Nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Phương pháp nhiễu của giảitích tiệm cận đối với phương trình đại số ” không có sự trùng lặpvới kết quả của các đề tài khác... Trong các công trình đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào - đãtrực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luậncủa mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổGiải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thànhtốt bài khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận tốt nghiệp, do điều kiện thờigian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa họccho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy,

em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những góp ý của các thầy cô

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm củacác thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của

TS Nguyễn Văn Hào

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Phương pháp nhiễu của giảitích tiệm cận đối với phương trình đại số ” không có sự trùng lặpvới kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Chu Thị Lan

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số khái niệm về bậc và một số ví dụ 6

1.1.1 Lời dẫn 6

1.1.2 Các khái niệm về "không" bậc 8

1.1.3 Chú ý 9

1.1.4 Một số ví dụ về bậc 10

1.1.5 Nhận xét 10

1.2 Dãy tiệm cận và chuỗi tiệm cận 10

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận 10

1.2.2 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 11

1.3 Khai triển tiệm cận 17

1.4 Một số tính chất cơ bản của khai triển tiệm cận 19

Chương 2 Phương pháp nhiễu với phương trình đại số 24 2.1 Khai triển Taylor và quy tắc l’Hospital 24

2.1.1 Định lí Taylor 24

2.1.2 Quy tắc l’Hospital 25

2.2 Khái niệm về nhiễu phương trình đại số 26

2.3 Ý tưởng của phương pháp nhiễu 27

2.4 Một số phương pháp nhiễu phương trình đại số 29

2.4.1 Phương pháp lặp 29

2.4.2 Phương pháp nhiễu kỳ dị 30

2.4.3 Phương pháp tỉ lệ 31

2.5 Trường hợp các lũy thừa không nguyên 34

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

là một nhiễu của giá trị trung bình Lực hấp dẫn của Mặt trời là yếu tốchính ảnh hưởng đến chuyển động của mỗi hành tinh xung quanh nó,nhưng lực đó yếu hơn nhiều lực hấp dẫn giữa các hành tinh Điều đó,tạo ra sự nhiễu đối với quỹ đạo chuyển động của chúng; điều này gây ra

sự thay đổi nhỏ đến quỹ đạo chuyển động của các hành tinh theo thờigian Các hành tinh gây ra sự xáo trộn nhiều nhất đến quỹ đạo chuyểnđộng của trái đất là sao Kim, sao Mộc và sao Thổ Các hành tinh này

và mặt trời cũng gây nhiễu quỹ đạo chuyển động của mặt trăng xungquanh trung tâm hệ thống Trái đất-Mặt trăng Việc sử dụng các kiếnthức toán học đối với những yếu tố về quỹ đạo chuyển động như hàmcủa biến thời gian có thể mô tả chính xác sự nhiễu quỹ đạo chuyển độngcủa các hành tinh thuộc hệ mặt trời trong khoảng thời gian nhất định.Đối với khoảng thời gian dài hơn, hàng loạt các vấn đề phải được tínhtoán lại

Giải tích tiệm cận là công cụ hữu hiệu trong việc tìm lời giải gần đúngđối với nhiều bài toán phức tạp thường gặp trong thực tế, nó là mộtngành quan trọng của toán học ứng dụng Việc thiết lập và chính xáchóa các khái niệm cũng như việc đưa ra một số kết quả khởi đầu trong

lĩnh vực này được tìm thấy trong các công trình của Poincare và Stieltjesvào năm 1886 Trong các công trình đó, hai nhà toán học này đã công

bố nhiều bài báo giới thiệu về một số khái niệm cũng như các kết quảnghiên cứu đối với chuỗi tiệm cận Sau đó vào năm 1905, Prandtl đãcông bố một bài báo về các chuyển động về dòng chất lỏng hoặc luồngkhí với độ nhớt nhỏ dọc theo một vật thể Trong trường hợp chuyểnđộng cánh máy bay trong không khí, bài toán như vậy được mô tả bởicác phương trình Navier-Stokes với số Reynolds lớn Tuy nhiên, trongcác công trình này phương pháp nhiễu kỳ dị ít được đề cập đến

Thông thường, một vấn đề toán học không hẳn có thể được giải quyếtmột cách chính xác Thậm chí ngay cả khi đưa ra được lời giải chính xáccủa bài toán, thì những nghiệm đó còn phụ thuộc vào các thông số rấtkhó để sử dụng Thông thường các bài toán xuất phát từ những vấn đềthực tế phương pháp đều dựa trên đó là một tham số trong vấn đề này

là tương đối nhỏ Tình hình trên tương đối phổ biến trong các ứng dụng

và điều này là một trong những lý do mà phương pháp nhiễu của toánhọc ứng dụng nảy sinh Một trong những nền tảng khác là khoa học máytính và điều thú vị là hai đối tượng đã phát triển lên cùng nhau Khi sửdụng một máy tính, một là khả năng giải quyết vấn đề mà phi tuyến,không đồng nhất và đa chiều Hơn nữa, nó có thể để đạt được độ chínhxác rất cao Những hạn chế là các giải pháp máy tính không cung cấpcái nhìn sâu sắc vào vật lý của vấn đề (đặc biệt cho những người không

