Khoá luận tốt nghiệp mô hình var và ứng dụng

Sự đổ vỡ tài chínhcủa các ngân hàng, các tập đoàn đầu tư lớn này đã làm cho rủi ro thị trường trởthành mối quan tâm hàng đầu của các nhà hoạch định, giới đầu tư và các nhà làmluật.. Chín

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LIỄU

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chỉnh của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dân đế

em có thế hoàn thành khoá luận này.

Em cũng xỉn bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thế các thầy cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quả trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2015

1.2.5 Ma trận hiệp phương sai 11

1.3 Một số phân bố được xét trong khoá luận 1.3.1 Phân bố

chuẩn N(|I, ơ2 )

1212

1.4 Một số khái niệm trong phân tích và định giá tàỉ sản 13

2.2.4

2.2.5

2.2.6 MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

2.2.7 Hội nhập kinh tế và toàn cầu hoá là xu thế phát triển hiện nay trên thếgiới Thị trường tài chính của mỗi quốc gia vừa chịu sự tác động của thị trường tàichính toàn cầu, vừa là bộ phận không thể tách rời của thị trường tài chính toàn cầu

2.2.8 Sự tiến bộ vượt bậc về mặt khoa học, công nghệ đã mở ra nhiều cơhội đầu tư tài chính song rủi ro và thách thức đi kèm không nhỏ Sự đổ vỡ tài chínhcủa các ngân hàng, các tập đoàn đầu tư lớn này đã làm cho rủi ro thị trường trởthành mối quan tâm hàng đầu của các nhà hoạch định, giới đầu tư và các nhà làmluật

2.2.9 Đe kiểm soát hiệu quả rủi ro tài chính, yêu cầu bức thiết phải hìnhthành một phương pháp khoa học nhằm lượng hoá dự báo mức độ tổn thất tài chính

có the xảy ra Vượt lên cách tiếp cận truyền thống về đo lường rủi ro tài chính,thước đo Giá trị rủi ro (Value at Risk - VaR) đã nhanh chóng được Ưỷ ban Baselxem là thước đo chuấn mực và là cơ sở xác định vốn an toàn rủi ro đối với rủi ro tàichính

2.2.10 Đối với Việt Nam, trong những năm gần đây, thị trường chứng khoánđang hoạt động cực kỳ sôi động, những công ty chứng khoán mọc lên như nấmcùng với sự ra đời của rất nhiều các loại cổ phiếu mới Thị trường chứng khoáncũng là nơi mà các nhà đầu tư gặp gỡ trao đổi kinh nghiệm và tìm kiếm những cổphiếu tốt nhất để khi bán ra thu về mức lợi nhuận cao nhất Chính vì vậy đã thúcđẩy các nhà đầu tư tìm ra một mô hình để đánh giá mức độ rủi ro của từng cố phiếuhay mức thiệt hại mà nhà đầu tư có thế gặp phải khi đầu tư vào chứng khoán đótrong một khoảng thời gian nhất định với một mức lãi suất nhất định Từ đó môhình VaR được sử dụng tại Việt Nam

5

2.2.11 Đe hiểu rõ hơn về mô hình VaR và ứng dụng của nó trong thị trườngtài chính, em đã lựa chọn đề tài: “Mô hình VaR và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cún

2.2.12 Nghiên cứu mô hình VaR và một số ứng dụng của nó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cún

- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình VaR

- Phạm vi nghiên cứu: các dạng mô hình VaR và ứng dụng cụ thế của nótrong một số bài toán kinh tế

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp so sánh, phân tích, tổng họp

- Phương pháp đánh giá

5 Cấu trúc khoá luận

2.2.13 Nội dung khoá luận bao gồm 2 chương:

- Chương 1 Một số kiến thức liên quan

- Chương 2 Mô hình VaR và ứng dụng

2.2.14 Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi nhữngsai sót Em mong nhận được sự góp ý và ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn Xin chân thành cảm ơn!

