Nhiễu của giải tích tiệm cận đối với phương trình đại số

Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Phương pháp nhieu cía giái tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so ” không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác... Vi¾c sú dung các kie

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CHU TH± LAN

NHIEU CÚA GIÁI TÍCH TIfiM C¾N

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Hà N®i-2013

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CHU TH± LAN

NHIEU CÚA GIÁI TÍCH TIfiM C¾N ĐOI

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc TS Nguyen Văn Hào

Hà N®i - 2013

LèI CÁM ƠN

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào - đã

trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài khoá lu¾ncna mình Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong toGiái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham HàN®i 2, Ban chn nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thànhtot bài khoá lu¾n này

Trong khuôn kho có han cna m®t khoá lu¾n tot nghi¾p, do đieu ki¾n thòigian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoccho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y,

em xin chân thành cám ơn đã nh¾n đưoc nhung góp ý cna các thay cô

và các ban sinh viên

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Chu Th% Lan

LèI CAM ĐOAN

Khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p vànghiên cúu Bên canh đó em đã nh¾n đưoc rat nhieu sn quan tâm cnacác thay cô giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna

TS Nguyen Văn Hào.

Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham kháom®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo

Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Phương pháp nhieu cía giái

tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so ” không có sn trùng l¾p

vói ket quá cna các đe tài khác

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Chu Th% Lan

Mnc lnc

Má

đau 3

Chương 1 M®t so kien th N c ch uan b%

6 1.1 M®t so khái ni¾m ve b¾c và m®t so ví du 6

1.1.1 Lòi dan 6

1.1.2 Các khái ni¾m v e "không" b¾c 8

1.1.3 Chú ý 9

1.1.4 M®t so ví du v e b¾c 10

1.1.5 Nh¾n xét 10

1.2 Dãy ti¾m c¾n và chuoi ti¾m c¾n 10

1.2.1 Khái ni¾ m và ví du v e dãy ti¾m c¾n 10

1.2.2 Chu o i lũy thùa ti¾m c¾n 11

1.3 Khai trien ti¾m c¾n 17

1.4 M®t so tính chat cơ bán cna khai trien ti¾m c¾n 19

Chương 2 Ph ương pháp nhieu vái ph ương trình đai so 24 2.1 Khai trien Taylor và quy tac l’Hospital 24

2.1.1 Đ%nh lí Ta ylor 24

2.1.2 Quy tac l’Hospital 25

2.2 Khái ni¾m v e nhieu phương trình đai so 26

2.3 Ý tưóng cna phương pháp nhieu 27

2.4 M®t so phương pháp nhieu phương trình đai so 29

2.4.1 Ph ươ ng pháp l¾p 29

2.4.2 Ph ươ ng pháp nhieu kỳ d% 30

2.4.3 Ph ươ ng pháp tí l¾ 31

2.5 Trưòng hop các lũy thùa không nguyên 34

Ket lu¾n

36

T ài li¾u tham kháo

37

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Ve m¾t l%ch sú, sn xuat hi¾n cna giái tích ti¾m c¾n có the nói là rat sóm.Th¾m chí có the ke đen thòi điem khi to tiên cna chúng ta nghiên cúu

tù van đe nhó như thưóc đo cna m®t cây g¾y, ho¾c đen van đe lón hơnnhư nghiên cúu sn xáo tr®n quy đao chuyen đ®ng cna m®t hành tinh.Như chúng ta biet, khi đo m®t cây g¾y moi phép đo cho m®t giá tr% khácnhau Do đó sau n lan đo ket quá nh¾n đưoc là n giá tr% khác nhau M®t

trong nhung ket quá trên đây có the chon là chieu dài cna thanh g¾ynày hay không? Xap xí tot nhat vói chieu dài thnc cna thanh g¾y là giátr% trung bình cna n so đã nh¾n đưoc và moi ket quá đo có the đưoc coi

là m®t nhieu cna giá tr% trung bình Lnc hap dan cna M¾t tròi là yeu tochính ánh hưóng đen chuyen đ®ng cna moi hành tinh xung quanh nó,nhưng lnc đó yeu hơn nhieu lnc hap dan giua các hành tinh Đieu đó,tao ra sn nhieu đoi vói quy đao chuyen đ®ng cna chúng; đieu này gây ra

sn thay đoi nhó đen quy đao chuyen đ®ng cna các hành tinh theo thòigian Các hành tinh gây ra sn xáo tr®n nhieu nhat đen quy đao chuyenđ®ng cna trái đat là sao Kim, sao M®c và sao Tho Các hành tinh này

và m¾t tròi cũng gây nhieu quy đao chuyen đ®ng cna m¾t trăng xungquanh trung tâm h¾ thong Trái đat-M¾t trăng Vi¾c sú dung các kienthúc toán hoc đoi vói nhung yeu to ve quy đao chuyen đ®ng như hàmcna bien thòi gian có the mô tá chính xác sn nhieu quy đao chuyen đ®ngcna các hành tinh thu®c h¾ m¾t tròi trong khoáng thòi gian nhat đ%nh.Đoi vói khoáng thòi gian dài hơn, hàng loat các van đe phái đưoc tínhtoán lai

