Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và kiểu song điều hoà

Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và kiểu song điều hoà

LÊ TÙNG SƠN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI BÀI TOÁN BIÊN

ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

VÀ KIỂU SONG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Toán học tính toán

Mã số: 62.46.30.01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2009

[1] Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn (2001), Xây dựng nghiệm giải tích của

một bài toán biên đối với phương trình song điều hoà, Tạp chí Khoa

học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 4(20), 66-71

[2] Dang Quang A, Le Tung Son (2006), Iterative method for solving a

boundary value problem for biharmonic type equation, Tạp chí Tin

học và Điều khiển học, Vol 22, No 3, 229-234

[3] Dang Quang A, Le Tung Son (2007), Iterative method for solving

a mixed boundary value problem for biharmonic equation, In

book: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, Eds N

M Chuong et al World Scientific Publishing Co 103-113

[4] Dang Quang A, Le Tung Son (2009), Iterative method for solving a

problem with mixed boundary conditions for biharmonic equation,

Advances in Applied Mathematics and Mechanics, (AAMM) Vol

1, No 5, 683-698 (online)

[5] Lê Tùng Sơn (2007), Xây dựng toán tử biên - miền cho một bài

toán biên đối với phương trình kiểu song điều hoà, Tạp chí

Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 1(41), 14-17

[6] Vũ Vinh Quang, Lê Tùng Sơn (2008), Phương pháp lặp giải bài

toán biên hỗn hợp giữa phương trình elliptic và phương trình

song điều hoà, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái

Nguyên, 3(47), 80-87

Các kết quả chính của luận án được báo cáo tại

- “Second International Conference on Abstract and Applied

Analysis”, ICAAA -05, Quy Nhơn, 4-6/9/2005

- Hội thảo Toàn Quốc lần thứ II về “Các ứng dụng Toán học”,

Đại học Bách khoa, Hà Nội, 23-25/12/2005

- Hội thảo Khoa học Quốc gia lần thứ III “Nghiên cứu cơ bản và

ứng dụng Công nghệ thông tin”, FAIR 2007, Đại học Nha Trang,

9-10/8/2007

- Seminar của Viện Toán học

- Seminar của khoa Toán - Cơ - Tin, ĐHKHTN - ĐHQGHN

- Hội đồng Khoa học Viện CNTT

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Phản biện 1: GS TSKH Lê Ngọc Lăng Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Đình Sang Phản biện 3: PGS TS Hoàng Văn Lai

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước tại hội trường Viện Công Nghệ Thông tin -

Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi 14giờ, ngày 31 tháng 8 nảm 2009

Có thể tìm hiểu luận án tại:

Thư viện Quốc gia Việt Nam Thư Viện Viện Công nghệ Thông tin Thư viện Trường Đại học Sư phạm-Đaị học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU

Phương pháp số được phát triển trong hướng giải quyết vấn đề

tìm nghiệm xấp xỉ cho các bài toán biên đối với phương trình đạo hàm

riêng Nhiều bài toán trong cơ học, vật lý, kỹ thuật, dẫn đến việc giải

phương trình song điều hoà

Δ =2 (1) Các bài toán dẫn đến phương trình (1) đã và đang thu hút sự quan

tâm của nhiều nhà nghiên cứu Đã có nhiều hướng tiếp cận khác

nhau Giải bài toán song điều hoà hai chiều có phương pháp hàm

Green, phương pháp hàm phức và một số phương pháp gần đúng giải

tích như phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp

Bubnov - Galerkin,… Trong đó, các vấn đề định tính cũng như các

đánh giá về độ phức tạp của khối lượng tính toán của các phương

pháp nói trên chưa được đề cập đến

Trong những năm gần đây, nhiều phương pháp mới hữu hiệu

hơn cho việc giải phương trình (1) đã được nghiên cứu và phát triển

như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương

pháp phương trình tích phân biên và phần tử biên, phương pháp bình

phương cực tiểu, phương pháp nghiệm cơ bản…

Các phương trình kiểu song điều hoà

mô tả sự uốn của bản trên nền đàn hồi cũng đã được Benzine,

Katsikadelis và Kallivokas giải bằng phương pháp tích phân biên

Ý tưởng đưa việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình song

điều hòa về dãy các bài toán đối với phương trình Poisson thực hiện

đầu tiên bởi Palsev (1966), Meller (1968), Dorodnitsyn (1971)…

Năm 1992, Abramov và Ulijanova đã đề xuất một phương pháp lặp

đưa một bài toán Dirichlet về dãy các bài toán cấp hai và dự đoán phương pháp lặp này sẽ hội tụ nhưng chưa chứng minh được về mặt

lý thuyết Tác giả Đặng Quang Á, khi nghiên cứu việc tìm nghiệm xấp xỉ cho các bài toán biên, trong các năm: 1994, đối với phương

n

∂ trên miền giới nội Ω ⊂R m, trong đó ε >0,a≥0,b≥0,a2−4bε≥ 0

1998, vẫn đối với bài toán trên trong trường hợp a2−4bε < với các 0

Γ

∂

2

1

Γ

∂

toán đang xét về dãy các bài toán cấp hai, chứng minh được sự hội tụ của dãy lặp đề xuất, chỉ ra tốc độ hội tụ và cách lựa chọn tham số lặp tối ưu Trong đó tác giả đã đưa ra và chứng minh một Định lí về sự

hội tụ của dãy lặp giải lặp phương trình toán tử Au=f khi toán tử A là

tuyến tính, đối xứng, dương, hoàn toàn liên tục Theo hướng nghiên cứu trên, trong các năm 2006, 2007, 2008, là các kết quả nghiên cứu của Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn đối với một số bài toán biên,… Trên cơ sở đó, tác giả Đặng Quang Á, bằng các kết quả nghiên cứu liên tục từ 1994 đến nay đã đặt nền móng cho việc tìm kiếm một phương pháp chung nghiên cứu sự hội tụ của các quá trình lặp đưa các bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai

Theo hướng nghiên cứu của Abramova, Ulijanova và Đặng Quang Á

đã đề xuất, luận án trình bày các kết quả nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm tính toán của phương pháp tìm nghiệm cho một số bài toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu song điều hoà nhờ công cụ hỗ trợ là toán tử biên hoặc toán tử biên - miền và sơ đồ lặp hai lớp của Samarski- Nikolaev

Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết

luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Trình bày hệ thống các kiến thức chuẩn bị, các kết

quả bổ trợ, gồm một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, định

tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, đối với

phương trình kiểu song điều hòa, phương pháp lặp hai lớp giải

phương trình toán tử, sự hội tụ của các sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn

khối lượng tính toán giải số bài toán elliptic cấp hai

bài toán biên đối với phương trình song điều hòa, gồm đề xuất

phương pháp và các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp

cho mô hình toán của một bài toán Vật lý: mô tả sự uốn của bản

mỏng với biên bị ngàm đàn hồi

toán biên đối với phương trình song điều hoà và phương trình kiểu

song điều hoà với điều kiện biên không hỗn hợp và hỗn hợp, gồm đề

xuất phương pháp, các kết quả nghiên cứu khi áp dụng phương pháp

đã đề xuất cho một số bài toán biên, trong đó có một bài toán là mô

hình toán học của bài toán Thuỷ động học đã được các nhà Vật lý Mỹ

công bố trên Physical Review E 71, 041608 năm 2005 Phương pháp

cũng được áp dụng cho bài toán nhiễu

Các thực nghiệm trình bày trong luận án được thực hiện trên

máy tính PC trong môi trường MATLAB

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Dựa trên các tài liệu của các tác giả R Adams, J P Aubin,

