Phép đối hợp trên đường thẳng xạ ảnh và đường ôvan

Lời nói đầuQua việc nghiên cứu phép biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là phép biến đổixạ ảnh đối hợp và các tính chất của nó, thấy rằng nếu vận dụng khéo léo cáctính chất đó và sử dụng thành thạ

Môc lôc

Lời nói đầu

Qua việc nghiên cứu phép biến đổi xạ ảnh, đặc biệt là phép biến đổixạ ảnh đối hợp và các tính chất của nó, thấy rằng nếu vận dụng khéo léo cáctính chất đó và sử dụng thành thạo mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít thìgiải quyết một số bài toán hình học sơ cấp một cách rất hiệu quả Nội dungcủa khoá luận này chủ yếu khảo sát một số tính chất của phép biến đổi xạ

ảnh trên đờng thẳng và đờng ôvan, đồng thời sử dụng các tính chất đó và môhình xạ ảnh của không gian Ơclít để làm sáng tỏ một số bài toán hình học sơcấp

Khoá luận đợc trình bày thành 3 mục chính:

Đ1 Các kiến thức cơ bản

Mục này đa ra một số kiến thức phục vụ cho Đ2, Đ3 nh tính chất của

tỷ số kép, định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh

Đ2 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và đờng ôvan

Mục này đa ra khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờngthẳng và đờng ôvan, một số tính chất về điểm bất động và sự xác định mộtphép đối hợp của đờng thẳng

Đ3 Vận dụng ánh xạ đối hợp để giải các bài toán sơ cấp

Mục này đa ra các bài toán sơ cấp rồi dùng mô hình xạ ảnh của khônggian Ơclit và các tính chất của phép đối hợp để giải

Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới

sự hớng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này,tôi xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy,cô giáo trong khoa - trờng đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và rènluyện tại trờng Đại học Vinh

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực nên khoá luận khôngtránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự đánh giá, phê bình và góp ý củacác thầy, cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn

Vinh, ngày 3 tháng 5 năm 2002.

Sinh viên: Phan Thị Lệ Giang

Đ1 Một số kiến thức cơ bản

1.1 Định nghĩa không gian xạ ảnh.

Vn (n  1) là không gian vectơ n chiều trên trờng K Kí hiệu [Vn] làtập tất cả các không gian con một chiều của Vn.

là một vectơ đại diện cho điểm A.

Hai vectơ đại diện cùng một điểm thì cộng tuyến

1.2 Định nghĩa phẳng trong không gian xạ ảnh.

Cho không gian xạ ảnh (P, p, V n  1), Vm+1 là không gian con của V n  1

Tập hợp p([V m  1]) P gọi là một m - phẳng hoặc phẳng m - chiều

của P kí hiệu Pm, Pm = p([Vm+1]) là một không gian xạ ảnh m - chiều

0 - phẳng là một điểm, 1- phẳng là một đờng thẳng, 2 - phẳng gọi là mặt phẳng, (n - 1) - phẳng gọi là siêu phẳng.

1.3 Hệ điểm độc lập.

Trong không gian xạ ảnh P cho hệ điểm M1, M2, …, M, Mk có hệ vectơ

đại diện tơng ứng là x x xk

, , , 2

Hệ điểm M1, M2, …, M, Mk đợc gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ vectơ đại

diện {xk} là hệ độc lập tuyến tính.

1.4 Mục tiêu xạ ảnh.

Trong không gian xạ ảnh Pn, hệ gồm có n+2 điểm có thứ tự {A1, A2,, A

…, M n+1, E} đợc gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ n +1 điểm trong n+2

sở đại diện của mục tiêu, M  Pn, 

x là một vectơ đại diện của điểm M Khi

đó toạ độ của điểm M đối với mục tiêu {Ai; E} là toạ độ của 

x đối với cơ sở}

1 D C B

[B, A, D, C] = [A, B, C, D]

Tỷ số kép đợc bảo tồn qua ánh xạ xạ ảnh (xem 1.8)

Lu ý: Nếu [A, B, C, D] = -1 thì A, B, C, D đợc gọi là hàng điểm điều

hoà

1.6.2 Tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng.

1.6.2.1 Chùm siêu phẳng.

Trong không gian xạ ảnh Pn, tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một

(n-2) - phẳng đợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là (n-2) phẳng đó.

