Tính giải được toàn cục đối với phương trình tích phân volterra phi tuyến với nhân suy biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN HOÀNG THỊ TRANG TÍNH GIẢI ĐƯỢC TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN VỚI NHÂN SUY BIẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội –

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ TRANG

TÍNH GIẢI ĐƯỢC TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

PHI TUYẾN VỚI NHÂN SUY BIẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Th.S TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2019

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến ThS Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn,chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình tôi làm bài khóaluận của mình Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy côtrong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôihoàn thành tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, cácbạn sinh viên và bạn đọc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2019Tác giả khóa luận

Hoàng Thị Trang

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn của thầy ThS Trần Văn Tuấn Trong khi nghiêncứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Tính giải được toàn cụcđối với phương trình Volterra phi tuyến với nhân suy biến” là kết quảcủa việc nghiên cứu và nỗ lực học tập của bản thân, không trùng lặpvới kết quả của các đề tài khác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn tráchnhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019Tác giả khóa luận

Hoàng Thị Trang

2 Phương trình tích phân Volterra phi tuyến với nhân

2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Volterra

phi tuyến với nhân suy biến 112.2 Một số trường hợp đặc biệt của nhân a 18

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, các phương trình vi phân thường, phươngtrình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng được nhiều nhà toánhọc trên thế giới cũng như trong nước quan tâm và nghiên cứu Nhữngnghiên cứu này được thúc đẩy bởi những ứng dụng quan trọng của

nó từ nhiều bài toán thực tiễn: Vật lý, Hóa học, Kinh tế, Sinh học, Một lớp đặc biệt được quan tâm rộng rãi đó là phương trình tíchphân Volterra Các nghiên cứu chính của phương trình vi-tích phântập trung trả lời các câu hỏi về sự tồn tại, tính duy nhất và sự phụthuộc liên tục của nghiệm Những câu hỏi này đối với phương trình

vi phân tuyến tính hoặc phi tuyến cũng như phương trình tích phântuyến tính đã được trả lời trong nhiều tài liệu chuyên khảo về phươngtrình vi-tích phân xem [1], [4] Tuy nhiên các kết quả tương tự chophương trình tích phân, đặc biệt là phương trình tích phân Volterraphi tuyến chưa được biết đến nhiều

Theo hướng nghiên cứu định tính về phương trình tích phân Volterratôi chọn đề tài: “Tính giải được toàn cục đối với phương trình Volterraphi tuyến với nhân suy biến” để thực hiện khóa luận của mình

2 Mục đích nghiên cứu

• Giới thiệu, tìm hiểu về phương trình tích phân Volterra phi tuyếnvới nhân suy biến trong không gian hữu hạn chiều, sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của nó

• Một vài trường hợp đặc biệt của nhân suy biến với điều kiện chotrước.

3 Đối tượng nghiên cứu

• Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phânVolterra phi tuyến với nhân suy biến

• Một vài trường hợp đặc biệt của nhân suy biến với điều kiện chotrước

4 Phạm vi nghiên cứu

Với thời gian và kiến thức có hạn, trong khóa luận này tôi chỉ trìnhbày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài màkhông chứng minh Đề tài tập trung vào

• Phương trình tích phân Volterra phi tuyến với nhân suy biếntrong không gian hữu hạn chiều, sự tồn tại và duy nhất nghiệmcủa nó

• Một vài trường hợp đặc biệt của nhân suy biến với điều kiện chotrước

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu được sủ dụng trong khóa luận là: Tìmkiếm, tổng hợp, tham khảo tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trangweb nhưng chủ yếu là [4, 5] Sau đó phân tích, tích cực nghiên cứudưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn, tổng hợp và trình bày cácvấn đề cho rõ ràng, hợp lô-gic

6 Cấu trúc đề tài

Khóa luận được trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phương trình tích phân Volterra đối với nhân suy biến

Hà Nội, tháng 05 năm 2019Tác giả khóa luận

Hoàng Thị Trang

Bảng kí hiệu

C[a, b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

Rn Không gian Euclide n chiều,

với x = (x1, x2, , xn) là các phần tử trong Rn,chuẩn Euclide kxk =

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, kết quả liênquan đến hàm véc-tơ một biến, hàm véc-tơ nhiều biến được sử dụngtrong khóa luận, chi tiết có thể tham khảo [2, 3]