có quyền truy cập vào phần mềm thích hợp hoặc máy tính) và luôn luôn

có câu hỏi đặt ra là có hay không giải pháp tính toán là chính xác Mặtkhác, phương pháp nhiễu cũng có khả năng giải quyết với các bài toánphi tuyến, không đồng nhất và đa chiều (mặc dù chưa đến mức giốngnhư các giải pháp máy tính tạo ra) Các mục tiêu cơ bản khi sử dụngphương pháp nhiễu loạn, ít nhất là để cung cấp một biểu hiện khá chínhxác cho giải pháp Bằng cách làm này có thể lấy được một sự hiểu biết

về vật lý của vấn đề được đưa ra

Bởi tầm quan trọng cũng như tính thực tiễn của vấn đề và được sự

hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Phươngpháp nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số”

để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành

Sư phạm Toán học Cấu trúc của đề tài được bố cục thành hai chươngChương 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống

về lý thuyết khai triển tiệm cận và tính chất đặc trưng của giải tích tiệmcận

Chương 2 Chương này dành cho việc sử dụng phương pháp nhiễu củagiải tích tiệm cận trong một số bài toán đại số với một ẩn phụ thuộcmột tham số

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu về giải tích tiệm cận bao gồm các khái niệm vềbậc tiệm cận, dãy tiệm cận, chuỗi tiệm cận; các tính chất và các phéptoán giải tích đối với chuỗi tiệm cận Trên cơ sở hệ thống các kiến thứctrên đây, chúng tôi tập trung nghiên cứu ứng dụng của giải tích tiệmcận bằng phương pháp nhiễu đối với phương trình đại số

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trìnhtính toán của L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xâydựng một cách hệ thống bởi Stiltjes [8] và Poincaré [6] Ở đây, người tanghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận.Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗilũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân Trongchương này chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản nhất

về lý thuyết giải tích tiệm cận

1.1 Một số khái niệm về bậc và một số ví dụ

1.1.1 Lời dẫn

Các kí hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E Landau và P D B.Reymond Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đến mộtbài toán thường gặp trong thực tế Tính giá trị của tích phân

Lặp lại quá trình này N lần ta được

Vế phải của phương trình này, được gọi là một khai triển tiệm cậncủa I() tới số hạng thứ (N + 1) Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều sovới số hạng thứ N Điều này cũng đương nhiên đúng đối với tất cả

n = 0, 1, 2, , N − 1 Ta chỉ ngay ra điều đó với n = N Bởi vì  là sốdương đủ nhỏ, nên 1 + t ≥ 1 và ta có đánh giá

∞

Z

0

e−t(1 + t)N +2dt ≤

∞

Z

0

e−t(1 + t)N +2dt

≤ (−1)N +1(N + 1)!N +1

f (z)g(z)

= 1

hay

f (z) = g(z) + o(g(z)); khi z → z0.1.1.3 Chú ý

Khái niệm O-bậc cho ta nhiều thông tin hơn o -bậc về dáng điệu củacác hàm liên quan trong quá trình z → z0 Chẳng hạn

sin z = z + o(z2); khi z → z0,cho ta biết sin z − z tiến tới 0 nhanh hơn z2 Tuy nhiên

sin z = z + O(z3); khi z → z0,cho ta biết rằng sin z − z tiến tới 0 gần như z3 khi z → z0

t1000 = o(et), cos t = O(1); t → ∞.

t2 = o(t), e−1t = o(1), tan t = O(t), sin t ∼ t; t → 0+

xn = o(n3), xn = O(n2) và xn ∼ 5n2; khi n → ∞

(ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f (k)  g(k); khi k → k0đồng nghĩa với f (k) = o(g(k)); khi k → k0

1.2 Dãy tiệm cận và chuỗi tiệm cận

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận

Một dãy hàm {φn(k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu cómột lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt

tiêu (ngoại trừ k0) và với mọi n ta có

φn+1 = o(φn); khi k → k0.Chẳng hạn, nếu k0 hữu hạn thì {(k − k0)n} là một dãy tiệm cận khi

k → k0, còn {k−n} là một dãy tiệm cận khi k → ∞

1.2.2 Chuỗi lũy thừa tiệm cận

Khái niệm về chuỗi lũy thừa tiệm cận Nếu điểm giới hạn z0 là hữuhạn ta có thể dùng phép biến đổi biến thành điểm giới hạn vô cùng bởi

z∗ = 1

z − z0

Chúng ta sẽ giả thiết rằng điều này luôn đúng và chỉ xétnhững khai triển tiệm cận khi z → ∞ trong góc α < phz < β Hoặctrong trường hợp f (z) là một hàm số biến số thực x, khi x → +∞ hoặc

zn

 Một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy 1

zn

đượcgọi là một chuỗi lũy thừa tiệm cận

Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận Các chuỗi lũy thừatiệm cận và các chuỗi lũy thừa hội tụ có tính chất tương tự nhau Cáckết quả chính được trình bày dưới đây, trước hết cho trường hợp biếnthực Giả sử f (x) và g(x) có các khai triển tiệm cận