6

2.2.15 NỘI DƯNG Chương 1 KIẾN THỨC CHƯẲN BỊ

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên một chiều

2.2.16 Định nghĩa 1.1 Cho (Q, F, P) là một không gian xác suất Neu X là một ánh xạ đo được từ Q vào R thì X được gọi là M Ộ T B I Ế N N G Ẫ U N H I Ê N (hoặc một đại lượng ngẫu nhiên)

2.2.17 Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên Q sao cho với mỗi JCGM thì Ịứ;eQ:X(ứ/)<;tỊe F

2.2.18 Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được

ký h i ệ u và xác định như sau: FxO ) = P { í y : X O ) < x } , x e M

2.2.19 Như vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất p lênlóp các khoảng (-0 0,*) của đường thẳng thực M Đe cho gọn ta sẽ ký hiệu F( X) = P(X <X ),X G R

1.1.2 Biển ngẫu nhiên hai chiều

1.1.2. ĩ Định nghĩa

2.2.20 Trong nhiều trường hợp chúng ta cần xét các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian 2-chiều, tức là xét các điểm ngẫu nhiên trên mặt phang.2.2.21 Định nghĩa 1.3 Cho không gian xác suất (Q, F, P) và hai biến ngẫu nhiên X và Y xác định trên nó Khi đó hệ V =(X,Y) được gọi là một biến ngẫu nhiên 2-chiều, tức là V là một ánh xạ từ Q vào R 2 sao cho vớimỗi C O E Q thì V ( Ứ ? ) = ( X ( Ứ ? ) , Y ( Ứ > ) )

1

1.1.2.2 Hàm phân phối xác suất

2.2.22 Định nghĩa 1.4 { H À M P H Â N P H Ố I Đ Ồ N G T H Ờ I) Hàm phân phối xác suất đồng thời của một biến ngẫu nhiên 2-chiều V = ( X , Y ) được định nghĩa như sau:

2.2.27 F(y,+oo) = P(Y < y) = F 2 (y)

2.2.28.là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng X và

Y Các hàm này gọi là các H À M P H Â N P H Ố I B I Ê N của V

1.1.2.3 Sự độc lập của hai biến ngâu nhiên

2.2.29 Định nghĩa 1.6 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập với nhau nếu:

2.2.30 F(x,y) = F x (x)F 2 (y) (-oo<x, j<+oo).

1.1.3 Biến ngẫu nhiên nhiều

chiều ỉ ỉ.3.1 Định nghĩa

2.2.31 Định nghĩa 1.6 Cho XPX2, ,X„ là các biến ngẫu nhiên 1-chiều được2.2.32.xác định trên không gian xác suất (Q, F, P) Nhờ các biến ngẫu nhiên này,với mỗi ®gQ, ta có thể làm phép tương ứng với một điểm X{ CO ) = (X Ị (CO ),X 2 ( C O ), ,X N ( C Ơ)) c ủ a k h ô n g g i a n ơ - c ơ - l í t / 7 - c h i ề u

2.2.33 Á n h x ạ Q ^ I R " l ậ p b ở i c á c b i ế n n g ẫ u n h i ê n

nhiên «-chiều

8

1.1.3.2 Hàm phân phối xác suất

2.2.34 Định nghĩa 1.7 ( H À M P H Â N P H Ố I X Á C S U Ấ T Đ Ồ N G T H Ờ I ) Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên N-chiều được định nghĩa như sau:

2.2.35 F(*1,jc2, ,xJ = />[(X, <*,)(x2 <*2) (x„ <*„)] với (-0 0< X < +0 0) ( I

= \ , N )

2.2.36 Định nghĩa 1.8 (Các hàm phân phối biên)

• Hàm phân phối biên của một biến Hàm

phân phối xác suất của biến X Ị là

2.2.44 Định nghĩa 1.9 Các biến ngẫu nhiên X I ,X 2 , ,X N được gọi là độc lập2.2.45 nếu tại mọi điểmcủa ta đều có:

2.2.46 F(x,,x 2 = F,o,)F 2 ( X 2 ) F n (x n ).

1.2 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.2.1 Kỳ vọng

2.2.47 Định nghĩa 1.10 ( K Ỳ V Ọ N G T O Á N C Ủ A B I Ế N N G Ẫ U N H I Ê N

M Ộ T C H I Ề U ) Trên không gian xác suất (Q, F, P) cho biến ngẫu nhiên X có

hàm phân phối xác suất F(x) Kỳ vọng toán của X là một số ký hiệu là E(X) vàđược định nghĩa như sau:

2.2.48 £(X) = JjtdFU)