1.1 Hàm véc-tơ một biến

Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa hàm véc-tơ một biến) Cho tậphợp I ⊂ R Ánh xạ f : I → Rn được gọi là hàm véc-tơ một biến vớimiền xác định là I và giá trị trong Rn

Như vậy ∀x ∈ I giá trị f (t) là một véc-tơ n-chiều với n tọa độ

tập hợp I Khi ấy lim

x→x0f (x) = (b1, b2, , bn) khi và chỉ khi lim

Suy ra |fi(x) − bi| < ε với mọi 0 < |x − x0| < δ Vậy lim

Điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.3 (Định nghĩa hàm số liên tục của hàm véc-tơmột biến) Cho tập hợp I ⊂ R Ánh xạ f : I → Rn được gọi là liêntục tại x0 ∈ I nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại δ > 0 sao cho

f (x) = f1(x), f2(x), , fn(x)
được gọi là liên tục tại x0 ∈ I khi vàchỉ khi hàm thành phần f1(x), f1(x), , f1(x) liên lục tại x0 ∈ I.

1.2 Hàm véc-tơ nhiều biến

Định nghĩa 1.4 (Định nghĩa hàm véc-tơ nhiều biến) Cho tậphợp X ⊂ Rm Ánh xạ f : X → Rn được gọi là hàm véc-tơ nhiều biếnvới miền xác định là X và giá trị trong Rn

Như vậy ∀x ∈ X giá trị f (t) là một véc-tơ n-chiều với n tọa độ

f1(x), f2(x), , fn(x)

+ Nếu m = 1 thì f là hàm véc-tơ một biến được nêu ở trên

+ Nếu m > 1 và n = 1 thì hàm f là hàm số nhiều biến

+ Nếu m > 1 và n > 1 thì hàm f là hàm véc-tơ nhiều biến

Định nghĩa 1.5 (Định nghĩa hàm số liên tục của hàm véc-tơnhiều biến) Cho tập hợp X ⊂ Rm Ánh xạ f : X → Rn được gọi làliên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại δ > 0 sao cho

∀x ∈ X thỏa mãn 0 < kx − x0k < δ ta có kf (x) − f (x0)k < ε và kíhiệu là lim

Định lý 1.2 Cho tập mở X ⊂ Rm Giả sử hàm f : X → Rn khả vi tại

x ∈ X Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính A: Rm → Rn

Định lý sau đây nói về mối quan hệ giữa tính khả vi và tính liêntục của hàm số véc-tơ nhiều biến.

Định lý 1.3 Cho tập mở X ⊂ Rm Giả sử hàm f : X → Rn Nếu fkhả vi tại x ∈ X thì f liên tục tại x

Chứng minh Giả sử hàm f khả vi tại x Đặt

f (x + h) − f (x) − Df (x).h = r(h)

Theo hệ thức (1.3) lim

khk→0

kr(h)k khk = 0, mặt khác theo tính liên tục củaánh xạ tuyến tính ta có:

x(t) = f (t) −

Z t 0

a(t − s)g x(s), s
ds (t ≥ 0), (2.1)

trong đó x(·) ∈ R là ẩn cần tìm, a : (0, +∞) → R là nhân, hàm f :[0, +∞) → R, g : R × [0, +∞) → R là các hàm số liên tục

2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

Volterra phi tuyến với nhân suy biến

Định nghĩa 2.1 Nghiệm x(t) của phương trình tích phân (2.1) làmột hàm x liên tục và thoả mãn phương trình (2.1) trên nửa khoảng[0, +∞)

Để nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm cho phương trình tích phân

(2.1), chúng tôi đặt các giả thiết sau

(A1) Hàm f dương và liên tục trên khoảng [0, ∞),

(A2) Hàm a dương, liên tục và khả tích địa phương trên khoảng (0, ∞),(A3) Hàm g (., ) là hàm xác định (−∞, ∞) × [0, ∞), 0 ≤ t < ∞, gliên tục tại x với mọi t cố định và xg (x, t) ≥ 0

Giả sử rằng các giả thiết trên đều được thỏa mãn ta có định lý về

sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân (2.1) như sau

Định lý 2.1 Giả sử các hàm số f, a, g thoả mãn các điều (A1), (A2),(A3) Khi đó, nếu

f (T )

f (t) ≤ a (T − s)

a (t − s) ,với 0 ≤ s ≤ T < t bất kì thì tồn tại nghiệm x (t) của phương trình(2.1) với mọi t ≥ 0 và thỏa mãn 0 ≤ x(t) ≤ f (t)