xN +1



xN +1



Do đó bằng phép nhân thông thường, ta nhận được

xN +1



Cũng từ điều này mỗi lũy thừa nguyên dương của f (x) có một khai triểntiệm cận là một chuỗi lũy thừa và vì vậy mỗi một đa thức của f (x) cũng

có một chuỗi lũy thừa tiệm cận

f (x) − 1

a0



1x

+ O 1

Tương tự

1

là mẫu số không tiến tới 0 khi x → ∞

(v) Nếu f (x) là một hàm liên tục khi x > a > 0 thì hàm

Với x > a có một chuỗi lũy thừa tiệm cận

F (x) ∼ a2

x +

a32x2 + + an+1

t → +∞, tích phân của F (x) tồn tại với x > a Bởi vì

tm+1

)dt

Do đó, với mỗi số nguyên m > 2, ta có

Từ đó, ta nhận được kết quả sau

(vi) Nếu f (x) là một hàm có đạo hàm liên tục và đạo hàm f0(x) của

nó cũng là một chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → +∞, thì khai triển tiệmcận của nó là

Với giả thiết rằng

Nhưng f (y) → a0 khi y → +∞ và

Các kết quả trên được phát biểu cho hàm số biến số thực x khi x → +∞.Chúng ta có thể phát biểu cho hầu hết các trường hợp của một hàm sốbiến số phức z khi z → ∞ trong một hình quạt hoặc trong lân cận củađiểm vô cùng.

(vii) Có thể thay hàm giải tích một biến phức z trong các trường hợpnày bởi các hàm khả vi Kết quả trong trường hợp này là

Nếu f (z) là một hàm giải tích, chính quy trong miền R được xác định bởi

α1 ≤ phz ≤ β1chứa trong R Điều đó có nghĩa là, với mọi số nguyên m ta có

ψm(z) = φ0m(z) − (m − 1)am−1− mφm(z)

zTiếp theo ta phải chỉ ra rằng ψm(z) là bị chặn trong một hình quạt đóng

α2 ≤ phz ≤ β2 chứa trong R Điều đó là đủ nếu ta chỉ ra rằng φ0m(z) bịchặn Cho α2, β2 ta chọn α1 và β1 sao cho α < α1 < α2 < β2 < β1 < β.Khi đó |φm(z)| < Am trong α1 ≤ phz ≤ β1 Chọn δ dương tùy ý saocho nếu ξ nằm trong α2 ≤ phξ ≤ β2 thì đường tròn C có phương trình

|z − ξ| = δ |ξ| nằm trong α1 ≤ phz ≤ β1 Do đó

φ0m(ξ) = 1

2πiZ

C

φm(z)(z − ξ)2dz = 1

Điều đó, suy ra

φ0m(ξ)

≤ Am

δ |ξ| ≤ Am

δa .Điều này hoàn thành phép chứng minh Một khai triển chuỗi lũy thừatiệm cận của một hàm giải tích thường đúng trong một miền hình quạt.Một hàm như vậy có thể có các khai triển tiệm cận khác nhau trong cáchình quạt khác nhau

Nếu f (z) là một hàm biến chính quy trong |z| ≥ a và nếu f (z) ∼ P an

cn = 12πiZ

τ

f (z)

zn+1dz

Với τ là đường tròn bất kì |z| = R1 với R > R1 Từ f (z) tiến tới a0khi z → ∞ nên nó bị chặn Do đó, tồn tại một hằng số M sao cho

được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm f (k) tương ứng với dãytiệm cận {φm(k)} nếu với mọi m = 0, 1, 2, ta có

số của nó được cho bởi

φm(k)

).Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết

f (k)

φ0(k) → a0; khi k → k0.Nếu điểm giới hạn x0 là hữu hạn, R có thể là một khoảng mở của x0, x0

có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân cận của x0 là một khoảng

mở |x − x0| < δ Nhưng nếu x0 là điểm vô cùng, chúng ta phải phân biệtgiữa x → +∞, trong trường hợp này R có thể coi là một khoảng vô hạn

x > a và x → −∞, trong trường hợp này R có thể coi là x < b Có một

số trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều

kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của mộtchuỗi vô hạn khi n là đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại, theonghĩa bên ngoài của miền này nó không hội tụ.

Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệmcận Chẳng hạn, khi k → ∞ thì

vì kn và e−k → 0 khi k → ∞ trong miền đã cho

1.4 Một số tính chất cơ bản của khai triển tiệm cận

Tính duy nhất Cho một dãy tiệm cận φn(x), dãy khai triển tiệm cậncủa f (x) là duy nhất, nghĩa là an được xác định duy nhất như sau

1.2 Dãy tiệm cận chuỗi tiệm cận< /h3>

1.2.1 Khái niệm ví dụ dãy tiệm cận

Một dãy hàm {φn(k)} gọi dãy tiệm cận. .. gọi khai triển tiệm cận hàm f (k) tương ứng với dãytiệm cận {φm(k)} với m = 0, 1, 2, ta có

số cho

φm(k)

).Nếu hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa