Mô hình var và ứng dụng (KL07469)

Sự đổ vỡ tài chính của các ngân hàng, các tập đoàn đầu tư lớn này đã làm cho rủi ro thị trường trở thành mối quan tâm hàng đầu của các nhà hoạch định, giới đầu tư và các nhà làm luật.. C

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khoá luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Liễu

MỤC LỤC

Trang

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 7

1.4 Một số khái niệm trong phân tích và định giá tài sản 13

2.2.4 Lợi ích và những phê phán về VaR 24

2.4 Ứng dụng mô hình ARMA(p, q) và GARCH(m, s) vào

ƣớc lƣợng VaR

32

2.4.2 Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất 33

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hội nhập kinh tế và toàn cầu hoá là xu thế phát triển hiện nay trên thế giới Thị trường tài chính của mỗi quốc gia vừa chịu sự tác động của thị trường tài chính toàn cầu, vừa là bộ phận không thể tách rời của thị trường tài chính toàn cầu

Sự tiến bộ vượt bậc về mặt khoa học, công nghệ đã mở ra nhiều cơ hội đầu tư tài chính song rủi ro và thách thức đi kèm không nhỏ Sự đổ vỡ tài chính của các ngân hàng, các tập đoàn đầu tư lớn này đã làm cho rủi ro thị trường trở thành mối quan tâm hàng đầu của các nhà hoạch định, giới đầu tư

và các nhà làm luật

Để kiểm soát hiệu quả rủi ro tài chính, yêu cầu bức thiết phải hình thành một phương pháp khoa học nhằm lượng hoá dự báo mức độ tổn thất tài chính có thể xảy ra Vượt lên cách tiếp cận truyền thống về đo lường rủi ro tài chính, thước đo Giá trị rủi ro (Value at Risk – VaR) đã nhanh chóng được

Uỷ ban Basel xem là thước đo chuẩn mực và là cơ sở xác định vốn an toàn rủi ro đối với rủi ro tài chính

Đối với Việt Nam, trong những năm gần đây, thị trường chứng khoán đang hoạt động cực kỳ sôi động, những công ty chứng khoán mọc lên như nấm cùng với sự ra đời của rất nhiều các loại cổ phiếu mới Thị trường chứng khoán cũng là nơi mà các nhà đầu tư gặp gỡ trao đổi kinh nghiệm và tìm kiếm những cổ phiếu tốt nhất để khi bán ra thu về mức lợi nhuận cao nhất Chính vì vậy đã thúc đẩy các nhà đầu tư tìm ra một mô hình để đánh giá mức

độ rủi ro của từng cổ phiếu hay mức thiệt hại mà nhà đầu tư có thể gặp phải khi đầu tư vào chứng khoán đó trong một khoảng thời gian nhất định với một mức lãi suất nhất định Từ đó mô hình VaR được sử dụng tại Việt Nam

Để hiểu rõ hơn về mô hình VaR và ứng dụng của nó trong thị trường

tài chính, em đã lựa chọn đề tài: “Mô hình VaR và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu mô hình VaR và một số ứng dụng của nó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình VaR

- Phạm vi nghiên cứu: các dạng mô hình VaR và ứng dụng cụ thể của

nó trong một số bài toán kinh tế

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp so sánh, phân tích, tổng hợp

- Phương pháp đánh giá

5 Cấu trúc khoá luận

Nội dung khoá luận bao gồm 2 chương:

- Chương 1 Một số kiến thức liên quan

- Chương 2 Mô hình VaR và ứng dụng

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những sai sót Em mong nhận được sự góp ý và ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn!

NỘI DUNG

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều

1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho (, F, P) là một không gian xác suất Nếu X là

một ánh xạ đo được từ  vào R thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên (hoặc

một đại lượng ngẫu nhiên)

Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên  sao cho với mỗi x thì  : X  x F

1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được

ký hiệu và xác định như sau: F X( )x P :X( )  x,x

Như vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lên lớp các khoảng , x của đường thẳng thực Để cho gọn ta sẽ ký hiệu

sao cho với mỗi

  thì V( )  X( ), ( )  Y  

1.1.2.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.4 (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suất

đồng thời của một biến ngẫu nhiên 2-chiều V ( , )X Y được định nghĩa như sau:

( , )

F x y P X x Y y , (  x y,   )

Định nghĩa 1.5 (Các hàm phân phối biên) Nếu F(x,y) là hàm phân

phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên 2-chiều V ( , )X Y thì các hàm:

là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng X và Y

Các hàm này gọi là các hàm phân phối biên của V

1.1.2.3 Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.6 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập với

X   X  X   của không gian Ơ-cơ-lít n-chiều

Ánh xạ   n lập bởi các biến ngẫu nhiên X X1 , 2 , , Xn được gọi là

một biến ngẫu nhiên n-chiều hoặc một véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều

1.1.3.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.7 (Hàm phân phối xác suất đồng thời) Hàm phân phối

xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên n-chiều được định nghĩa như sau:

    

F x x P X x X x X x  với (   X i   ) (i 1, )n

Định nghĩa 1.8 (Các hàm phân phối biên)

 Hàm phân phối biên của một biến

Hàm phân phối xác suất của biến X i là

Hàm phân phối biên của các biến X i và X j và X k là

1.1.3.3 Tính độc lập của nhiều biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.9 Các biến ngẫu nhiên X X1, 2, , Xn được gọi là độc lập nếu tại mọi điểm x x1 , 2 , ,x n của ta đều có:

Định nghĩa 1.10 (Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên một chiều) Trên

không gian xác suất (, F, P) cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F(x) Kỳ vọng toán của X là một số ký hiệu là E(X) và được định nghĩa như sau:

    ij

i j

E R E X Y  x y P khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc, và

Định nghĩa 1.12 Phương sai (variance) hay độ lệch (deviation) bình

phương trung bình của biến ngẫu nhiên X là đại lượng đo sự phân tán bình phương trung bình của X xung quanh giá trị trung bình E X

Phương sai của X được ký hiệu là DX hoặc varX và định nghĩa như sau:

Trong thống kê, độ lệch chuẩn, hay độ lệch tiêu chuẩn dùng để đo mức

độ phân tán của một tập dữ liệu đã được lập thành bảng tần số

1.2.4 Hiệp phương sai

Định nghĩa 1.14 Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y

được ký hiệu là cov(X,Y) và được định nghĩa như sau:

1.2.5 Ma trận hiệp phương sai

Định nghĩa 1.15 Ma trận hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X, Y

được ký hiệu và được xác định như sau:

trong đó ( ) (( ) ( )) ̅̅̅̅̅

Vì ( ) ( ) nên là ma trận đối xứng

Mặt khác, ( ) ( ) nên các phàn tử trên đường chéo chính của là phương sai của các biến ngẫu nhiên

1.3 Một số phân bố đƣợc xét trong khoá luận

√

( )

1.3.3 Phân bố Student T(n)

Định nghĩa 1.19 Biến ngẫu nhiên liên tục T có phân bố Student n

bậc tự do, ký hiệu T~T(n), nếu hàm mật độ xác suất có dạng:

( ) (

)

1.4 Một số khái niệm trong phân tích và định giá tài sản

1.4.1 Tài sản và các đặc trưng cơ bản

1.4.1.1 Lợi suất tài sản

Ta xét một tài sản trong một chu kỳ nắm giữ và gọi (t-1), t là thời điểm đầu, cuối chu kỳ Ký hiệu St-1, St là giá tài sản tại thời điểm tương ứng

Hình 1 3 Đồ thị hàm mật độ của

phân bố chuẩn tắc N(0, 1)

Định nghĩa 1.21 Lợi suất trong một chu kỳ [t-1, t] của tài sản ký

hiệu: rt được định nghĩa:

1.4.1.2 Lợi suất kỳ vọng và độ dao động của tài sản

Định nghĩa 1.21 Lợi suất kỳ vọng của tài sản trong một chu kỳ nắm

giữ ký hiệu ̅ là kỳ vọng toán của biến rt, như vậy ̅ ( )

Định nghĩa 1.22 Nếu là phương sai của biến ngẫu nhiên rt khi đó

độ lệch chuẩn gọi là độ dao động trong một chu kỳ của tài sản Độ dao động của tài sản phản ánh mức độ rủi ro của tài sản

1.4.2 Danh mục và các đặc trưng cơ bản

1.4.2.1 Khái niệm

Định nghĩa 1.22 Khi liệt kê các vị thế của nhà đầu tư đối với tài sản ta

được một danh sách gọi là danh mục đầu tư của nhà đầu tư

Giả sử với số tiền X ban đầu, trong chu kỳ [t-1, t] nhà đầu tư mua và nắm giữ danh mục P gồm N tài sản vói số lượng ki đơn vị tài sản i (i= ̅̅̅̅̅)

Ký hiệu là giá trị tài sản i tại thời điểm t-1, t khi đó ta có thể tính giá trị của danh mục P tại t-1, t ký hiệu như sau

Đặt ( ̅̅̅̅̅) khi này wi sẽ là tỉ trọng giá trị tài sản i trong danh mục đầu tư và gọi là tỉ trọng đầu tư tài sản i của nhà đầu tư; ta có

∑

Khi nói đến danh mục đầu tư người ta chỉ quan tâm đến wi do đó danh mục đầu tư gồm N tài sản có thể xem là vectơ N chiều P:

(w1,w2,…,wi,…,wN) với điều kiện

∑

1.4.2.2 Lợi suất của danh mục

Định nghĩa 1.23 Lợi suất danh mục P trong chu kỳ ký hiệu rp được định nghĩa:

∑

1.4.2.3 Lợi suất kỳ vọng và độ dao động của danh mục

Định nghĩa 1.24 Lợi suất kỳ vọng của danh mục ký hiệu ̅ là:

̅ ∑ ̅

với ̅ là lợi suất kỳ vọng của tài sản i

Định nghĩa 1.25 Độ lệch chuẩn của rP ký hiệu gọi là độ dao động của danh mục được tính:

√ trong đó W’=(w1,w2,…,wi,…,wN) (vectơ dòng), [ ( )] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

1.5 Chuỗi thời gian

Chuỗi thời gian là một tập hợp các quan sát của một hay nhiều biến được sắp xếp theo thứ tự thời gian Chuỗi thời gian có thể có các tần suất khác nhau ví dụ như theo năm, quý, tháng, tuần, ngày, giờ,… Các ví dụ về chuỗi thời gian phổ biến trong kinh tế - tài chính bao gồm tổng sản phẩm quốc nội (GDP), chỉ số tiêu dùng (CPI), cung tiền (M2), chỉ số chứng khoán

(VN-index), doanh số bán lẻ,…

Chuỗi thời gian thường được kí hiệu với chỉ sô dưới t Ví dụ, nếu gọi y

là GDP của Việt Nam trong giai đoạn 2001-2012 thì chuỗi số này được kí hiệu như sau:

t

y với t = 1, 2, …,T trong đó t = 1 với năm 2001, t = 2 với năm 2002 và t = 12 với năm 2012 biến trễ s thời kỳ với y t được ký hiệu là y t s Phân tích số liệu chuỗi thời gian thường phức tạp vì các quan sát kinh tế hoặc tài chính thường phụ thuộc lẫn nhau theo thời gian Tức là, giá trị quan sát được của một biến tại thời điểm bất kỳ nào đó thường phụ thuộc vào giá trị của chính nó trong quá khứ

Do vậy, bên cạnh những quy tắc chung của một mô hình kinh tế lượng, các hồi quy áp dụng với chuỗi thời gian cần phải tính đến đặc điểm này Ngoài

ra, do các chuỗi số liệu theo thời gian thường tuân theo những quy luật mùa

vụ hoặc thể hiện xu hướng dài hạn nhất định nên việc xử lý số liệu là điều cần thiết trước khi đưa vào các mô hình ước lượng

Mục tiêu của việc phân tích chuỗi thời gian là phải chỉ ra được các đặc tính của chuỗi số liệu, xác định được những xu hướng nhất định theo thời gian và những thành phần có thể dự báo Tiếp theo, chúng ta có thể mong muốn thực hiện kiểm định các giả thuyết kinh tế-tài chính, ví dụ như liệu hai chuỗi cung tiền và lạm phát có quan hệ với nhau hay không, và nếu có thì

quan hệ như thế nào Mục tiêu cuối cùng, và có lẽ là quan trọng nhất, của phân tích chuỗi thời gian đó là dự báo Tuy nhiên, thật không may, ngay cả các mô hình chuỗi thời gian hiện đại và phức tạp nhất cũng thường xuyên đưa ra các dự báo sai