Giái tích ti¾m c¾n là công cu huu hi¾u trong vi¾c tìm lòi giái gan đúngđoi vói nhieu bài toán phúc tap thưòng g¾p trong thnc te, nó là m®tngành quan trong cna toán hoc úng dung Vi¾c thiet l¾p và chính xáchóa các khái ni¾m cũng như vi¾c đưa ra m®t so ket quá khói đau trong

Thông thưòng, m®t van đe toán hoc không han có the đưoc giái quyetm®t cách chính xác Th¾m chí ngay cá khi đưa ra đưoc lòi giái chính xáccna bài toán, thì nhung nghi¾m đó còn phu thu®c vào các thông so ratkhó đe sú dung Thông thưòng các bài toán xuat phát tù nhung van đethnc te phương pháp đeu dna trên đó là m®t tham so trong van đe này

là tương đoi nhó Tình hình trên tương đoi pho bien trong các úng dung

và đieu này là m®t trong nhung lý do mà phương pháp nhieu cna toánhoc úng dung náy sinh M®t trong nhung nen táng khác là khoa hoc máytính và đieu thú v% là hai đoi tưong đã phát trien lên cùng nhau Khi súdung m®t máy tính, m®t là khá năng giái quyet van đe mà phi tuyen,không đong nhat và đa chieu Hơn nua, nó có the đe đat đưoc đ® chínhxác rat cao Nhung han che là các giái pháp máy tính không cung capcái nhìn sâu sac vào v¾t lý cna van đe (đ¾c bi¾t cho nhung ngưòi không

có quyen truy c¾p vào phan mem thích hop ho¾c máy tính) và luôn luôn

có câu hói đ¾t ra là có hay không giái pháp tính toán là chính xác M¾tkhác, phương pháp nhieu cũng có khá năng giái quyet vói các bài toánphi tuyen, không đong nhat và đa chieu (m¾c dù chưa đen múc giongnhư các giái pháp máy tính tao ra) Các muc tiêu cơ bán khi sú dungphương pháp nhieu loan, ít nhat là đe cung cap m®t bieu hi¾n khá chínhxác cho giái pháp Bang cách làm này có the lay đưoc m®t sn hieu biet

ve v¾t lý cna van đe đưoc đưa ra

Bói tam quan trong cũng như tính thnc tien cna van đe và đưoc sn

hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, em đã chon đe tài: “Phương pháp nhieu cúa giái tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so”

đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p h¾ đào tao cú nhân chuyên ngành

Sư pham Toán hoc Cau trúc cna đe tài đưoc bo cuc thành hai chương

Chương 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t cách h¾

thong ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n và tính chat đ¾c trưng cna giáitích ti¾m c¾n

Chương 2 Chương này dành cho vi¾c sú dung phương pháp nhieu cna

giái tích ti¾m c¾n trong m®t so bài toán đai so vói m®t an phu thu®cm®t tham so

2 Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Khóa lu¾n nghiên cúu ve giái tích ti¾m c¾n bao gom các khái ni¾m veb¾c ti¾m c¾n, dãy ti¾m c¾n, chuoi ti¾m c¾n; các tính chat và các phéptoán giái tích đoi vói chuoi ti¾m c¾n Trên cơ só h¾ thong các kien thúctrên đây, chúng tôi t¾p trung nghiên cúu úng dung cna giái tích ti¾mc¾n bang phương pháp nhieu đoi vói phương trình đai so

3 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu tài li¾u tham kháo

Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành khói nguon tù m®t so các công trìnhtính toán cna L Euler Đen năm 1886, lý thuyet ti¾m c¾n mói đưoc xâydnng m®t cách h¾ thong bói Stiltjes [8] và Poincaré [6] é đây, ngưòi tanghiên cúu các chuoi mà nó đưoc bieu dien bói các dãy hàm ti¾m c¾n.Thông thưòng các hàm đó đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoilũy thùa ho¾c dưói dang như nghi¾m cna phương trình vi phân Trongchương này chúng tôi se trình bày vói múc đ® can thiet và căn bán nhat

ve lý thuyet giái tích ti¾m c¾n

1.1 M®t so khái ni¾m ve b¾c và m®t so ví dn

1.1.1 Lài dan

Các kí hi¾u O, o và ∼ đưoc sú dung đau tiên bói E Landau và P D.

