Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

Mở đầuTrên thực tế nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua môhình hóa tóan học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phươngtrình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm ri

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ HẢI

NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn

TS LÊ TÙNG SƠN

Thái Nguyên - 2014

Mục lục

Mở đầu

Trên thực tế nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua môhình hóa tóan học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phươngtrình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu làphương trình song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sựquan tâm rất lớn của rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư và nhà toán học Trongvòng 3 thập niên qua nhiều phương pháp mới hữu hiệu giải phương trìnhtrên đã được nghiên cứu và phát triển Cùng với sự phát triển mạnh mẽcủa máy tính điện tử, các phương pháp số đã trở thành công cụ đắc lực

để giải quyết các bài toán kỹ thuật tuy nhiên vẫn có không ít tác giả đã

sử dụng phương pháp gần đúng giải tích như phương pháp bình phươngcực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản để giải lớp phương trình song điềuhòa.Ngoài những phương pháp trên một số tác giả còn sử dụng phươngpháp lặp để giải phương trình song điều hòa và phương pháp này cũng làphương pháp đáng lưu ý và cần nghiên cứu

Nội dung chính của luận văn là trình bày các kết quả về lý thuyết vàthực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toánbiên đối với phương trình song điều hòa nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên

và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev

Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung,phần kết luận vàtài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết quả bổtrợ: một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, tổng quan ngắn vềbài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai và cấp bốn, địnhtính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai và phương trìnhkiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử, sựhội tụ của sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải số bàitoán biên của phương trình elliptic cấp hai trên miền hình chữ nhật

Chương 2: Trình bày một phương pháp tìm nghiệm giải tích giải bàitoán biên đối với phương trình song điều hòa gồm đề xuất phương pháp

và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp cho mô hình toán củamột bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đànhồi

Chương 3: Trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặptìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòanhờ việc sủ dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev Một số thựcnghiệm trên máy tính điện tử

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc – Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sưphạm – Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc về sự tận tâm và sự nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôithực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và quý thầy cô thamgia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 6 (2012-2014) đã quan tâm giúp đỡ

Toán-và mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tậptại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ

và kinh tế công nghiệp, các đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ vàkinh tế công nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thànhkhóa học này

Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tậphợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ

đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn chắc chắn không thể tránh khỏisai sót rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luậnvăn hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014

Người thực hiệnTrần Thị Hải

Định lý 1.3 Không gian L2(Ω) là tách được với 1 ≤ p < +∞, lồi đềuvới 1 < p < +∞.

Bất đẳng thức Holder Cho 1 ≤ p ≤ +∞, p0 là số liên hợp của số p,nghĩa là

Hệ quả 1.1 Với 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ thì Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω) và kf kLp (Ω) ≤Ckf kLq (Ω) , trong đó hằng số C phụ thuộc vào p, q

Định lý 1.4 Cho 1 ≤ p ≤ +∞ và p0 là số liên hợp với p, f ∈ [Lp(Ω)]∗,khi đó tồn tại duy nhất g ∈ Lp0(Ω) sao cho

1.1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian Wm,p(Ω)

Cho Ω là một miền giới nội trong Rn, (n = 1, 2, ), kí hiệu

là đa chỉ số với các thành phần αi là các số nguyên không âm, |α| =

α1 + α2 + + αn, p ≥ 1, f ∈ Lp(U ) với mọi tập con mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω

và C0∞(Ω) là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho suppf ⊂ Ω,trong đó suppf là giá trị của hàm f

Cho u, ω ∈ L1loc(Ω) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α

Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev Wm,p(Ω), trong đó m là một sốnguyên dương, được xác định bởi

Wm,p(Ω) = {u| u ∈ Lp(Ω), Dαu ∈ Lp(Ω), ∀α, |α| ≤ m} ,

với m = 0, đặt W0,p(Ω) = Lp(Ω), với p = 2, kí hiệu Wm,2(Ω) = Hm(Ω).Định lý 1.6 Không gian Wm,p(Ω) là không gian Banach tương ứng vớichuẩn

kf kWm,p (Ω) =



X

Định lý 1.7 Định lý Nhúng (The Sobolev imbedding Theorem) Cho Ω

là một miền giới nội trong Rn có biên khả vi lớp C1 Khi đó

H1(Rn) thỏa mãn

i) Pu = u trên Ω,

ii) kPukL2 (R n ) ≤ CkukL2 (Ω)

iii) kPukH1 (R n ) ≤ CkukH1 (Ω)

trong đó bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).

