Phép đối xứng trong en và ứng dụng

Hơn nữa giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải lớp các bài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bài toán quỹ tích, Để làm rõ các vấn đ

LờI CảM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn do chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp

đỡ nhiệt tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô trong tổ Hình học

và các bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình

Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Em rất mong được sự chỉ bảo đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện hơn Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa đặc biệt là thầy Nguyễn

Năng Tâm đã trực tiếp hướng dẫn em trong việc hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Bùi Thị Cẩm Lệ

LờI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm

Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Phép đối xứng trong

En và ứng dụng” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Bùi Thị Cẩm Lệ

MụC LụC

Trang

Mở Đầu

Nội dung 1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Các khái niệm về phép biến hình 1

1.2 Phép biến hình đẳng cự 2

Chương 2: Phép đối xứng trong En 3

2.1 Phép đối xứng qua tâm 3

2.2 Phép đối xứng qua siêu phẳng 4

Chương 3: Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình học 6

3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh 6

3.2 Phép đối xứng và bài toán tính toán 13

3.3 Phép đối xứng và bài toán dựng hình 17

3.4 Phép đối xứng và bài toán quỹ tích 25

Chương 4: Một số bài tập ứng dụng 31

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán THPT ở nước ta hiện nay, một số phép biến hình

được đưa vào dạy trong chương “Phép dời hình và đồng dạng trong mặt phẳng” (Hình học 11) Từ đó, cung cấp cho học sinh một phương tiện để giải quyết các bài toán hình học một cách nhanh gọn và hợp lý Hơn nữa giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải lớp các bài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bài toán quỹ tích,

Để làm rõ các vấn đề nêu trên, em xin trình bày trong khóa luận này một số kiến thức cơ bản về phép đối xứng và ứng dụng giải toán trong hình học với đề tài: “Phép đối xứng trong En và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng

Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Phép đối xứng trong En

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán giải bằng phép đối xứng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về phép đối xứng

Đề xuất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết một số bài toán hình học

Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan

NộI DUNG CHƯƠNG 1: KIếN THứC CHUẩN Bị

1.1 Các khái niệm về phép biến hình

Cho phép biến hình f: En  En Ta có các khái niệm sau:

a Điểm M  En được gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu f(M) = M

b Hình H  En được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình f nếu f(H) = H

c Hình H  En được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f

1.2 Phép biến hình đẳng cự

1.2.1 Định nghĩa

Phép biến hình f: En  En được gọi là phép biến hình đẳng cự của En nếu

nó bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kỳ, tức là:

f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M,N) = d(f(M),f(N)) M,N  Entrong đó d(M,N) là khoảng cách của hai điểm M,N

1.2.2 Tính chất

a Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin

c Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc

d Phép biến hình đẳng cự biến một siêu cầu của En thành một siêu cầu

có cùng bán kính

1.2.3 Định lý

Tập hợp các phép biến hình của En lập thành một nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ và được kí hiệu là Isom(En)

a Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó có đầy đủ các

tính chất của phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động duy nhất là O

Chứng minh + Gọi M’ = ĐO(M), N’ = ĐO(N)

Ta có: M N ' ' ON  ' OM'  ON  OMNM d M N( ', ')  NM

Mà NM d N M( , ) d M N( , ) d M N( ', ') d M N( , )

 Phép đối xứng qua tâm là phép biến hình đẳng cự

+ Gọi M’ = ĐO(M)  ĐO(ĐO(M)) = ĐO(M’) = M = id(M)

 Phép đối xứng qua tâm là phép biến hình đối hợp

+ ĐO(O) = O  O là điểm bất động của ĐO

Giả sử M là điểm bất động của ĐO  ĐO(M) = M  OM OM

suy ra

M  O

Vậy O là điểm bất động duy nhất của ĐO

b Phép đối xứng tâm biến mọi đường thẳng, mặt phẳng qua O thành

chính nó, biến một vecto thành vecto đối của nó

Chứng minh + Gọi d là đường thẳng qua O Lấy điểm M  d, khi đó ta có:

ĐO(M) = M’ , ĐO(O) = O  ĐO(d) = d’ và d’ là đường thẳng qua M’ và O

Do M’  d nên d’  d

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua O Xét hai đường thẳng d và d’ nằm trong (P) và cắt nhau tại O Khi đó ĐO biến d thành d, biến d’ thành d’ nên (P) cũng biến thành (P) qua ĐO

      

c Phép đối xứng tâm bảo toàn phương của mọi đường thẳng, mặt phẳng

Chứng minh +Giả sử ĐO(d) = d’ và M, N  d, ĐO(M) = M’, ĐO(N) = N’  M N' '  MN  d cùng phương d’