1.6.2.2 Tỷ số kép của bốn siêu phẳng thuộc một chùm.

Định lý: Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U,

V, W đôi một phân biệt Nếu d là đờng thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại các điểm A, B, C, D (không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của bốn điểm

đó không phụ thuộc vào vị trí của đờng thẳng d.

Tỷ số kép nói trên đợc gọi là tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng, kí

hiệu [U, V, W, Z]

Chứng minh: Xem [2].

Chú ý: Từ định lý trên ta suy ra tỷ số kép của chùm bốn siêu phẳng có

các tính chất tơng tự nh tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng

1.7 Nguyên tắc đối ngẫu.

Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong không gian xạ ảnh Pn Nếutrong mệnh đề đó các từ “r - phẳng” đợc thay bằng các từ “(n - r - 1) -phẳng” còn các từ khác giữ nguyên thì ta đợc mệnh đề mới M*, gọi là mệnh

đề đối ngẫu của M Dĩ nhiên, M cũng là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M*

Ta nói M, M* là cặp mệnh đề đối ngẫu của nhau

Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu với nhau hoặc cùng

đúng hoặc cùng sai

Trong P2, để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các

từ “điểm” bởi các từ “đờng thẳng” và ngợc lại, còn các từ khác giữ nguyên

1.8 ánh xạ xạ ảnh.

1.8.1 Định nghĩa: Cho các không gian xạ ảnh trên trờng K (P, p, V), (P’, p’, V’) ánh xạ f: P  P’ gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính

:VV’ sao cho với mỗi điểm X  P có vectơ đại diện 

x  V thì f(X)

P’ có vectơ đại diện là  (

x)  V’.

1.8.2 Định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh.

Định lý: Cho hai K - không gian xạ ảnh P n và P m (n  m) Trong P n

cho mục tiêu xạ ảnh {A 1 , …, A , A n+2 } trong P m cho n+2 điểm phụ thuộc

1.9 Biến đổi xạ ảnh

1.9.1 Định nghĩa.

Một ánh xạ xạ ảnh f: Pn  Pm là song ánh đợc gọi là đẳng cấu xạ ảnh

Ta có, ánh xạ f: Pn Pm là đẳng cấu  dim Pn = dim Pm

Đẳng cấu xạ ảnh f: Pn  Pn đợc gọi là biến đổi xạ ảnh.

1.9.2 Phơng trình của phép biến đổi xạ ảnh.

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu xạ ảnh {Ai;E}, f:Pn  Pn làphép biến đổi xạ ảnh của Pn Hai cặp điểm tơng ứng X,X’ có toạ độ đối vớimục tiêu trên là X(x1:…, M:xn+1), X’( '

1

x :…, M: '

1

 n

x ) đợc liên hệ với nhau bởi công

j ij j

i a x

kx , i=1,…, M,n+1

A= (aij) là ma trận của phép biến đổi f

1.10 ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và hai chùm đờng thẳng

Tập hợp các điểm thuộc một đờng thẳng gọi là một hàng điểm Trong

P2 cho hai hàng điểm s,s’ Song ánh f: ss’ là một ánh xạ xạ ảnh khi và chỉkhi nó bảo tồn tỉ số kép của 4 điểm bất kỳ trên s

Tập hợp các đờng thẳng trong P2 cùng đi qua một điểm S đợc gọi là

chùm đờng thẳng tâm S, ký hiệu {S} Chùm đờng thẳng là khái niệm đối

ngẫu của khái niệm hàng điểm (trong P2) Do đó một ánh xạ f:{S}{S’| đợcgọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép của 4 đờng thẳng bất kỳ

Định nghĩa: Trong P2 cho hai đờng thẳng phân biệt s,s’ và một điểm

P không thuộc chúng ánh xạ f: ss’ biến mỗi điểm M  s thành điểm M’

= s’  PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s đến s’, P gọi là tâm của f.

Phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm

1.11 Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

Cho Pn (R) là không gian xạ ảnh thực n chiều Lấy một siêu phẳng Wnào đó của Pn (R) thì ta có thể xây dựng tập hợp An = Pn (R)\W thành một môhình xạ ảnh của không gian Afin thực n chiều liên kết với không gian vectơ

Rn Bây giờ ta đa vào không gian vectơ Rn một tích vô hớng thì không gianAfin An trở thành không gian Ơclit En, nói đúng hơn trở thành một mô hìnhcủa không gian Ơclit n chiều

Xét mô hình En = Pn\W, trong đó siêu phẳng W ở vô tận Xét một siêumặt trái xoan ảo (T) có phơng trình đối với mục tiêu xạ ảnh của Pn là:

0 x

2 3 2 2

1

x x

(T) gọi là cái tuyệt đối của không gian Ơclit En

Trong trờng hợp n =2:

- (T) không chứa điểm nào của P2 Nếu xét không gian mở rộng phứccủa P2 thì (T) gồm hai điểm ảo I = (0:1:i), J = (0: 1:-i) Hai điểm đó gọi là

hai điểm xiclic của mặt phẳng Ơclit.

- Hai đờng thẳng trong mặt phẳng Ơclit gọi là vuông góc với nhaukhi và chỉ khi hai điểm vô tận của chúng chia điều hoà hai điểm I,J

- Đờng elip trong mặt phẳng Ơclit là đờng tròn khi và chỉ khi nó điqua hai điểm I,J

Đ2.Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng và

đ-ờng ôvan 2.1 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng thẳng.

2.1.1 Định nghĩa: Cho s là một đờng thẳng trong Pn Phép biến đổi

xạ ảnh f: ss đợc gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (gọi tắt là phép đối hợp) của s nếu f2 = Ids

Nghĩa là với mọi cặp điểm M,M’ tơng ứng đối với f ta đều có f(M)

= M’, f(M’) = M

Giả sử f là phép biến đổi xạ ảnh của s có ma trận của phép biến đổi là

A, biến đổi f gọi là đối hợp khi và chỉ khi có một số k  0 sao cho AA = kI

2.1.2 Định lý: Cho s là một đờng thẳng trong P n Phép biến đổi xạ

ảnh khác đồng nhất f: s  s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M,M sao cho f(M)=M , f(M )=M.’ ’ ’

Chứng minh: Xem [2]

2.1.3 Định lý: Cho s là một đờng thẳng trong P n Nếu f:ss là một

biến đổi xạ ảnh cho bởi phơng trình:

2 1 ' 1

dx cx kx

bx ax kx

thì f là phép đối hợp khác phép đồng nhất của s khi và chỉ khi a+d = 0.

b a

f là biến đổi xạ ảnh đối hợp khi và chỉ khi AA = kI, (k  0)

1 k d

b c

a d

b c

1

2

2

k d bc

bd ab cd ac

bc a

cd ac

bd ab

d

b c bc

0 ) (

0 ) (

d c b d a

c d a

b d a

d a

0





 a d (vì f không phải là phép đồng nhất)

2.1.4 Định lý: (Về điểm bất động của phép đối hợp)

Cho phép đối hợp f:ss của đờng thẳng s khác phép đồng nhất Nếu f

có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa Q khác P, và nếu điểm M của s có ảnh M khác M thì [P,Q,M,M ] =-1’ ’

Chứng minh: Xem [2]

2.1.5 Hệ quả: Nếu f:ss là phép đối hợp khác đồng nhất của đờng

thẳng s thì hoặc f không có điểm bất động nào hoặc có đúng hai điểm bất

động

Nếu f không có điểm bất động nào thì ta gọi là phép đối hợp eliptic Nếu f có hai điểm bất động thì ta gọi là phép đối hợp hypebolic.

2.1.6 Định lý: Cho phép biến đổi xạ ảnh f:ss của đờng thẳng s, A

là ma trận của phép biến đổi Khi đó:

Nếu f là phép đối hợp elictic thì |A| > 0

Nếu f là phép đối hợp hypebolic thì |A| < 0

Chứng minh: Trên đờng thẳng s chọn mục tiêu xạ ảnh {A1,A2;E} saocho f:ss có biểu thức toạ độ:

' 2

2 1

' 1

dx cx

x

bx ax

x

Suy ra A=c d 

b a

Gọi  là giá trị riêng của f thì  là nghiệm của phơng trình: |A-I| = 0

0 )

 Nếu f là phép đối hợp hypebolic thì : a + d = 0 (theo định lý 2.1.3)

và (1) có hai nghiệm thực phân biệt

Nếu f là phép hypebolic thì [A,A ,B,B ] > 0’ ’

Chứng minh: Do f là phép đối hợp theo định lý 2.1.3 f có biểu thức

' 2

2 1

' 1

ax cx

kx

bx ax

kx

(a,b,c  0)Chọn mục tiêu xạ ảnh |A,B;E} thì A(1:0), B(0:1)

Do f(A) = A’  A’ = 

: k

c k

: k

a k

' 2 2

1 1

A n A m B

A n A m B

2 2

1 1 1 1

: )

0 : 1 ( :

: )

0 : 1 ( ) 1 : 0 (

k c k a n m

k a k b

k c k a n m

2

1 2

2 2

1 1

1 1

1

1 0

k c n

k a

k a n

m k

b

k c n

k a n

c k

b c a

m

c k n

c m

2 1 2

2 2

2

1 1

1

2 2 1

2 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2

2

.