2.2.49 n2.2.50.với giả thiết là J|*|í/F(jt) tồn tại

9

2.2.51 Q2.2.52 Định nghĩa 1.11 { K Ỳ V Ọ N G T O Á N C Ủ A H À M H A I B I Ế N

N G Â U N H I Ê N ) Neu R = Ọ { X , Y) trong đó X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì

2.2.53 khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc, và

2.2.54 khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất đồng thời là

1.2.2 Phương sai

2.2.55 Định nghĩa 1.12 Phương sai (variance) hay độ lệch (deviation)

bình phương trung bình của biến ngẫu nhiên X là đại lượng đo sự phân tán bìnhphương trung bình của X xung quanh giá trị trung bình E X

2.2.56 Phương sai của X được ký hiệu là D X hoặc varX và định nghĩa như sau:2.2.57 DX = ịi2= ơ2ự) = E[X - Eự) ] 2

2.2.62 Định nghĩa 1.13 Độ lệch chuấn của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu

ơx và xác định như sau

2.2.63 =VDX

2.2.64 Trong thống kê, độ lệch chuẩn, hay độ lệch tiêu chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu đã được lập thành bảng tần số

1.2.4 Hiệp phương sai

2.2.65 Định nghĩa 1.14 Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X

và Y được ký hiệu là cov(X,Y) và được định nghĩa như sau:

2.2.66 cov(X,y) = K ( X J ) = E { [ X - E ( X ) ] [ Y -E(Y)]} = M u

10

^\xị — E ( X ) ] 2 P ( X ị ) v ớ i X r ờ i r ạ c

i

= •/ +00

2.2.67 -£№][}•,-EO')]}/’

2.2.68 i j

2.2.69 1 J{[jc- E ( X )][}- E ( Y ) ] } f ( x , y ) d x d y

2.2.70.—QO —oo

1.2.5 Ma trận hiệp phương sai

2.2.71 Định nghĩa 1.15 Ma trận hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X,

Y được ký hiệu Z Y và được xác định như sau:

p { x < v a } < a < p { x < v a }

Nghĩa là F x (v a - 0) < a <Fỵ(v a )

1.3 Một số phân bố được xét trong khoá luận

1.3.1 Phân bố chuẩn N(ju, ơ 2 )

2.2.91 Định nghĩa 1.17 Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố chuẩn NO;ơ2), ký hiệu X ~ N(n;ơ2), nếu hàm mật độ xác suất có dạng

V 27T2.2.108 Hàm phân bố xác suất của N(0;1)

2.2.109 X

2.2.110 1 f _t± m = ụ= J e 2 dt

1

12

ф(л-г2.2.112.2.2.113.2.2.114.2.2.115.2.2.116.2.2.117.2.2.118.2.2.119.2.2.120.2.2.121

-►

2.2.122.2.2.123.2.2.124.2.2.125

H Ì N H Ỉ 3

Đồ thị hàm mật

độ c ủ a Dhân bố chuẩn tắc N(0 П

1.3.3 P hân bố Student T(/ĩ)

2.2.126

Đ ịnh nghĩ

a 1.19.

а

о

Biến ngẫ

u nhiê

n

liên

tục

T có phâ

n bố Stud ent

T ~ T(/z), nếu hàm mật

độ xác suất

phân

tích và định

giá tài sản

1.4.1 T

ài sản

và các đặc

trưng

cơ bản

ợi suất tài sản

2.2.130.T

giữ

và gọi (t-1),

t là thời điểmđầu, cuối chu

kỳ

Ký hiệu

st_i , st

là giá tài sản tại thời điểmtươn

g ứng

2.2.131 Định nghĩa 1.21 Lợi suất trong một chu kỳ [t-1, t] của tài sản

ký hiệu: rt được định nghĩa:

2.2.132

1.4.1.2 Lợi suất kỳ vọng và độ dao động của tài sản

2.2.133 Định nghĩa 1.21 Lợi suất kỳ vọng của tài sản trong một chu

kỳ nắm g i ữ k ý h i ệ u F T l à k ỳ v ọ n g t o á n c ủ a b i ế n rt, n h ư v ậ y F T = E( R T ).