B Reymond Trưóc khi giói thi¾u các khái ni¾m này, chúng ta xét đenm®t bài toán thưòng g¾p trong thnc te Tính giá tr% cna tích phân

I(s) = 1 − s

0

(1 + st)2 dt.

L¾p lai quá trình này N lan ta đưoc

Ve phái cna phương trình này, đưoc goi là m®t khai trien ti¾m c¾n

so vói so hang thú N Đieu này cũng đương nhiên đúng đoi vói tat

Đieu quan trong là ta thay rang khai trien chuoi dưói dang phương trình

(1.1) là không h®i tu Ta có the thay ngay nh¾n xét này rang khi s

(−1) N +1 N !s N → 0; khi s → 0.

Đây chính là nguyên nhân cho ta thay rang khai trien trên là m®t xap

xí tot đoi vói tích phân I(s) khi s → 0 M®t xuat phát tn nhiên tù sn

nh¾n xét có tính trnc giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đen vi¾c giói thi¾u m®t so khái ni¾m quan trong trong lý thuyet Giái tích ti¾m c¾n.

Giá sú, s là so dương nhó tùy ý, chúng ta sú dung m®t so thu¾t ngu

(i) −s có cùng b¾c vói s và 4!s4 có cùng b¾c vói s4 Các phát bieu này đưoc ký hi¾u tương úng bói −s = O(s) và 4!s = O(s4);

(ii) 2!s2 là có b¾c nhó hơn s, nó đưoc ký hi¾u bói 2!s2 = o(s)

Tiep theo, chúng ta se chính xác hóa các khái ni¾m đã nói trên đây

1.1.2 Các khái ni¾m ve "không" b¾c

m¾t phang phúc C và cho z0 là m®t điem giói han cna D (có the là

điem vô cùng) Ta nói

(i) B¾c O lán Hàm f (z) đưoc goi là có " b¾c O lón " đoi vói

f (z) = O(1); khi z → z0.

Đieu đó, nghĩa là hàm f (z) b% ch¾n khi z tien tói z0.

Trong các hàm trên, hàm g(z) thưòng đưoc goi là "hàm cã" bói vì

hàm đó xác đ%nh dáng đi¾u cna hàm f (z) khi z → z0.

(ii) B¾c o nhó Hàm f (z) đưoc goi là có "b¾c o nhó" đoi vói

neu vói moi s > 0 nhó tùy ý, ton tai m®t lân c¾n U cna z0 sao cho

|f (z)| ≤ s |g(z)| ; vói moi z ∈ U ∩ D.

Cũng đơn gián hơn, neu g(z) không tri¾t tiêu trong lân c¾n cna z0

có the trù ra tai điem này, thì f (z) = o(g(z)) nghĩa là.

(iii) B¾c tương đương Ta nói f (z) có b¾c tương đương vói hàm

Khái ni¾m O-b¾c cho ta nhieu thông tin hơn o -b¾c ve dáng đi¾u cna

các hàm liên quan trong quá trình z → z0 Chang han

sin z = z + o(z2); khi z → z0 ,

cho ta biet sin z − z tien tói 0 nhanh hơn z2 Tuy nhiên

sin z = z + O(z3); khi z → z0 ,

cho ta biet rang sin z − z tien tói 0 gan như z3 khi z → z0.

lim =

0.

lim =

1.

t1000 = o(e t ), cos t = O(1); t → ∞.

t2 = o(t), e − t = o(1), tan t = O(t), sin t ∼ t; t → 0+.

(i) Các ký hi¾u O, o và ∼ cũng dùng đưoc đoi vói các hàm vói bien ròi

rac Chang han, như vói dãy so thnc (nghĩa là hàm cna các so nguyêndương n ) Đoi vói dãy so x n = 5n2 − 6n + 9 ta thay rang

x n = o(n3), x n = O(n2) và x n ∼ 5n2; khi n → ∞.

(ii) Ngưòi ta cũng thưòng sú dung ký hi¾u f (k) g(k); khi k →

đong nghĩa vói f (k) = o(g(k)); khi k → k0

1.2 Dãy ti¾m c¾n và chuoi ti¾m c¾n

1.2.1 Khái ni¾m và ví dn ve dãy ti¾m c¾n

1

→

M®t dãy hàm {φ n (k)} đưoc goi là m®t dãy ti¾m c¾n khi k → k0 neu

có m®t lân c¾n cna k0 sao cho trong lân c¾n này không m®t hàm nào tri¾t

tiêu (ngoai trù k0) và vói moi n ta có

φ n+1 = o(φ n ); khi k → k0

Chang han, neu k0 huu han thì {(k − k0)n } là m®t dãy ti¾m c¾n

khi

1.2.2 Chuoi lũy thNa ti¾m c¾n

Khái ni¾m ve chuoi lũy thNa ti¾m c¾n Neu điem giói han z0 là huu han ta có the dùng phép bien đoi bien thành điem giói han vô