: ] ' , , ' ,

[

a

bc a c a c k

c k ak

c k

bc a m

n n

m n

m n

m B B A

Một phép đối hợp f khác phép đồng nhất của đờng thẳng s đợc xác

định nếu cho hai điểm phân biệt A, B thuộc s và ảnh A , B của chúng.’ ’

Chứng minh: Xem [2].

2.1.9 Định lý:

Theo tính chất tỷ số kép của chùm bốn đờng thẳng ta có:

[SA, SA’, SB, SC] = [A, A’, B, C]

[SA, SA’, SB, SC] = [T, A’, R, Q]

 [A, A’, B, C] = [T, A’, R, Q] (2)

[PA, PA', PR, PQ] = [A, A’, C’, B’]

[PA, PA', PR, PQ] = [T, A’, R, Q]

 [A, A’, C, B] = [A, A’, R, Q] (3)

Từ (2) và (3) suy ra: [A, A’, B, C] = [A, A’, C, B]

 [A, A’, B, C] = [A’, A, B’, C’]

Từ đó ta thấy F biến A thành A', biến A’ thành A, biến C thành C’ nên

F là một phép biến đổi xạ ảnh biến A thành A’, biến A’ thành A theo định lý2.1.2 - F là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp

2.1.10 Định lý:

Trên 3 đờng thẳng không đồng quy a, b, c lần lợt lấy 3 điểm A, B, C Nếu: f 1 : a  b là phép chiếu xuyên tâm, với tâm C

f 2 : b  c là phép chiếu xuyên tâm, với tâm A.

f 3 : c  a là phép chiếu xuyên tâm, với tâm B.

thì tích f 3 o f 2o f 1 là một phép đối hợp của đờng thẳng a

Chứng minh:

Hình 2.2

Theo giả thiết suy ra f3 of2of1: a  a

Do f1, f2, f3 là phép chiếu xuyên tâm nên f1, f2, f3 là các ánh xạ ảnh,suy ra f3 of2of1 là một ánh xạ ảnh của đờng thẳng a lên chính nó nên f3 of2of1 làmột biến đổi xạ ảnh của đờng thẳng a

Do 3 đờng thẳng a, b, c không đồng quy nên M, M’ phân biệt

Nh vậy ta thấy có 2 điểm phân biệt M, M’ sao cho: f3 of2of1(M) = M’, và

f3 of2of1(M’) = M Theo định lý 2.1.2 f3 of2of1 là một phép đối hợp của đờngthẳng a

2.1.12 Định lý:

Cho 4 điểm A, B, C, D của đờng thẳng d sao cho [A, B, C, D] =-1 Nếu f: d  d là một phép biến đổi xạ ảnh sao cho f(A) = C, f(C) = B, f(B) = D thì f 2 là phép đối hợp.

b a

' 2

2 1

' 1

dx cx

kx

bx x

a kx

Theo giả thiết f(A) = C  



 c kn

a km

f(B) = D  





 d nk b mk 1 1

m k km T

1 1

f(C) = B    





2 2 1 1 2

0 k n k kmn

mn k km

n k km

1

2 n k k

n k km

Do các số hạng của ma trận không phụ thuộc vào hệ số k Chọn

n m n

n m n

2 2 2

m n mn n

m n m n T T

2 4 4 2 2 2

n n m

n mn T

Vậy f2 là một phép đối hợp

2.2 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đờng ôvan.

Cho 4 điểm A, B, C, D nằm trên đờng ôvan (S) Theo định lý Steinerthuận (xem [2]), nếu M là một điểm thay đổi trên (S) thì tỷ số kép [MA, MB,

MC, MD] có giá trị không phụ thuộc vào M Tỷ số kép đó gọi là tỷ số képcủa 4 điểm A, B, C, D trên (S) và kí hiệu [A, B, C, D](S)

Một song ánh f: (S)  (S) đợc gọi là một biến đổi xạ ảnh của (S) nếu fbảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ trên (S)

Định lý: Cho f: (S)  (S) là phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất của

đờng ôvan (S) Khi đó, với bất kỳ hai điểm phân biệt M, N của (S) và ảnh

của chúng M = f(M), N = f(N) thì giao điểm của MN và M N luôn luôn’ ’ ’ ’

nằm trên một đờng thẳng cố định.

Chứng minh: xem [2]

2.2.1 Định nghĩa: Một biến đổi xạ ảnh f: (S)  (S) của ôvan (S) gọi

là phép đối hợp của (S) nếu f2 = Id(S) tức cũng là f-1 = f

Nếu f: (S)  (S) là phép đối hợp của (S), M, M’ là cặp điểm tơng ứngcủa f, ta có M’ = f(M) và M = f(M’)

2.2.2 Định lý Frêgiê:

Định lý thuận: Nếu f:(S)  (S) là phép đối hợp của đờng ôvan (S),

khác với phép đồng nhất thì đờng thẳng nối hai điểm tơng ứng bất kỳ luôn đi qua một điểm cố định, gọi là điểm Frêgiê của f, ký hiệu F.

Chứng minh: Xem [2].

Định lý đảo: Cho một điểm F cố định không nằm trên ôvan (S) Với

mỗi điểm M  (S), ta lấy điểm M’ (S) sao cho F,M,M thẳng hàng Khi đó’

f: (S)  (S) mà f(M) = M là một phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của (S).’

Chứng minh: Xem [2].

2.2.3 Đối ngẫu của định lý Frêgiê.

Ký hiệu (S*) là tập hợp các tiếp tuyến của đờng ôvan (S), (S*) gọi làtuyến lớp hai không suy biến Gọi a,b,c,d là 4 tiếp tuyến phân biệt của đờng

ôvan (S) Nếu m là tiếp tuyến thay đổi của (S) cắt a,b,c,d tại A,B,C,D thì dokhái niệm tuyến lớp hai là khái niệm đối ngẫu của đờng ôvan ta có tỉ số kép[A,B,C,D] không phụ thuộc vào m, nó đợc gọi là tỉ số kép của 4 tiếp tuyếna,b,c,d và ký hiệu là [a,b,c,d](S) Một ánh xạ F:(S*)  (S*) gọi là ánh xạ xạ

ảnh của tuyến lớp hai (S*) nếu nó bảo tồn tỉ số kép của 4 đờng thẳng thuộc(S*) Sau đây là các định lý đối ngẫu của định lý Frêgiê

Định lý thuận: Nếu ánh xạ xạ ảnh F: (S*)  (S*) là đối hợp (nghĩa

là F 2 = Id (S*) ) thì giao điểm các đờng thẳng tơng ứng nằm trên một đờng thẳng cố định (gọi là đờng thẳng Frêgiê của F).

Định lý đảo: Cho một đờng thẳng cố định d không thuộc (S*) Với

mỗi đờng thẳng a tiếp với (S) cho tơng ứng đờng thẳng F(a) tiếp với (S) sao cho a và F(a) cắt nhau trên d thì ta đợc ánh xạ F:(S*)  (S*) là phép xạ ảnh

đối hợp.

2.2.4 Định lý: Nếu f 1 ,f 2 là các phép đối hợp của (S) tơng ứng với các

điểm Frêgiê F 1 ,F 2 thì f 1o f 2 = f 2o f 1 khi và chỉ khi F 1 ,F 2 liên hợp với nhau đối với (S)

M ; F2=MM2M1

' 2

M Gọi E = M1M2M '

2

M thì EMM2M1F2

' 2

M là hình 4 cạnh toàn phần.Theo tính chất điều hoà của hình 4 cạnh toàn phần (xem [2]) thì đờng chéo

đối với (S) Do đó đờng thẳng EF2 là đờng thẳng đối cực của F1 đối với (S).Vậy F1 và F2 liên hợp với nhau đối với (S)

Ngợc lại, nếu F1 và F2 liên hợp với nhau đối với (S) Gọi E1

Chú ý: Các kiến thức về điểm liên hợp, đờng thẳng đối cực xem [2]

2.3 Chùm đờng bậc hai Định lý Đơdác thứ hai.

M1

F

1

M B

M

2

F2 A

' 2

M

E(Hình 2.3)

(S)