+ Do ĐO bảo toàn phương của đường thẳng nên nó bảo toàn phương của mặt phẳng

2.2 Phép đối xứng qua siêu phẳng

2.2.1 Định nghĩa

Trong En cho siêu phẳng  Phép biến hình của không gian cho ứng mỗi

điểm M với điểm M’ xác định như sau:

a MM’ vuông góc với siêu phẳng 

b MM’ cắt  tại O là trung điểm của nó

gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng này kí hiệu là Đ

Siêu phẳng  được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng

2.2.2 Tính chất

a Phép đối xứng qua siêu phẳng là một phép biến hình đẳng cự nên nó

có đầy đủ tính chất của phép đẳng cự

Chứng minh Gọi M, N là hai điểm bất kì trong En Xét phép đối xứng qua siêu phẳng 

 Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự

b Đ là phép đối hợp

Chứng minh Gọi M’ = Đ(M) ta có: Đ(Đ(M)) = Đ(M’) = M = id(M)

 Đ là phép đối hợp

c  là quỹ tích điểm bất động của Đ

CHƯƠNG 3: Sử DụNG PHéP ĐốI XứNG GIảI CáC BàI TOáN HìNH HọC

3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh

3.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích

Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề AB với A là giả thiết, B là kết luận Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận hợp lôgic trên cơ sở các định nghĩa, định lý

3.1.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh

Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các đường tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng minh

3.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng

Nếu mệnh đề A  B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứng thì

ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B  A, xét các trường hợp

đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới

3.1.4 Một số ví dụ

Ví dụ 3.1.4.1:

Cho hình bình hành ABCD và đường tròn (C) bàng tiếp ABD, tiếp xúc với phần kéo dài của AB và AD tương ứng tại các điểm M và N Đoạn thẳng

Q P

N K

M

N' H M'

C

A

D B

MN cắt BC và DC tương ứng tại các điểm P và Q Chứng minh rằng đường

tròn nội tiếp BCD tiếp xúc với các cạnh BC và DC tại P và Q

Giải:

Gọi (O) là đường tròn nội tiếp ABD

lần lượt tiếp xúc với AB tại M’,

với AD tại N’, và BD tại H

K là tiếp điểm của (C) với BD

I là trung điểm của BD

Ta có ĐI : (O)  (O’) nội tiếp CDB và đi qua 3 điểm K, Q, P

Do M’, N’, H lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, AD, BC nên Q, P, K lần

lượt là tiếp điểm của (O’) với CD, BC, BD

Gọi tứ diện đã cho là ABCD và I, J, G

lần lượt là trung điểm của AB, CD, IJ

 G là trọng tâm của tứ diện ABCD

Gọi (O) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Xét mặt phẳng () qua I và vuông góc với CD mà IO’  CD

 IO’  ()  () qua O’

Tương tự ta có 5 mặt phẳng còn lại thỏa mãn yêu cầu đề bài cũng đi qua điểm O’ Vậy 6 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài đều đi qua O’ = ĐG(O)  đpcm

Ví dụ 3.1.4.3:

Cho ABC với trực tâm H Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC, các đường tròn ngoại tiếp các BCH, CAH, ABH, ABC đều bằng nhau

Mặt khác theo tính chất bảo toàn góc của ĐBC ta có: BHCBH C1 (3)

Từ (1), (2), (3)  ABH C1 180  Tứ giác ABH1C nội tiếp

Do đó (AHB) = (O), (AHC) = (O)

Ta có điều phải chứng minh

 Khai thác sâu bài toán

Từ bài toán trên ta có kết quả sau:

Nếu gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BHC, AHC,

AHB thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp O1O2O3, từ đó ta có đường tròn ngoại tiếp O1O2O3 bằng đường tròn (O) Do đó ta có thể mở rộng bài toán trên thành bài toán sau:

Bài toán: Cho H là trực tâm ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi O1,

O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BHC, AHC, AHB Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp O1O2O3 bằng đường tròn (O)

và DN ta lần lượt lấy hai điểm H và K sao cho BH DK

BM  DN Gọi I là trung điểm của HK Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng hàng

Giải:

Xét phép đối xứng ĐSO qua đường thẳng SO

Vậy H, K là hai điểm tương ứng của nhau qua phép đối xứng ĐSO nên trung

điểm I của HK phải thuộc SO  S, I, O thẳng hàng

3.2 Phép đối xứng và bài toán tính toán

3.2.1 Bài toán tính toán

Trong hình học ta thường bắt gặp một số bài toán tính toán như: tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu vi diện tích của các hình hình học Để giải bài toán tính toán thông thường ta thường sử dụng các bước sau:

1 Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết

2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán

3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập

3.2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán

Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau Từ

đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta vừa tìm được nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại lượng cần tính toán

Do góc ABE ACF  FBE ECF  tứ giác BFEC nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC, có bán kính R

Ta có: FOE2FCE = 2.30 = 60, mà OEF cân tại O  OEF đều

Lại có E, F là trung điểm của OO1, OO2

 O1O2 = 2EF  O1O2 = 2R mà AO1 + AO2 = 2R = O1O2  A, O1, O2thẳng hàng và A nằm giữa hai điểm O1, O2

 OO1O2 đều  ABC đều  BGC = 120

 Khai thác sâu bài toán:

Với giả thiết là góc ABE ACF =  = const Ta có kết quả:

1 ABC đều  2 trung tuyến tại B, C tạo với AB, AC một góc = 30

2 ABC cân  2 trung tuyến tại B, C tạo với AB, AC hai góc bằng nhau

3  = 30  O1, A, O2 thẳng hàng

x y

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M tùy ý trên cạnh AC, kẻ tia

Ax vuông góc với BM cắt BC tại H Gọi K là điểm đối xứng với C qua H, kẻ tia Ky vuông góc với BM cắt AB tại I

Cho tam giác ABC cân tại C có ACB = 100 Qua A và B vẽ các tia AL

và BK (L BC, K AC) sao cho LAB = 30, KBA = 20, AL cắt BK ở M Tính các góc ACM , BCM

Trong ABC cân tại C có C = 100

 CAB CBA40  CAI CABIAB10

30°

I E

K M

B

C

H A

L

Ta có : EAH EBH 20 IAE CAB CAI EAH 10

Vậy : CAI  IAE 10  AI là phân giác của CAE

Do CAECBE và ABC cân tại C nên ta cũng có BI là phân giác của CBE Xét phép đối xứng trục BI: ĐBI : BC  BM’

 CBM’ cân tại B  BI là phân giác của góc CBM'

3.3 Phép đối xứng và bài toán dựng hình

3.3.1 Bài toán dựng hình

Bài toán dựng hình được phát biểu dưới dạng: “ Dựng một hình thỏa mãn

các điều kiện (yêu cầu) sau ”

Giải bài toán dựng hình: là chỉ ra một số hữu hạn những phép dựng cơ

bản thực hiện theo thứ tự xác định để có được hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Nghiệm hình: Mỗi hình thỏa mãn các yêu cầu đặt ra của một bài toán

được gọi là nghiệm hình Hai hình không bằng nhau cùng thỏa mãn các yêu cầu của bài toán được xem là hai nghiệm hình khác nhau

 Nếu bài toán không có yêu cầu về vị trí của hình cần dựng thì những hình bằng nhau thỏa mãn các yêu cầu của bài toán gọi là một nghiệm hình  Nếu trong bài toán có yêu cầu về vị trí thì những hình bằng nhau nhưng có vị trí khác nhau thỏa mãn các yêu cầu của bài toán được xem là những nghiệm hình khác nhau

Các bước giải bài toán dựng hình:

Thông thường giải bài toán dựng hình gồm 4 bước sau:

Bước 1: Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán, căn cứ vào hình

đó xét xem mối quan hệ giữa các yếu tố (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,

đường tròn, độ dài đoạn thẳng, các quan hệ song song, vuông góc ) của hình

đó để xác định xem dựng yếu tố nào trước, yếu tố nào sau Bước này là bước quan trọng để đưa ra lời giải của bài toán

Bước 2: Cách dựng:

Dựa vào phần phân tích trình bày lần lượt các phép dựng và thể hiện bằng hình vẽ các phép dựng đó

3.3.2 Sử dụng phép đối xứng giải bài toán dựng hình

Có thể nói bước phân tích đóng vai trò quan trọng hàng đầu trong bài toán dựng hình Có nhiều bài toán dựng hình sau khi phân tích phần còn lại hầu như là hiển nhiên Có thể hình dung bước phân tích nhờ sơ đồ sau:

3.3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng

Đề suất bài toán: Với bài toán dựng hình H có tính chất  nào đó đã cho

Sử dụng phép đối xứng Đ biến hình H thành hình H’ có tính chất ’ có được

do chuyển các tính chất  tương ứng qua Đ (nhờ tính chất bất biến của Đ) ta

Xét một số trường hợp của bài toán: Sử dụng thao tác đặc biệt hóa, khái

quát hóa, tương tự hóa bằng cách thay đổi các tập hợp điểm (hình này) bằng các tập hợp điểm khác (hình khác) nhờ sử dụng sự trợ giúp của phép đối xứng

Giả sử đã tìm được điểm C nằm trên Ox,

điểm D nằm trên Oy sao cho

Ta có O’x’ là ảnh của Ox qua phép đối xứng tâm I Suy ra I là trung điểm của

CD và do I là trung điểm của AB nên tứ giác ABCD là hình bình hành