G.I Marchuk, D Cioranescu, Đ Q Á, J L Lions, E Magenes,

A Samarski, E S Nikolaev, trong chương 1 trình bày một số kiến

thức cơ bản, các kết quả được sử dụng và làm cơ sở cho các kết quả

nghiên cứu trình bày trong chương 2 và chương 3, bao gồm

1.1 Không gian Sobolev

- Định nghĩa và một số tính chất trong các không gian L p( )Ω ,

( )Ω

m, p

H , H−1( )Ω , H−1 2/ ( )∂Ω

- Định lý nhúng, vết của hàm trên biên và Định lý vết, công thức Green, bất đẳng thức Poincare cùng với các khái niệm hằng số vết

( )

γ Ω

1.2 Tổng quan ngắn về bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và cấp bốn

Các kiến thức trong phần này bao gồm:

- Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 và cấp 4

- Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann, bài toán Robin, bài toán biên đối với phương trình kiểu song điều hòa

- Định lí Lax - Milgram và các Định lí về sự duy nhất nghiệm của các bài toán biến phân trừu tượng cho các bài toán trên

1.3 Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán tử

Việc tìm nghiệm xấp xỉ cho một bài toán biên được đưa về giải lặp phương trình toán tử bởi sơ đồ lặp hai lớp của Samarski - Nikolaev có dạng chuẩn như sau

+

+

k

với xấp xỉ ban đầu y0 cho trước Ba trường hợp đặc biệt của (1.1) là

sơ đồ lặp hiện, sơ đồ lặp ẩn và sơ đồ lặp dừng Nếu (1.1) là sơ đồ lặp

dừng, đã có các kết luận về điều kiện đủ cho sự hội tụ của (1.1)

Trong trường hợp (1.1) là sơ đồ lặp hiện, nếu lựa chọn tập tham số

τ τ1 , 2 , ,τnbởi tập tham số Chebyshev thì có thể cực tiểu hoá được

tổng số phép lặp

1.4 Phương pháp sai phân giải phương trình elliptic cấp hai

( ) ( )

⎧⎪

⎨

⎪⎩

Bu x g x , x , (1.2) trong đó Ω là hình chữ nhật có kích thước L1, L2, B là toán tử biên với

Nếu (1.2) là bài toán Dirichlet thì nó luôn được đưa về hệ

phương trình véc tơ 3 điểm dạng

⎨

⎩

0 0

Nếu (1.2) là bài toán Neumann thì nó được đưa về hệ phương

trình véc tơ 3 điểm dạng

−

⎨

⎩

0 1 0

1

2

2

(1.4)

trong đó C là ma trận ba đường chéo trội, F j là các véc tơ giá trị của

nghiệm trên một hàng, F0 và F N là các véc tơ điều kiện biên Giả thiết

=2n >0

Samaski, Nikolaev đã đưa ra các thuật thu gọn khối lượng tính toán

giải các hệ phương trình (1.3), (1.4) với độ phức tạp tính toán là

Kết luận Nội dung chương 1 là những kiến thức, kết quả quan trọng

làm cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được trình bày trong

chương 2 và chương 3 của luận án

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GIẢI TÍCH CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HOÀ

2.1 Lược đồ chung

Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hoà

( ) ( ) ( ) ( )

2

0 1

⎪

⎨

trong đó Ω là một miền giới nội trong R n có biên Γ đủ trơn, Δ là toán tử Laplace, B j là các toán tử biên, f x , g x là các hàm cho ( ) j( )

trước Giả sử (2.1) là giải được, tức nghiệm ( )u u x= tồn tại và đủ trơn Nội dung lược đồ bao gồm

- Đưa bài toán (2.1) về một phương trình toán tử xác định trên biên Γ của Ω

- Nghiên cứu các tính chất của toán tử

- Tìm một cơ sở trực chuẩn củaL2( )Γ là dãy các hàm riêng của toán tử

- Biểu diễn nghiệm của bài toán (2.1) qua dãy các hàm riêng vừa tìm được

2.2 Nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với phương trình song điều hoà

Xét bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

2

1

∂

∂

u

n

trong đó Ω là một miền giới nội trong R2có biên Γ đủ trơn, Δ là toán

tử Laplace, μ là tham số không âm, q− 1 là một hàm số dương, n là

vecto pháp tuyến ngoài của biên Γ Bài toán (2.2) mô tả sự uốn của

bản mỏng với biên bị ngàm đàn hồi Đặt Δ =u v và kí hiệu vΓ =v , 0

từ bài toán (2.2), ta nhận được dãy 2 bài toán đối với phương trình

Poisson

0

v f , x ,

v v , x ,

⎧

u v, x ,

u , x

⎧

⎩

Đưa vào toán tử biên B được xác định bởi công thức

Γ

∂

=

∂

0

u Bv

0 =

toán tử đơn vị

Các tính chất của S được thể hiện thông qua các tính chất của

toán tử B bởi định lý

Định lí 2.1. Nếu Bv0 u

n Γ

∂

=

∂ , v ∈L2( )Γ

0 thì

với tích vô hướng ( )v, v L( )Γ v.vd

Γ

ii) B là toán tử tuyến tính, hoàn toàn liên tục, ánh xạ không gian

( )Γ

s

H vào H s+ 1( )Γ , H s( )Γ là không gian Sobolev, s≥0

Xét Ω là một hình tròn bán kính R, sử dụng phương pháp toạ độ

Ω

Ω

∫

2 2 2

2

2 2

2 cos 1

ϕ ϕ

+

=

r r R

R rr

G x,x ln

( )

tìm được dãy

n = 1, 2, các hàm riêng của toán tử B ứng với các giá trị riêng

( )

0 ,

n

không gian L2( )Γ Với giả thiết q = 1, μ> 0, giả sử vế phải F có khai

1

∞

=

n

1

=

= +∑ n n+ n n

n

các hệ số chưa biết Sau khi tính toán, rút gọn, ta thu được

0 1

n

A

=

0 2 0

0

1 2

R

2

0

1

⎛ ⎞

r

2

0

1

⎛ ⎞

+ ∫R ⎝ ⎠n

r

B d ( r )r( R r ) dr.

0

2

+

( 0 )

1 0

2

∞

=

π

μ λ

Vì vậy nghiệm u x của bài toán (2.2) được tính bởi công thức ( )

( ) ( ) ( )

Ω

= −∫

u x G x,x v x dx ,

∂

∂

s

G x,s

Trong hệ tọa độ cực đã cho, cơ sở {e , e , g là dãy các hàm riêng 0 n n}

ϕ

Γ

∂

−Δ = −

1

s

n

với∀ ≥ μ 0 ta có

n

s

μ

+

nên v0∈H s( )Γ , vì vậy u H∈ s+5 2/ ( )Ω .

Kết luận Công đoạn tìm ra và một cơ sở trực chuẩn của không gian

2

trọng và phải trải qua nhiều phép tính phức tạp, mặt khác, trong suôt

quá trình tính toán, đòi hỏi các tích phân phải được tường minh Các

khó khăn trên cho thấy, phương pháp này chỉ áp dụng mang tính khả

thi cho một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song

điều hoà (2.1) Các kết quả của chương 1 được công bố trong [1]

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM NGHIỆM SỐ TRỊ CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HOÀ VÀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SONG ĐIỀU HOÀ 3.1 Lược đồ chung

Xét bài toán

=

⎪

⎪

⎩

2

1

Un

i

( ≥2) Γ

n

f, g ji là các hàm cho trước Với m = 1, (3.1) là bài toán biên với điều

kiện biên hỗn hợp Giả sử bài toán (3.1) là giải được Để tìm nghiệm

số trị cho bài toán (3.1), trước hết, ta phân rã bài toán (3.1) về dãy các bài toán cấp hai, sau đó đưa bài toán (3.1) về phương trình toán tử biên hoặc toán tử biên - miền dạng

Sω = F , (3.2)

Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp (+1)− ( )+ ( )= =

0 1 2

k

S F, k , , , ,

tiến hành giải lặp phương tình toán tử (3.2) cho việc tìm nghiệm xấp

xỉ của bài toán (3.1), ở đây τ là tham số lặp

Tiến hành nghiên cứu các tính chất của toán tử S Khi đó, nếu

hoặc là toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương thì sơ đồ lặp (3.3) sẽ hội tụ về nghiệm gốc u(x) của bài toán (3.1)