2.2.134 Định nghĩa 1.22 Neu ơ2là phương sai của biến ngẫu nhiên rt

khi đó độ lệch chuấn gọi là độ dao động trong một chu kỳ của tài sản Độ dao động

Ơ c ủ a t à i s ả n p h ả n á n h m ứ c đ ộ r ủ i r o c ủ a t à i s ả n

1.4.2 Danh mục và các đặc trung cơ bản

1.4.2.1 Khái niệm

2.2.135 Định nghĩa 1.22 Khi liệt kê các vị thế của nhà đầu tư đối với

tài sản ta được một danh sách gọi là danh mục đầu tư của nhà đầu tư

2.2.136 Giả sử với số tiền X ban đầu, trong chu kỳ [t-1, t] nhà đầu tưmua và nắm giữ danh mục p gồm N tài sản vói số lượng kị đơn vị tài sản i (i=l, N )

Ký hiệu S Ị T - L F S Ị T là giá trị tài sản i tại thời điểm t-1, t khi đó ta có thể tính giá trịcủa danh mục p tại t-1, t ký hiệu V P t _ l f V P t như sau

2.2.146 Khi nói đến danh mục đầu tư người ta chỉ quan tâm đến

Wj do đó danh mục đầu tư gồm N tài sản có thể xem là vectơ N chiều P:

2.2.147 (W],W2, ,Wj, ,WN) với điều kiện

2.2.148 N

2.2.149

Ị>-2.2.150 i = 1

2.2.151 ỉ.4.2.2 Lợi suất của danh mục

2.2.152 Định nghĩa 1.23 Lợi suất danh mục p trong chu kỳ ký

hiệu rp được đ ị n h n g h ĩ a :

2.2.153 V p t ~ V p t -1

2.2.154 ì.4.2.3 Lợi suất kỳ vọng và độ dao động của danh mục

2.2.155 Định nghĩa 1.24 Lợi suất kỳ vọng của danh mục ký hiệu F P

2.2.160 Định nghĩa 1.25 Độ lệch chuấn của rp ký hiệu ơp gọi là

độ dao động của danh mục được tính:

2.2.161 ơp = VW ' V W

2.2.162 trong đó W , =(w 1 ,w 2 ,

1.5 Chuỗi thời gian

2.2.163 Chuỗi thời gian là một tập hợp các quan sát của một haynhiều biến được sắp xếp theo thứ tự thời gian Chuỗi thời gian có thể có các tầnsuất khác nhau ví dụ như theo năm, quý, tháng, tuần, ngày, giờ, Các ví dụ vềchuỗi thời gian phổ biến trong kinh tế - tài chính bao gồm tổng sản phẩm quốc nội(GDP), chỉ số tiêu dùng (CPI), cung tiền (M2), chỉ số chứng khoán (VN-index),doanh số bán lẻ,

2.2.164 Chuỗi thời gian thường được kí hiệu với chỉ sô dưới t Ví dụ,nếu gọi y là GDP của Việt Nam trong giai đoạn 2001-2012 thì chuỗi số này được kíhiệu như sau:

2.2.165.Y , với t — 1,2, ,T trong đó t = 1 với năm

2001, t = 2 với năm 2002 và t = 12 với năm 2012 biến trễ s thời kỳ với Y , được kýhiệu là Ỵt+s Phân tích số liệu chuỗi thời gian thường phức tạp vì các quan sát kinh tếhoặc tài chính thường phụ thuộc lẫn nhau theo thời gian Tức là, giá trị quan sátđược của một biến tại thời điểm bất kỳ nào đó thường phụ thuộc vào giá trị củachính nó trong quá khứ Do vậy, bên cạnh những quy tắc chung của một mô hìnhkinh tế lượng, các hồi quy áp dụng với chuỗi thời gian cần phải tính đến đặc điểmnày Ngoài ra, do các chuỗi số liệu theo thời gian thường tuân theo những quy luậtmùa vụ hoặc thế hiện xu hướng dài hạn nhất định nên việc xử lý số liệu là điều cầnthiết trước khi đưa vào các mô hình ước lượng

2.2.166 Mục tiêu của việc phân tích chuỗi thời gian là phải chỉ rađược các đặc tính của chuỗi số liệu, xác định được những xu hướng nhất định theothời gian và những thành phần có thể dự báo Tiếp theo, chúng ta có thể mongmuốn thực hiện kiểm định các giả thuyết kinh tế-tài chính, ví dụ như liệu hai chuỗicung tiền và lạm phát có quan hệ với nhau hay không, và nếu có thì quan hệ nhưthế nào Mục tiêu cuối cùng, và có lẽ là quan trọng nhất, của phân tích chuỗi thời

gian đó là dự báo Tuy nhiên, thật không may, ngay cả các mô hình chuỗi thời gianhiện đại và phức tạp nhất cũng thường xuyên đưa ra các dự báo sai.

2.2.167 Một chuỗi thời gian có xu hướng dài hạn không tăng cũng không giảm t h ì c h u ỗ i đ ó đ ư ợ c g ọ i l à c h u ỗ i D Ừ N G t h e o g i á t r ị

t r u n g b ì n h

1.6 Tính dừng của chuỗi thòi gian

2.2.168 Định nghĩa 1.26 Một chuỗi thời gian Y T được gọi là dừng

với mọi t nếu nó đồng thời thỏa mãn 3 điều kiện sau:

i) E { Y T ) = J U < 0 0 (trung bình cố định và hữu hạn)

iii)C O V { Y T , Y T _ K ) = E { Y T - Ụ ) { Y T _ K - F U ) = Ỵ k(hiệp phương sai độc lập với thờigian, chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian k)

1.7 Nhiễu trắng

2.2.170 chuấn Tuy nhiên, hồi quy với các chuỗi dừng thường cho ta các

2.2.171 đáng tin cậy Khi số quan sát tăng lên thì độ tin cậy càng lớn Dovậy, sai số ut trong phương trình hồi quy chuỗi thời gian không nhất thiết phải tuântheo phân phối chuẩn miễn là mẫu quan sát đủ lớn Thay vào đó, ut được giả định lànhiễu trắng (white noise) Nói một cách chính xác, ut là nhiễu trắng khi nó đồngthời thỏa mãn các điều kiện:

i) Trung bình bằng không, £[«,] = 0

ii) Phương sai không đổi, Var ( Ut) = E \ U T ] 2 = Ơ L

iii) Hiệp phương sai bằng không, E [ U T U S ] = 0 với T * S

2.2.172 Có thể thấy nhiễu trắng là một trường hợp đặc biệt của chuỗi dừng Các điều kiện này hàm ý rằng, chúng ta không thể dự báo được nhiễu trắng từ

2.2.173 những giá trị trong quá khứ của chính nó Neu ut có tự tương quan thìđiều đó có nghĩa là còn có những thông tin ấn chứa trong ut mà chúng ta có thể khaithác để cải thiện các mô hình hồi quy

2.2.181 khi đó xảy ra hiện tượng tự tương quan

2.2.182 Một trong những cách đơn giản để kiểm định tính dừng làdùng H À M T Ự T Ư Ơ N G Q U A N ( A C F ) ACF với độ trễ k, kí hiệu bằng P K, đ ư ợ cxác định như sau:

2.2.183.A C F ( k ) C o v i Y Y )

2.2.184 k Var (Y t )

1.8 Mô hình tự hồi quy AR

2.2.185 Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng như sau:

2.2.186.Y t = $)+^-i + &2 Y t-2 + - + <f>p Y ,-p +u t

trong đó u t là nhiễu trắng.

2.2.187 Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là nghiệm của phươngtrình đặc trung nằm trong vòng tròn đơn vị.

1.9 Quá trình trung bình trượt MA

2.2.188 Quá trình trung bình trượt - MA(q) - bậc q là quá trình

có dạng: Y T =U Í +Ỡ ] U T _ ] + + Ỡ P Y T _ Q , t = l , 2 ,2.2.189 trong đó ut là nhiễu trắng

2.2.190 Điều kiện để chuỗi có khả nghịch là: -1<6Ị <1, i = 1, 2, q,

hay2.2.191 nghiệm của phương trình đặc trưng nằm trong vòng tròn đơn vị

1.10 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARMA

2.2.192 Cơ chế đế sản sinh ra Y không chỉ là AR hoặc MA mà có thế kết

họp2.2.193 cả hai yếu tố này Khi kết họp cả hai yếu tố, mô hình được gọi là môhình trung bình trượt tự hồi quy ARMA Yt là quá trình ARMA(1,1) nếu Y có thểbiểu diễn dưới dạng: