Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , C biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có bán kính đường tròn nộ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
Môn thi: TOÁN – Khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2 , 1
x y x
có đồ thị là ( ) C
1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị ( ) C
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ), C biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của ( ) C một tam
giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
1 (tan cot 2 1)sin(4 ) (sin cos ).
2 Giải hệ phương trình
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2 1
1 1
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC ' là hình chóp tam giác đều, AB a Gọi là góc giữa mặt phẳng ( ' A BC ) và mặt phẳng ( ' ' C B BC ) Tính theo a thể tích khối chóp A BCC B ' ' ',
biết
1 3
c os
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c , , Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2
3 2
a b b c c a
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B.
A Theo chương trình cơ bản
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip
2 2 ( ) : 1.
8 2
Viết phương trình đường thẳng d cắt ( ) E tại
hai điểm phân biệt có toạ độ là các số nguyên.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 12 2, đỉnh A thuộc trục Oz, đỉnh C thuộc mặt phẳng Oxy , hai đỉnh B và D thuộc đường thẳng
1 :
và B có hoành độ
dương Tìm toạ độ A B C D , , ,
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn
7
2
z z
z
Tính
2
z i
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( ) : ( C1 x 1)2 ( y 2)2 5 và
2
( ) : ( C x 1) ( y 3) 9 Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) C1 và cắt ( ) C2 tại hai điểm A, B thoả mãn AB 4.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
:
và mặt phẳng
( ) : P x 2 y z 3 0 Viết phương trình đường thẳng thuộc (P), vuông góc với d và có khoảng cách giữa d và bằng 2.
Trang 2y' + +
1
1
y
x O
2
2
–1 1
Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm m để hàm số x 2 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối A,B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
m
I
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm) Khảo sát…
Tập xác định D \ { 1}. Ta có: 2
3
( 1)
x
Giới hạn: lim lim 1; lim1 , lim1
x y x y x y x y
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1),( 1; Hàm số không có cực trị.).
0,25
Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến …
Phương trình tiếp tuyến d có dạng
0 0 2
2 3
x
(x là hoành độ tiếp điểm).0
Gọi I là giao hai tiệm cận; A và B là giao của d với hai tiệm cận
Ta có
0
0 0
5 ( 1;1), ( 1; ), (2 1;1)
1
x
x
0,25
0 0
6
1
x
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi IA IB x0 1 3
0,25
Trang 3A B
C
O
C’
I•
M
•
Câu
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: y x 2 2 3 và y x 2 2 3. 0,25 II
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm) Giải phương trình
Điều kiện: sin 2x Phương trình đã cho tương đương với0.
2 2
sinx.cos 2 sin 2 cos 1
os4 (1 2sin os )
2
2
os4 1 sin 2
(1 ) os 2 7 os 2 os2 5 0
Đặt t c os2 , 1x t 1. Ta có phương trình t3 7t2 t 5 0 t {1;3 14;3 14}, đối
chiếu điều kiện ta được
1
3 14 arccos(3 14) ,
2
2 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình ……
Hệ đã cho tương đương với
0,25
Th1: y 0 x 0.
Th2: y đặt 0,
x
y
thay vào hệ:
2 2
(2 1) (3 ) (1) ( 3) ( 2) (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta được:
3 7 3 7 0 { 1;1; }
3
Hệ có bốn nghiệm
7 3 (0;0);(1;1);( 1;1);( ; )
43 43
III
(1,0 điểm)
Tính tích phân………
1
Đặt t x1,
1
2 2
I x x dxt t tdt
Vậy
8 3 4 2 26
5 15 15
0,50
IV
(1,0 điểm)
Tính thể tích khối chóp …
Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lần lượt là trung điểm
BC và B’C’
Ta có
2 2
3
A O ABC A M AI A I x IM x
0,25
( ' ), '
A I BC
suy ra A IM' hoặc 180o A IM' . 0,25
Trang 44 2 2 4
2
2
x
3
TH1: 180o A IM' , ta có:
2
2
x
3
0,25
V
(1,0 điểm)
Chứng minh rằng…
Giả sử xmax{ , , }x y z x1;yz Khi đó:1.
2
y z yz
0,25
VT
Đặt
x
2 2 1
1
t
f t
t
, suy ra ( )f t
đồng biến trên
1 (0; ],
2 do đó
( ) ( )
f t f
Vậy
3 2
VT
Dấu bằng xảy ra khi a b c .
0,25
VI.a
(2,0 điểm) 1 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng cắt elip…
Gọi M x y( ; ) ( ), E với x¢,y¢ Ta có:.
2
2
8 2
y
Kết hợp với y ¢ ta được {0;1; 1}., y
0,25
Với y ta được 0, x 8 ¢ (loại); với y ta được 1, x 2 0,25
Bốn điểm thuộc (E) có toạ độ nguyên là M1(2;1);M2(2; 1); M3( 2;1); M4( 2; 1). 0,25
Có 6 đường thẳng thoả mãn là: x2;x2;y1;y1;x 2y0;x2y0. 0,25
2 (1,0 điểm) Tìm toạ độ A, B, C, D.
Gọi (0;0; ); ( ; ;0).A a C b c Ta có: AC( ; ;b c a ),
uuur
d có vectơ chỉ phương u r (1;1;2), toạ độ
trung điểm I của AC là ( ; ; ).2 2 2
b c a
Ta có
I d
uuur r
do đó (0;0;2); (2;2;0)A C và (1;1;1).I
0,25
Diện tích hình thoi
1 12 2, 2
S AC BD
mà AC 2 3 suy ra BD4 6 IB2 6 0,25
( ; ; 1 2 ), 0
B d B t t t t Khi đó: IB2 6 t 3 B(3;3;5); ( 1; 1; 3).D 0,25 VII.a
(1,0 điểm)
Tính môđun ……
Điều kiện z Từ giả thiết ta có: 2. z2 2z 5 0 (1). 0,25
Trang 52
4 20 16 (4 ) ;i
phương trình (1) có nghiệm z 1 2i và z 1 2 i 0,25
Với z 1 2 ,i ta được:
z i
Với z 1 2 ,i ta được:
1 4
1 3 1 3 10
i
VI.b
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng….
1
( )C có tâm I1(1; 2) và bán kính R 1 5; (C có tâm 2) I 2( 1; 3) và bán kính R 2 3
Gọi h d I ( ; ),2 ta có: AB2 R22 h2 h 5 (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra song song với I I hoặc 1 2 đi qua trung điểm
5 (0; ) 2
của I I 1 2 0,25
Vì M nằm trong ( )C nên không xảy ra khả năng 1 qua M, do đó / /I I1 2, suy ra phương trình có dạng x 2y m khi đó: 0, 1
5
5
m
2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng thuộc (P) và vuông góc với d….
(2;1;1);
d
u uur
( )P (1;2; 1),
uuur
do đó có vectơ chỉ phương là ( )
1 , (1; 1; 1)
3 P d
u n u
uur uuur uur
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và song song với d, ta có: ( )
1 , (0;1; 1)
3
n u u
uuur uur uur
Phương trình (Q): y z m Chọn 0. A(1; 2;0) d,ta có:
d A Q m m
0,25
Với m vì 0, ( ) ( )P Q nên đi qua B (3;0;0), phương trình
3
Với m vì 4, ( ) ( )P Q nên đi qua C (7;0;4), phương trình
VII.b
(1,0 điểm)
Tìm m để hàm số
Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số không cắt trục hoành khi và chỉ khi phương trình x2mx m vô nghiệm0 0,50
………….Hết………….