Chứng minh Đặt g∗(x, t) = g(x, t) nếu x ≥ 0 và g∗(x, t) = 0 nếu

x ≤ 0 Nếu tồn tại x∗ không âm thì x∗(t) là nghiệm của phương trình(2.1) khi g được thay thế bởi g∗

Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại x∗ âm, ta có tập

A = {t ≥ 0; ∃ x∗(s) , s ∈ [0, t] ; x∗(t) < 0},

là một tập mở hoàn toàn Giả sử (T, T0) là một khoảng mở lớn nhấtchứa trong A

Khi đó x∗(T ) = 0 và T < t < T0

x∗(t) = f (t) −

Z T 0

a (t − s) g∗ x∗(s) , s
ds

= f (t)

f (T ) f (T ) −

Z T 0

Vì f (t) bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn, x∗(t) có thể liên tục tạinghiệm của phương trình tích phân ∀t ≥ 0 Từ việc đặt g∗ dẫn tới

x∗(t) = x (t) Điều phải chứng minh

Bây giờ chúng ta xét đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một sốphương trình tích phân Volterra phi tuyến loại II khi hàm g(., ) thayđổi

Nếu hàm g(., ) chỉ phụ thuộc vào biến thứ nhất, nghĩa là g x, s
=g(x) thì ta thu được phương trình phi tuyến Volterra loại II có dạng

x (t) = f (t) −

Z t 0

a (t − s) g (x (s)) ds, (2.2)

Trong đó, hàm g : R → R là hàm khả vi, g(x) = x+o(|x|) khi |x| → 0.Theo định lý (1.3) về mối quan hệ giữa tính khả vi và tính liên tục

Sau đây là một số tính chất quan trọng của nhân a.

Tính chất 2.1.1 Nhân a thỏa mãn các tính chất sau

Trong đó, hàm a(t) và k(t) đều không âm và thuộc lớp L1(0, ∞).Kết hợp với các tính chất trên của nhân a ta có định lý về sự duynhất nghiệm của phương trình (2.3) như sau

Định lý 2.2 Nếu nhân a thỏa mãn (A1)-(A3) thì phương trình (2.3)tồn tại và duy nhất nghiệm k, k khả tích địa phương và liên lục trênkhoảng (0, ∞) Nếu a(0+) < ∞ thì k cũng được xác định và liên tụctại t = 0 Hơn nữa, ta cũng có

(i) 0 ≤ k(t) ≤ a(t) trên khoảng 0 < t < ∞,

(ii) R0∞k(t)dt ≤ 1,

(iii) k(t) 6= 0 trên khoảng (0, T ) bất kì với T > 0

Chứng minh Giả sử εn là dãy giảm, dương đến 0 Đặt an(t) = a(t+εn)

và gọi kn là nghiệm duy nhất của phương trình

kn(t) = an(t) −

Z t 0

kn(t − s)ds ≤

Z t 0

Cho 0 < h < 1 bất kì, ta có

kn(t + h) − kn(t) = an(t + h) − an(t) −

Z h+t t

a(t + h − s)kn(s)ds

−

Z t 0

Z h 0

a(h − s)kn(t + s)dsdt

=

Z h 0

Z T 0

kn(t + s)dt
a(h − s)ds

≤

Z h 0

a(h − s)ds =

Z h 0

a(s)ds

Tương tự ta có

Z T h

Z t 0

|a(s + h) − a(s)|kn(t − s)dsdt

≤

Z T 0

Z T s

kn(t − s)dt|a(s + h) − a(s)|ds

≤

Z T 0

a(s)ds + 2

Z T 0

kn(t)dt +

Z T +h T

kn(t)dz+

Z T h

|kn(t + h) − kn(t)|dt → 0,

khi h → 0+ với mọi n Có một kết quả tương tự khi h → 0−.

Nó chứng minh rằng dãy Kn là dãy compact đóng trong không gian

L1(−∞, ∞) Khi đó có hàm k0 ∈ L1(0, T ) và một dãy con kn sao cho

kn → k0 Chúng ta có thể giả sử rằng kn(t) → k0(t) Lập luận tương

tự như trên các khoảng (0, nT ), n = (2, 3, 4, ) và sử dụng dãy chéo

a(t − s)kn(s) − k0(s)ds → 0

Do k0 là nghiệm của phương trình (2.3) Cho 0 < t < ∞ ta có

k(t) = a(t) −

Z t 0

a(t − s)k0(s)ds

Khi đó k(t) liên tục trên khoảng (0, ∞) và k(t) = k0(t) Do đó giải kcủa phương trình (2.3) và thỏa mãn (i) và (ii) Vì a(0+) = x(0+) ta cóthể xác định k(0) = a(0+) nếu a(0+) < ∞

Để chứng minh sự duy nhất giả sử k1 ∈ L1(0, T ), liên tục trênkhoảng (0, T ] và giải phương trình (2.3) Với một số nguyên n cố định

lớn, nếu h = Tn thì R0ha(s)ds < 1 Nếu k1(t) 6= k(t) trên đoạn [0, h] thì

Z h

0

|k1(s) − k(s)|ds =

Z h 0

|

Z t 0

a(s)k1(t − s) − k(t − s)ds|dt

≤

Z h 0

Z h s

|k1(t − s) − k(t − s)|dta(s)ds

≤

Z h 0

Z h 0

|k1(t) − x(t)|dta(s)ds

≤

Z h 0

|k1(t) − x(s)|ds

Suy ra k1(t) = k(t) trên đoạn [0, h] Vì

k(t + h) = a(t + h) −

Z h 0

a(t + h − s)k(s)ds −

Z t 0

a(t − s)k(s + h)

Lập luận tương tự thấy rằng

Z h 0

|k1(t + h) − k(t + h)|dt = 0,

Ta có k1(t) = k(t) với h ≤ t ≤ 2h Bằng phương pháp quy nạpk(t) = k1(t) trên (0, T ] Điều này chứng minh được sự duy nhất củax

Để chứng minh (iii) giả sử k(t) = 0, ∀t ∈ (0, T ) Lúc đó phươngtrình (2.3) có a(t) = 0 Nó mâu thuẫn với giả sử a(t) > 0 từ đó dẫnđến (iii) Điều phải chứng minh

2.2 Một số trường hợp đặc biệt của nhân a

Giả sử nhân a thỏa mãn tất cả các tính chất (A1)-(A3) đã nêu trongmục (2.1), khi đó ta thu được một số trường hợp đặc biệt của nhân a

k(t)dt = A (1 + A)−1 < 1.

Chứng minh Giả sử a /∈ L1(0, ∞) Nghiệm x(t) của phương trình

x(t) = 1 −

Z t 0

Z t 0

a(t − s)x(∞)ds → −∞,

Mâu thuẫn x(t) ≥ 0 và chứng minh được (i)

Bây giờ giả sử a ∈ L1(0, ∞) Nếu kí hiệu ∗ là phép biến đổi Laplacethì phương trình (2.3) có dạng

k∗(w) = a∗(w) − a∗(w)k∗(w), w ≥ 0

Vì a∗(0) = A chứng minh phần (ii)

Điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.2 Hàm số b(t) được gọi là hoàn toàn đơn điệu trên

khoảng (0, ∞) khi và chỉ khi b ∈ C∞(0, ∞) và

(−1)jb(j)(t) ≥ 0 (j = 0, 1, 2, , 0 < t < ∞)

Bổ đề 2.1 Nếu a(t) hoàn toàn đơn điệu trên khoảng (0, ∞) thì a(t) ≡

0 hoặc a(t) > 0 với mọi t ∈ (0, ∞)

Chứng minh Nếu a(t0) = 0 với t0 > 0 thì a0(t) ≤ 0 ta thấy rằnga(t) = 0 với mọi t ≥ t0 Từ (2.5) suy ra hàm a(t) dương Điều phảichứng minh

Bổ đề 2.2 Nếu a(t) hoàn toàn đơn điệu trên khoảng (0, ∞) và a(t) 6=

0 thì a(t) sẽ thỏa mãn (A3)

Chứng minh Giả sử tính chất 3 tương đương với hàm số log a(t) Điềunày tương đương với điều kiện

y(t) = a(t)an(t) − (a0(t))2 (0 < t < ∞)

Sử dụng (2.5) ta có

y(t) =

Z ∞ 0

e−wtdγ(w)

Z ∞ 0

z2e−ztdγ(z)

−

Z ∞ 0

we−wtdγ(w)

Z ∞ 0

ze−ztdγ(z)

=

Z ∞ 0

Z ∞ 0

z(z − w)e−t(z+w)dγ(z)dγ(w)

Sử dụng sự hội tụ tuyệt đối của tích phân ta được

Z ∞ 0

Z ∞ w

z(z − w)e−t(z+w)dγ(z)dγ(w)

=

Z ∞ 0

Z z 0

z(z − w)e−t(z+w)dγ(w)dγ(z)

=

Z ∞ 0

Z w 0

w(w − z)e−t(w+z)dγ(z)dγ(w)

Do

y(t) =

Z ∞ 0

Z w 0

( ) +

Z ∞ 0

Z ∞ w

( )

=

Z ∞ 0

Z w 0

(z − w)2e−t(z+w)dγ(x)dγ(w) > 0

Điều phải chứng minh

Hệ quả 2.2 Nếu a(t) khả tích và hoàn toàn đơn điệu trên khoảng(0, ∞) thì nghiệm k(t) của phương trình (2.3) thỏa mãn tất cả các kếtluận của định lý (2.2) và hệ quả 1 ở trên

Chứng minh Điều này được suy ra từ bổ đề (2.1 ) và (2.2) ở trên.Bây giờ chúng ta xét dãy kn xác định bởi (2.4) của chứng minh ở định

lý (2.2) Nó chỉ ra rằng có tồn tại một dãy con sao cho với T > 0 bất

kì thì dãy con hội tụ trong lớp L1(0, T ) đến nghiệm k

Vì nghiệm k của phương trình (2.3) là duy nhất, dễ dàng chỉ ra rằngtoàn bộ dãy kn → k trên L1(0, T ) Nếu hàm a(t) hoàn toàn đơn điệutrên nửa khoảng (0, ∞) có thể nói rằng kn → k hội tụ Điều phảichứng minh

Bổ đề 2.3 Giả sử a(t) thỏa mãn tất cả các giả thiết (A1)-(A3).Cho T > 0 cố định, cho ϕ và θ là không âm với θ ∈ L∞(0, T ) và

ϕ ∈ L∞(0, T ) Khi đó tồn tại nghiệm z không âm của phương trìnhz(t) =

Z t

0

a(t − s)θ(s)ds −

Z t 0

M a(t − s)θ(s)

M ds −

Z t 0

M a(t − s)ϕ(s)

M ds.

Vì M a(t) cũng thỏa mãn cả ba tính chất, không mất tính tổng quát

ta giả sử rằng 0 ≤ ϕ(s) ≤ 1 trên đoạn [0, T ] thì phương trình (2.6)

có dạng

z(t) = f (t) −

Z t 0

a(t − s)z(s)ds,

trong đó

f (t) =

Z t 0

a(t − s)θ(s) + (1 − ϕ(s))z(s)ds

Nếu k là nghiệm của phương trình (2.3) thì ta có

z(t) = f (t) −

Z t 0

k(t − s)f (s)ds,

hoặc

z(t) =

Z t 0

k(t − s)θ(s)ds +

Z t 0

k(t − s)(1 − ϕ(s))z(s)ds (2.6)

Ta thấy phương trình (2.6) và phương trình (2.7) là tương đương Nếutồn tại z(t) không âm thì hệ số của phương trình (2.7) là không âm

Từ z(t) không âm và (2.6) suy ra

0 ≤ z(t) ≤

Z t 0

a(t − s)θ(s)ds

Do đó tồn tại z(t) trên đoạn [0, T ] Điều phải chứng minh

Hệ quả 2.3 Nếu bổ đề (2.1) có θ(t) > thì z(t) > 0 với 0 < t ≤ T

Kết luận

Trên đây là toàn bộ nội dung khoá luận về đề tài “Tính giải được toàncục đối với phương trình tích phân Volterra phi tuyến với nhân suybiến” Trong khóa luận này, ngoài những kiến thức mở đầu chúng tôi

đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tíchphân Volterra phi tuyến với nhân suy biến và một vài trường hợp đặcbiệt của nhân suy biến thỏa mãn điều kiện Chúng tôi dẫn ra đượcđiều kiện để nói về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trìnhtích phân Volterra phi tuyến với nhân suy biến Mặc dù đã hết sức cốgắng song do hạn chế về thời gian, kiến thức và kinh nghiệm nên khoáluận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sựquan tâm và đóng góp ý kiến của Thầy, Cô và các bạn để khóa luậnnày được đầy đủ và hoàn thiện hơn Trước khi kết thúc khóa luận này,một lần nữa tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các Thầy, Côgiáo trong Khoa Toán, đặc biệt là thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn đãtận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi để hoàn thành khóa luận này Tôixin chân thành cảm ơn!