- S là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương thì sử dụng kỹ thuật

ngoại suy theo tham số, tức là gây nhiễu điều kiện biên của (3.1) bởi

tham số bé δ, đưa phương trình (3.2) về dạng

Sδωδ = F , (3.4)

trong đó Sδlà toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương được xác

sử dụng với sự có mặt của tham số bé δ

Từ (3.3), đưa ra quá trình lặp và công thức đánh giá sai số giữa

hai bước lặp kề nhau

Bước cuối là tiến hành thực nghiệm kết quả trên máy tính đối

nghiệm này vẫn được tiến hành kể cả trong trường hợp các tính chất

3.2 Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình kiểu

song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp

Xét bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp sau

∂

2 1

2

u

trong đó Ω là miền giới nội trong R , (n n ≥ 2) có biên Γ là liên tục

Lipschits, Γ = Γ1 ∪ Γ2 (xem hình 1)

Giả sử nghiệm của bài toán trên tồn tại và đủ trơn

3.2.1 Phương trình toán tử biên - miền của bài toán gốc

Đặt Δu = v, ϕ = -bu và ký hiệu

Γ=

các bài toán cấp hai

Ω

Hình 1

⎧

⎨

⎩

ϕ

⎩

u v, x ,

u g , x , (3.6) trong đó v0 và ϕ là các hàm chưa biết Để tìm v0,ϕ , đưa vào toán tử

1

⎜ ⎟

⎝ ⎠ϕ

v , Bω = Γ 1

∂

⎜ ∂ ⎟

⎜ + ⎟

⎝ϕ ⎠

u b n bu

khi đó bài toán (3 5) được đưa về phương trình toán tử sau

Bω = F , (3 8)

2 1

2 Γ

ν

u

b g bu

u2 là nghiệm tìm được từ các bài toán dưới đây

2

2 2 2 0

Δ = ∈Ω

⎧

⎪ = ∈Γ

⎨

⎪ = ∈Γ

⎩

v f , x ,

v , x ,

v g , x ,

2

Δ = ∈Ω

⎧

⎩

u v , x ,

u g , x

H = L2(Γ1) × L2(Ω) với tích vô hướng

( ) 2( ) ( )2( )

1

0 0 L L

1

0 0 1

v v d ϕϕdx,

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

ϕ ϕ

, H, ,

Định lý 3.1 Với toán tử B được xác định bởi (3.7) Khi đó, trên không gian Hilbert H, ta có

i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương

ii) B được phân tích thành tổng của hai toán tử: một toán tử tuyến

tính, đối xứng, dương và hoàn toàn liên tục và một toán tử chiếu

iii) B giới nội

Theo kết quả trên thì B=B * > 0 Do đó, trong trường hợp này,

ta sẽ gây nhiễu bài toán gốc cho việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán

ban đầu

3.2.2 Nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc qua bài toán nhiễu

Gây nhiễu bài toán (3.5) bởi tham số dương nhỏ δ, ta có bài toán

nhiễu sau

2

,

u

n

δ δ

δ

∂

∂

(3.10)

Gọi u, uδ lần lượt là nghiệm của bài toán (3.5) và (3.10)

Định lý 3.2 Giả sử ∈ s− 4( )Ω

( )

−

∈ 5 2 Γ ≥

2 s / 2 4

khai triển dưới dạng tổng sau

1 0

1

5 0

2

+

=

i i

trong đó y0 = u là nghiệm của bài toán (3.5), y i (i=1, 2, , N) là các

i

và zδ H2( )Ω ≤C1, C1 không phụ thuộc vào δ

Từ kết quả của Định lý 3.2, nghiệm xấp xỉ U của bài toán (3.5) E

được khai triển dưới dạng

1 1

N E

i i i

=

1 1

i

i

(3.58) (3.59) (3.60) (3.61)

