 ta có AD − BC ∼ 16, 97 (loại), vậy chọn D

Ví dụ 5 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + m − 1 có

ba điểm cực trị cùng thuộc một đường tròn có bán kính bằng 1

A m = 1 ∨ m = −1 +√5

2 B m = 1 ∨ m = −1 −√5

2

C m = −1 ±√5

Giải Ta có A(0; m − 1), B √m; −m2+ m − 1
, C −√m; −m2+ m − 1
, (m > 0) Sử

dụng công thức S = abc

4R, ta có

m2√

m = 2

√

m √

m + m 4

4.1 solve phương trình này (hoặc thử đáp án) chọn B

Ví dụ 6 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx2+ 2m + m4

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A.√2 B √31

2

Giải Ta có y0 = 4x(x2 − m) nên phải có m > 0 (loại D), khi đó 3 điểm cực trị là A(0; 2m + m4), B( √

m; m4− m 2 + 2m) và C(− √

m; m4− m 2 + 2m) Bán kính cho bởi

R = abc 4S =

√

m + m 4 2 √

m

4 √ m.m 2 = 1 + m

3

2m .

Thay lần lượt các giá trị m > 0 của đáp án thấy R nhỏ nhất khi m = √31

2, chọn B

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3+ 3x2+ m có 2 điểm cực trị A, B sao cho góc ∠AOB = 60◦, trong đó O là gốc tọa độ

A m = −12 +√12

3

3

Giải Tìm được A(0; m), B(−2; 4 + m), ta có SAOB = 1

2.OA.OB sin 60

◦ hay

|2m| = 1

2.

√

m 2 p4 + (4 + m) 2

√ 3 2 thay đáp án, chọn D

Bài tập

Câu 1 Biết rằng đồ thị hàm số y = x4− 2mx2− m + 2 có 3 điểm cực trị Tìm tất cả giá trị m để 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32

Câu 2 Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3− 3x 2 + 4 Tính diện tích tam giác OBC

√

Câu 3 Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(2 − x) Tính diện tích của tam giác ABC với C(1; −3)

A 3

Câu 4 Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x4− 4x 2 + 1 Tính diện tích tam giác ABC

2 Câu 5 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4+ 22mx2+ m2+ m

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120◦

A m = 0 ∨ m = − √31

3 B m = 0 ∨ m = √31

3

3

√ 3 Câu 6 Tìm tất cả giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số y = x4− 2mx2+ m − 1 có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

A m = 1 ∨ m = −1 −√5

2 B m = 1 ∨ m = −1 +√5

2

C m = −1 ∨ m = −1 +√5

2 D m = −1 ∨ m = −1 −√5

2 Câu 7 Tìm tất cả giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số y = x4+ (3m + 1)x2− 3 có

ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 độ dài cạnh bên

A.m = 5

5 Câu 8 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx2+ 2m2− 4 có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

5

√

5

√ 4 Câu 9 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx2+ m − 1 có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất

A.√2 B √31

2 Câu 10 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + m − 1 có

ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

2

A.m = 2 B m = √