Định nghĩa 1.11 Không gian Sobolev H0s(Ω), trong đó Ω là một miềngiới nội nào đó trong Rn được xác định bởi

H0s(Ω) = C0∞(Ω),

trong đó C0∞(Ω) là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω

và bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1)

Định nghĩa 1.12 Không gian Sobolev Hs(Ω) với s không nguyên đượcxác định bởi

Hs(Ω) = {uk ∃eu ∈ Hs(Rn),u|eΩ = u, (u, ϕ) = (u, ϕ), ∀ϕ ∈ Ce 0∞(Ω)} ,

trong đó

kukHs (Ω) = inf

e u|Ω=ukeukHs (R n )

1.1.4 Vết của hàm trên biên

Định lý 1.13 Định lý vết Giả sử Ω là một miền mở trong Rn có biên

∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tínhliên tục

λ : H1(Ω) → L2(∂Ω)

sao cho với bất kỳ u ∈ H1(Ω) ∩ C0(Ω) ta có γ(u) = u|∂Ω

Hàm γ(u) được gọi là Vết của u trên ∂Ω

Định lý 1.14 Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó

i) H12(∂Ω) là một không gian Banach với chuẩn

iv) Tập {u|∂Ω, u ∈ C∞(Rn)} trù mật trong H12(∂Ω)

v) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục

Bất đẳng thức Poincare Tồn tại một hằng số CΩ sao cho

kukL2 (Ω) ≤ C(Ω)k∇ukL2 (Ω), ∀u ∈ H01(Ω)

trong đó , ∇u = ∂x∂u

1,∂x∂u

2, ,∂x∂u

n

, CΩ là hằng số phụ thuộc vào đườngkính của Ω, được gọi là hằng số Poincare và

H01(Ω) = {u|u ∈ H1(Ω), γ(u) = 0},

Bất đẳng thức Poincare có nghĩa: kuk = k∇ukL2 (Ω) là một chuẩn trên

H01(Ω) tương đương với chuẩn của H1(Ω) đã được xác định

hF, uiH−1 (Ω),H 1 (Ω)

kuk

H1(Ω)

1.2 Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương

trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp bốn

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u(x),

x = (x1, x2, , xn) ∈ Ω ⊂ Rn , trong đóΩ là miền giới nội với biênΓ = ∂Ω

aα(x), f (x) là hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính Với

m = 1, (1.2) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, với m = 2, (1.2) làphương trình đạo hàm riêng cấp 4

Giả thiết nghiệm của (1.2) được xét trongΩ ⊂ Rn Bài toán tìm nghiệmcủa (1.2) sao cho trên biên Γ = ∂Ω của Ω, nghiệm u(x) thỏa mãn một sốđiều kiện biên sau đây

Bj(u)|Γ = gj, j = 0, 1, , m − 1 (1.3)được gọi là bài toán biên (1.1), (1.2)

1.2.1 Định lý Lax-Milgram

(Xem [4]) Giả sử V là không gian Hilbert, dạng song tuyến tính ặ, ) :

V × V → R liên tục và V-elliptic theo nghĩa ∃α > 0, ∀υ ∈ V, ăυ, υ) ≥αkυk2 và f : V → R là dạng tuyến tính liên tục Khi đó bài toán biếnphân trừu tượng: tìm u ∈ V sao cho

ău, υ) = f (υ), ∀υ ∈ V

có nghiệm duy nhất

1.2.2 Bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai

A Bài toán Dirichlet

Giả sử A(x) = (aij(x))n×n, f ∈ H1(Ω) xét bài toán sau, gọi là bài toánDirichlet thuần nhất

là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β, Ω.