i

uδ là nghiệm của bài toán (3.10) với tham số δi, (i = 1, 2, 3, , N+1) thỏa

2

H

Ω

không phụ thuộc vào δ

3.2.3 Phép lặp giải bài toán nhiễu

Tiến hành tương tự như khi đưa bài toán (3.5) về phương trình toán

tử (3.8), bài toán nhiễu (3.10) được đưa về phương trình toán tử

vớiωδ= vδ0

δ

ϕ

⎝ ⎠, vδ0 = Δuδ Γ1, ϕδ = −buδ, Bδ = +B δP , 1

bởi (3.7) và F được xác định bởi (3.9) Từ đó suy ra Bδ giới nội và

Bδ = Bδ* ≥ δI, I là toán tử đơn vị Sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình

(3.11) được cho bởi công thức

1

0,1,

+

−

δ δ

τ

( k ) ,k

Sơ đồ lặp (3.12) có thể được hiện thực hóa bởi quá trình lặp sau

Bước 1 Cho giá trị xấp xỉ ban đầu cặp ( ( )0 ( )0 )

0

v ,δ ϕδ

Bước 2 Biết ( )k0

vδ và ϕδ( )k , k = 0, 1, , giải liên tiếp hai bài toán

( ) ( )

⎧Δ = + ∈Ω

⎨

⎪⎩

k

v f , x ,

v v , x ,

v g , x ,

δ

ϕ

và

( )

⎪

⎨

⎪⎩

k

u v , x ,

u g , x

δ

Bước 3 Tính xấp xỉ mới của vδ0và ϕδ

∂

1

(k )

,k

u

n

δ

+

1 ( ) ( )

Khi đó ( + 1)

0

k

vδ được tính theo (3.14), ϕδ(k+ 1) được tính theo (3.15) sẽ

thoả mãn (3.12)

3.2.4 Một số thực nghiệm và kết quả

Chọn trước nghiệm chính xác của bài toán gốc, các thực nghiệm

nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (3.13)-(3.15) về nghiệm

+

2

τ

tham số nhiễu δ = ε1/ 3 = ( )2

O h

kê kết quả thực nghiệm, Error =|| U E−u||∞, Ki lần lượt là số lần lặp

cho việc tìm

i

uδ , i = 1, 2, 3

Lưới K 1 K 2 K 3 Err T/g (s)

16 x 16

32 x 32

64 x 64

13

23

42

19

37

70

24

48

93

0.0023 0.0007 0.0003

0.88 4.95 42.51

Lưới K 1 K 2 K 3 Error T/g (s)

16 x 16

32 x 32

64 x 64

10

17

27

16

26

39

21

33

47

0.0050 0.0013 0.0003

0.78 3.52 23.59

Nhận xét Nếu cho δ = 0 thì quá trình lặp (3.13)-(3.15) không hội tụ

nữa Điều đó càng chứng tỏ vì sao ta phải gây nhiễu bài toán (3.5)

bởi tham số nhiễu δ dương đủ bé và ngoại suy nghiệm của nó theo δ

Các kết quả trong 3.2 được công bố trong [3]

3.3 Nghiệm số trị của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp

Mô hình toán của bài toán Thuỷ động học trong Physical Review E 71,

041608 như sau

( )

Γ

∂ =∂Δ = = ∂ = − Δ

∂ =∂Δ = = ∂ = Δ = Δ =

2

2

0

0

top

u , x, y ,

, u U , U b u,

, u , b u, u u ,

(3.16)

Γ = Γ ∪ Γ ∪ Γ ∪ Γ ∪ Γ1 2 3 4 5 được mô tả trong hình 2,

Hình 2

< < 1 2>

Tổng quát, chúng tôi xét bài toán

( )

Γ

∂ = ∂Δ = = ∂ + Δ = ∂ =

∂Δ = = ∂ − Δ = = Δ =

2

2

u f , x, y ,

g , g , u g , b u g , g ,

g , u g , b u g , u g , u g ,

(3.17)

Ω

y

l2

Γ1

Γ2

Γ3

x