Chúng ta se giá thiet rang đieu này luôn đúng và chí xét

nhung khai trien ti¾m c¾n khi z → ∞ trong góc α < phz < β Ho¾c

trong trưòng hop f (z) là m®t hàm so bien so thnc x, khi x → +∞

Neu m®t hàm f (z) có m®t khai trien ti¾m c¾n tương úng

vói dãy này, có nghĩa là f (z) ∼

goi là m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n.

Các phép toán vái chuoi lũy thNa ti¾m c¾n Các chuoi lũy thùa

ti¾m c¾n và các chuoi lũy thùa h®i tu có tính chat tương tn nhau Cácket quá chính đưoc trình bày dưói đây, trưóc het cho trưòng hop bienthnc Giá sú f (x) và g(x) có các khai trien ti¾m c¾n

khi n → +∞ Khi đó, ta có

(i) Af (x)

∼

.∞ n=

Cũng tù đieu này moi lũy thùa nguyên dương cna f (x) có m®t khai

trien ti¾m c¾n là m®t chuoi lũy thùa và vì v¾y moi m®t đa thúc cna f

(x) cũng có m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n.

1 + a1

→

a0

và bang cách này các h¾ so d n có the xác đ%nh đưoc vói moi n ∈ N Tong

quát hơn, moi hàm huu tí cna f (x) có m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n

mien là mau so không tien tói 0 khi x → ∞

(v) Neu f (x) là m®t hàm liên tuc khi x > a > 0 thì hàm

Tù đó, ta nh¾n đưoc ket quá sau

(vi) Neu f (x) là m®t hàm có đao hàm liên tuc và đao hàm f r (x)

cna nó cũng là m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n khi x → +∞, thì khai trien

Vói giá thiet rang

dt là hàm liên

tuc nên tích phân này là

Nói cách khác, khai trien ti¾m c¾n đưoc xác đ%nh bói các so hang cnakhai trien cna đao hàm

Các ket quá trên đưoc phát bieu cho hàm so bien so thnc x khi x →

+∞.

Chúng ta có the phát bieu cho hau het các trưòng hop cna m®t hàm sobien so phúc z khi z → ∞ trong m®t hình quat ho¾c trong lân c¾n cna

điem vô cùng

(vii) Có the thay hàm giái tích m®t bien phúc z trong các trưòng

hop này bói các hàm khá vi Ket quá trong trưòng hop này là

h®i tu đeu trong phz khi |z| → ∞ trong hình quat đóng chúa R é đây

chúng ta nói rang m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n cna f (z) h®i tu đeu

theo phz khi |z| → ∞ trong m®t hình quat đóng.

cũng chính quy trong R Hơn nua, ta có:

−

m−

1

Tiep theo ta phái chí ra rang ψ m (z) là b% ch¾n trong m®t hình quat đóng

%

ch¾n Cho α2, β2 ta chon α1 và β1 sao cho α < α1 < α2 < β2 < β1

tùy ý sao cho neu ξ nam trong α2 ≤ phξ ≤ β2 thì đưòng tròn C có

a n

là h®i tu và có tong là f (z) vói moi giá tr% đn lón cna |z| Cho R1 làm®t

so tùy ý lón hơn a Khi đó hàm f (z) có khai trien Laurentz

Vói τ là đưòng tròn bat kì |z| = R1 vói R > R1 Tù f (z) tien tói

− n

đưoc goi là m®t khai trien ti¾m c¾n cna hàm f (k) tương úng vói

dãy ti¾m c¾n {φ m (k)} neu vói moi m = 0, 1, 2, ta có

n=

0

a n φ n (k) là m®t xap xí cna hàm f (k) vói sai so O (φ m)

phan dư Neu khai trien ti¾m c¾n ton tai thì nó là duy nhat và các h¾

so cna nó đưoc cho bói

Neu điem giói han x0 là huu han, R có the là m®t khoáng mó cna x0, x0

có the là điem trong ho¾c điem biên và m®t lân c¾n cna x0 là m®tkhoáng mó |x − x0| < δ Nhưng neu x0 là điem vô cùng, chúng ta pháiphân bi¾t giua x → +∞, trong trưòng hop này R có the coi là m®t

khoáng vô han x > a và x → −∞, trong trưòng hop này R có the coi là

x < b Có m®t

so trưòng hop khi R là m®t t¾p riêng bi¾t, chang han nó có the là đieu