B Bài toán Neumann

Cho f ∈ H1(Ω)
0, xét bài toán sau, gọi là bài toán Neumann thuầnnhất

kukH1 (Ω) ≤ 1

α0

kf k(H1 (Ω))0,

trong đó α0 = min{1, α} Nếu f ∈ L2(Ω) thì nghiệm này thỏa mãn ướclượng

y0 ∈ H Mỗi xấp xỉ như vậy được xem như là giá trị lặp số lần tương ứng

k = 1, 2, Giá trị yk+1 có thể được nhận thông qua các giá trị ở các bướctrước yk−1, yk Một phương pháp lặp được gọi là một lớp hay hai lớp tùythuộc vào việc một hoặc hai giá trị lặp ở bước trước là cần thiết cho việctìm ra giá trị lặp yk+1 ở bước sau.

Một phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước tuyến tínhnếu nó có dạng

Bkyk+1 = Ckyk + Fk, k = 0, 1, , (1.11)trong đó, Bk, Ck là các toán tử tuyến tính từ H vào H, Fk ∈ H là mộthàm đã biết ở bước lặp thứ k, yk là giá trị lặp thứ k

Giả sử tồn tại Bk−1, đưa vào tham số τk+1 > 0 thỏa mãn các đẳng thức

với xấp xỉ ban đầu y0 ∈ H được lựa chọn sao cho phù hợp

Nếu Bk = I là toán tử đơn vị thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp hiện, nếu

Bk 6= I thì (1.16) được gọi là sơ đồ lặp ẩn

1.3.2 Sự hội tụ của các sơ đồ lặp

Định lý 1.22 (Xem [8]) Giả sử A là một toán tử tuyến tính, dương vàhoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert H, u là nghiệm của phươngtrình (1.14), khi đó ta có các sơ đồ lặp sau

với τk thỏa mãn lim

Nếu phương trình (1.14) được giải bởi sơ đồ lặp dừng (1.17), đặt zk =

yk − u là sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ, khi đó phương trìnhcủa zk có dạng

Bzk+1 − zk

τ + Azk = 0, k = 0, 1, , (1.16)

trong đó z0 = y0 − u

Giả sử B là tự liên hợp và tồn tại B−1, ta có định lý,

Định lý 1.23 Nếu A là toán tử dương, tự liên hợp (A = A∗ > 0, f ∈ H)

Chú ý 1.24 Điều kiện (1.21) đối với B cố định có thể xem như một quytắc lựa chọn các giá trị của τ để sơ đồ lặp hội tụ Nếu B = I, điều kiện

sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng phụ thuộc vào mối quan hệ

λk 1 − 12τ A
= 1 −12τ λk(A) > 0 hoặc 1 −12τ kAk > 0 Như vậy, phép lặp

sẽ hội tụ với mỗi τ thỏa mãn 0 < τ < kAk2

1.3.3 Sơ đồ lặp với tập tham số Chebyshev

Trong sơ đồ lặp hiện (1.16), nếu lựa chọn tập tham số τ1, τ2, , τn bởitập tham số tối ưu Chebyshev thì có thể việc cực tiểu hóa được tổng sốphép lặp n = n(ε)

Giả sử A = A∗ > 0, gọi γ1, γ2 lần lượt là các giá trị riêng nhỏ nhất vàlớn nhất của A, γ1 > 0

1+ρ 2n 1

≤ ε Bất đẳng thức trên luôn đúng nếu ρn1 ≤ ε

2,hay

trong đóΩ là hình chữ nhật có độ dài 2 cạnhL1, L2.Bu = uhoặcBu = ∂n∂u

,n là véctơ pháp tuyến ngoài của biên ∂Ω, là điều kiện biên trên các cạnhcủa Ω thỏa mãn ít nhất trên một cạnh nào đó phải có điều kiện Bu = u

để đảm bảo bài toán (1.24), (1.25) có nghiệm duy nhất

Phương pháp số được áp dụng trong phần này để giải gần đúng bàitoán (1.24), (1.25) là phương pháp sai phân nhằm rời rạc hóa bài toán ởmức vi phân về một bài toán sai phân một lưới điểm

Phủ Ω bởi lưới Ωkh = xij = (ik, jh) |i = O, M ;j = O, N ; Với k =

1.4.1 Phương pháp thu gọn đối với bài toán biên thứ nhấtXét hệ phương trình véctơ 3 điểm

Giả sử N = 2n, n > 0, kí hiệu C = C(0), Fj = Fj(0), j = 1, 2, , N − 1,khi đó từ (1.22) ta có

với k = m, m − 1, , 1 để giải được các ẩn còn lại, trong đó

Quá trình xuôi: Xác định các véctơ liên kết.

Bước 1 Cho trước p(0)j = Fj, j = 1, 2, , N − 1

Bước 2 Cho trước k = 1, 2, , N − 1, j = 2k, 2.2k, , N − 2k,

Quá trình ngược: Xác định các véctơ nghiệm

Bước 1 Xác định giá trị ban đầu Y0 = F0, YN = FN

Bước 2 Với mỗi k = n, (n − 1), , 1, j = 2k−1, 3.2k−1, 5.2k−1, , N −

2k−1, xác định các véctơ ϕ = Yj−2k−1 + Yj+2k−1, ϕ = p(k−1)j và với m =

1, 2, , 2k−1, giải các phương trình Cm,k−1υm = ψ + αm,k−1ϕ Khi đó Yj =

υ1 + υ2 + + υ2k−1

1.4.2 Phương trình thu gọn đối với bài toán biên thứ hai

Xét phương trình véctơ ba điểm

trong đó Yj là các véctơ nghiệm, Fj là các véctơ vế phải, F0, FN là cácvéctơ điều kiện biên.

Giả sử N = 2n, n > 0, kí hiệu C(0) = C, Fj(0) = Fj, j = 1, 2, , N − 1 bằngphương pháp khử liên tiếp làm tương tự như trong mục 1.4.1, sau (n − 1)

Bước 1 Cho trước qj(0) = Fj, p(0)j = 0, j = 0, 2, , N.

Bước 2 Với mỗi k = 1, 2, , n − 1, j = 2, 2.2k, , N − 2k , xác địnhvéctơ

trên miền hình chữ nhật Đó là những kiến thức, kết quả quan trọng làm

cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được trình bày trong chương 2 vàchương 3 của luận văn

sẽ được biểu diễn qua dãy các hàm riêng của toán tử là một cơ sở trựcchuẩn của không gian L2(Γ) Áp dụng phương pháp đề xuất cho mô hìnhtoán của một bài toán Cơ học: Bài toán mô tả sự uốn của bản mỏng vớibiên bị ngàm đàn hồi, sau khi phân rã bài toán về dãy các bài toán cấp

2 và thiết lập một phương trình toán tử cho nó, nghiệm giải tích cảu bàitoán biên ban đầu cũng đã được tìm thấy trong trường hợp bản mỏng làmột hình tròn

Giả sử bài toán (2.1) là giải được, tức nghiệm u(x) tồn tại và đủ trơn.

Sử dụng phép đặt ∆u(x) = υ(x) và kí hiệu, υ(x)|Γ = υ0(x) Xét trườnghợp bài toán (2.1) có thể được đưa về dãy các bài toán biên đối với phươngtrình Poisson sau

(

∆υ(x) = f (x), x ∈ Ω,υ(x) = υ0(x), x ∈ Γ, (2.2)

ta sẽ thiết lập cho υ0(x) một phương trình toán tử biên dạng

trong đó S là toán tử biên xác định trên tập các hàm trơn trong khônggian L2(Γ),F được xác định qua các dữ kiện vế phải của (2.1) Tiến hànhnghiên cứu các tính chất của toán tử F như: đối xứng, dương, xác địnhdương, hoàn toàn liên tục Trong quá trình đó, nếu ta tìm được một cơ

sở trực chuẩn của không gian L2(Γ) gồm dãy các hàm riêng của toán tử S

thì υ0(x) được tìm dưới dạng chuỗi, sau đó, thay υ0(x) vào (2.2), giải liêntiếp bài toán (2.2), (2.3), ta sẽ tìm được công thức biểu diễn nghiệm giảitích u(x)) của bài toán gốc (2.1)