Một chuỗi thời gian có xu hướng dài hạn không tăng cũng không giảm

thì chuỗi đó được gọi là chuỗi dừng theo giá trị trung bình

1.6 Tính dừng của chuỗi thời gian

Định nghĩa 1.26 Một chuỗi thời gian y t được gọi là dừng với mọi t nếu nó đồng thời thỏa mãn 3 điều kiện sau:

i) E y( )t    (trung bình cố định và hữu hạn)

V y E u     (phương sai cố định và hữu hạn)

iii) Cov y y( ,t t k ) E y( t   )(y t k   )  k (hiệp phương sai độc lập với thời gian, chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian k)

1.7 Nhiễu trắng

Tính dừng của một giả định yếu hơn so với giả định về phân phối chuẩn Tuy nhiên, hồi quy với các chuỗi dừng thường cho ta các thống kê đáng tin cậy Khi số quan sát tăng lên thì độ tin cậy càng lớn Do vậy, sai số

ut trong phương trình hồi quy chuỗi thời gian không nhất thiết phải tuân theo phân phối chuẩn miễn là mẫu quan sát đủ lớn Thay vào đó, ut được giả định

là nhiễu trắng (white noise) Nói một cách chính xác, ut là nhiễu trắng khi nó đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

i) Trung bình bằng không, E u t  0

ii) Phương sai không đổi,    2 2

V u E u   iii) Hiệp phương sai bằng không, E u u t s  0 với ts

Có thể thấy nhiễu trắng là một trường hợp đặc biệt của chuỗi dừng Các điều kiện này hàm ý rằng, chúng ta không thể dự báo được nhiễu trắng từ

những giá trị trong quá khứ của chính nó Nếu ut có tự tương quan thì điều đó

có nghĩa là còn có những thông tin ẩn chứa trong ut mà chúng ta có thể khai thác để cải thiện các mô hình hồi quy

khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan

Một trong những cách đơn giản để kiểm định tính dừng là dùng hàm tự

sau:

Cov( , ) ( )

1.8 Mô hình tự hồi quy AR

Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng như sau:

Y   Y  Y   Y u trong đó ut là nhiễu trắng

Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là nghiệm của phương trình đặc trưng nằm trong vòng tròn đơn vị

1.10 Quá trình trung bình trƣợt và tự hồi quy ARMA

Cơ chế để sản sinh ra Y không chỉ là AR hoặc MA mà có thể kết hợp

cả hai yếu tố này Khi kết hợp cả hai yếu tố, mô hình được gọi là mô hình trung bình trượt tự hồi quy ARMA Yt là quá trình ARMA(1,1) nếu Y có thể

biểu diễn dưới dạng:

Chương 2

MÔ HÌNH VAR VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Giới thiệu về rủi ro tài chính

2.1.1 Rủi ro tài chính

Định nghĩa 2.1 Rủi ro tài chính (Financial Risk) được quan niệm là

hậu quả của sự thay đổi, biến động không lường trước được của giá trị tài sản hoặc giá trị các khoản nợ đối với các tổ chức tài chính và nhà đầu tư trong quá trình hoạt động tài chính

2.1.2 Phân loại rủi ro tài chính

Tuỳ thuộc vào nguyên nhân và ngồn gốc gây ra rủi ro ta có thể phân loại các hình thức, loại hình rủi ro tài chính sau:

+ Rủi ro thị trường: rủi ro phát sinh do sự biến động về giá cả trên thị trường tài chính

+ Rủi ro thanh khoản: do tính thanh khoản các tài sản không được thực hiện + Rủi ro tín dụng: do đối tác trong hoạt động tín dụng không có khả năng thanh toán

+ Rủi ro hoạt động: do con người hoặc do kỹ thuật gây ra các sự cố + Rủi ro pháp lý: do các giao dịch không đúng pháp luật

Khi đề cập đến rủi ro tài chính người ta thường quan tâm đến rủi ro thị trường, rủi ro thanh khoản và rủi ro tín dụng Trong khoá luận ta sẽ xét rủi ro thị trường

2.2 Giới thiệu về mô hình VaR

2.2.1 Nguồn gốc ra đời và phát triển

Thuật ngữ giá trị rủi ro (Value at Risk - viết tắt là: VaR) đã được sử dụng rộng rãi và thực sự trở thành một khái niệm quan trọng trong khoa học kinh tế từ sau sự kiện thị trường chứng khoán sụp đổ năm 1987