2.2 Nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với

phương trình song điều hòa

Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

∆2u(x) = f (x), x ∈ Ω (2.5)

u = 0, x ∈ Γ, (2.6)

µ∆u + q−1∂u

∂n = 0, x ∈ Γ, (2.7)

trong đó Ω là một miền giới nội trong R2 có biên Γ đủ trơn, ∆ là toán

tử Laplace, µ là tham số không âm, q−1 là một hàm số dương, n là véctơpháp tuyến ngoài của biên µ Bài toán trên là mô hình toán học mô tả

sự uốn của bản mỏng với biên bị ngàm đàn hồi Giả sử đối với bài toán(2.5)-(2.7), nghiệm u(x) là tồn tại và đủ trơn Đầu tiên bài toán được đưa

về phương trình toán tử biên, sau đó nghiệm của phương trình này đượctìm trong dạng chuỗi biểu diễn qua cơ sở các hàm riêng của toán tử biêntheo phương pháp như đã trình bày trong (2.1)

2.2.1 Phương trình toán tử biên của bài toán gốc

Đặt ∆u = υ và kí hiệu υ|Γ = υ0, khi đó bài toán (2.5)-(2.7) được đưa

về dãy các bài toán sau

có nghiệm duy nhất υ ∈ Hs+12(Ω) và do đó (2.9) có duy nhất nghiệm

u ∈ Hs+52(Ω) Trong (2.8), υ0 là ẩn hàm chưa biết sẽ phải xác định saocho thỏa mãn điều kiện: khi thay υ0 vào bài toán (2.8), giải liên tiếp 2 bàitoán (2.8), (2.9), ta được nghiệm u của bài toán (2.5)-(2.7) Để tìm υ0,trước hết chúng tôi sẽ sử dụng điều kiện (2.7) để thiết lập một phươngtrình toán tử cho nó

Gọi υ, u lần lượt là các nghiệm của các bài toán (2.8), (2.9), đặt υ =

υ1 + υ2 thay vào (2.8), u = u1 + u2 thay vào (2.9), từ các bài toán (2.8),(2.9) ta nhận được dãy bốn bài toán biên cấp hai dưới đây

Toán tử B đầu tiên được xác định trên không gian Hs(Γ), với s ≥ 0, sau

đó được thác triển liên tục lên toàn không gian L2(Γ)

Từ (2.15), (2.16), đối chiếu với (2.12), (2.13) và từ công thức (2.14) xácđịnh toán tử B, ta có một phương trình giữa υ0 và u2

(2.19)

Với giả thiết ban đầu u là nghiệm của bài toán (2.5)-(2.7) nên điều kiệnbiên (2.7) được thỏa mãn, tức là



µq∆u + ∂u

∂n



Γ

= −∂u1

∂n

... giải liêntiếp toán (2.2), (2.3), ta tìm cơng thức biểu diễn nghiệm giảitích u(x)) tốn gốc (2.1)

2.2 Nghiệm giải tích tốn biên đối với< /h3>

phương trình song điều hịa... Giả sử toán( 2.5)-(2.7), nghiệm u(x) tồn đủ trơn Đầu tiên toán đưa

về phương trình tốn tử biên, sau nghiệm phương trình đượctìm dạng chuỗi biểu diễn qua sở hàm riêng toán tử biêntheo phương. .. dụng phương pháp đề xuất cho mơ hìnhtốn tốn Cơ học: Bài tốn mơ tả uốn mỏng vớibiên bị ngàm đàn hồi, sau phân rã toán dãy toán cấp

2 thiết lập phương trình tốn tử cho nó, nghiệm giải tích