Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản

Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm khoa Toán vớimong muốn có được sự hiểu biết về lý thuyết borno đặc biệt là các cáchxây dựng một borno mới từ những borno đã biết gắn với các phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

********

PHẠM THỊ LAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BORNO CƠ BẢN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này, em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trựctiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tạitrường cũng như trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đồngthời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích, các thầy côtrong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Ban chủ nhiệmkhoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốtnghiệp của mình

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận do điều kiện về mặt thờigian, do trình độ có hạn và đây cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa họcnên bài khóa luận của em cũng không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sótnhất định Vì vậy, em rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Trần Văn Bằng thìkhoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Để hoàn thành được bản khóa luận tốt nghiệp này em đã có

sử dụng một số tài liệu tham khảo của các nhà khoa học

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số phương pháp xây dựngborno cơ bản" không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Phạm Thị Lan

Mục lục

1.1 Không gian véctơ 1

1.2 Một số khái niệm liên quan đến borno 3

2 Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản 9 2.1 Borno đầu 9

2.2 Borno tích 13

2.3 Borno cảm sinh: Không gian borno con 14

2.4 Borno sinh bởi một họ tập con 15

2.5 Giới hạn xạ ảnh 16

2.5.1 Họ xạ ảnh borno 16

2.5.2 Borno giới hạn xạ ảnh 18

2.6 Borno cuối 18

2.7 Borno thương 19

2.8 Giới hạn quy nạp borno 20

2.8.1 Họ quy nạp borno 20

2.8.2 Borno giới hạn quy nạp 22

2.9 Tổng trực tiếp borno: Borno hữu hạn chiều 22

2.9.1 Tổng trực tiếp borno 22

2.9.2 Borno tổng trực tiếp và borno tích 23

2.9.3 Tổng trực tiếp là giới hạn quy nạp đặc biệt 24

2.9.4 Borno hữu hạn chiều 24

2.9.5 Không gian con bù borno 24

2.10 Sự ổn định của tính chất tách 25

2.11 Tập đóng borno: Tính chất tách của thương borno 27

2.12 Không gian véctơ borno tách liên kết 29

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ra đời từ đầu thế kỷ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt được nhiềuthành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu vàtrình bày các kiến thức toán học Giải tích hàm đã được đưa vào chươngtrình Đại học như một phần bắt buộc, tuy nhiên với lượng thời gian cóhạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó Tronggiải tích hàm thì lý thuyết topo đã và đang phát triển rất sâu rộng và gầnđây có xuất hiện thêm một lý thuyết mới có tên là lý thuyết Borno Cụthể lý thuyết Borno là lý thuyết "đối ngẫu" với lý thuyết Topo, trong khi

lý thuyết topo được xây dựng xuất phát từ khái niệm tập mở (hay lâncận) thì lý thuyết borno lại được xây dựng xuất phát từ khái niệm tập bịchặn.Tuy nhiên hướng nghiên cứu về 2 lý thuyết này là tương đối giốngnhau Sau khi đưa ra khái niệm topo người ta tiếp tục đi xây dựng cáckhái niệm cơ bản khác như: khái niệm topo đầu xác định bởi họ ánh xạ,topo cuối xác định bởi họ ánh xạ, topo cảm sinh, không gian topo con,không gian topo tích, không gian topo thương và tổng trực tiếp các khônggian topo Tương tự như vậy sau khi đưa ra khái niệm borno và các kháiniệm khác có liên quan đến borno người ta cũng đi xây dựng các khái niệmtrên gắn với borno Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm khoa Toán vớimong muốn có được sự hiểu biết về lý thuyết borno đặc biệt là các cáchxây dựng một borno mới từ những borno đã biết gắn với các phương phápxây dựng không gian cơ bản trong giải tích hàm nên em đã chọn đề tài

"Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản" làm khóa luận tốtnghiệp đại học của mình Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Khóa luận trình bày một số khái niệm cơ bản trong khônggian véctơ và một số khái niệm liên quan tới borno.

Chương 2: Khóa luận trình bày một số phương pháp xây dựng borno

cơ bản từ những borno đã biết

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứ về lý thuyết borno

- Nghiên cứu về một số phương pháp xây dựng borno cơ bản

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tập chung nghiên cứu về borno và các phương pháp xây dựng borno

cơ bản từ những borno đã biết

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh và tổng hợp kiến thức

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Cho I 6= ∅ là một tập chỉ số sắp thứ tự và có định

hướng Tức là trên I được trang bị một quan hệ thứ tự và với mỗi cặp

(i, j) ∈ I × I thì đều tồn tại k ∈ I : k ≥ i, k ≥ j

Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ei)i∈I là một họ các không gian véctơ xác địnhtrên trường K Giả sử với mỗi cặp (i, j) ∈ I × I: i ≤ j tồn tại ánh xạtuyến tính uji : Ei −→ Ej sao cho họ các ánh xạ tuyến tính (uji) thỏamãn các điều kiện đây:

(i) Với mỗi i ∈ I, uii : Ei −→ Ei là ánh xạ đồng nhất trên Ei

(ii) Với mỗi i, j, k ∈ I: i ≤ j ≤ k ta có uki = ukj ◦ uji

Khi đó họ (Ei, uji) được gọi là họ quy nạp các không gian véctơ

Định lý 1.1 Giả sử (Ei, uji) là một họ quy nạp các không gian véctơ xácđịnh trên trường K Khi đó tồn tại một không gian véctơ E trên K và cácánh xạ tuyến tính ui : Ei −→ E thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) ui = uj ◦ uji, ∀i ≤ j

(ii) Với mỗi không gian véctơ F bất kỳ và họ các ánh xạ tuyến tính

vi : Ei −→ F sao cho vi = vj ◦ uji, ∀i ≤ j thì tồn tại duy nhất một ánh xạtuyến tính v : E −→ F thỏa mãn: vi = v ◦ ui, ∀i ∈ I

Khi đó E là duy nhất, sai khác một đẳng cấu với F và E được gọi là giớihạn quy nạp của họ quy nạp các không gian véctơ (Ei, uji)

Định nghĩa 1.3 Giả sử (Ei)i∈I là một họ các không gian véctơ xác định

trên trường K Giả sử với mỗi cặp (i, j) ∈ I × I: i ≤ j tồn tại ánh xạtuyến tính pij : Ej −→ Ei và họ các ánh xạ tuyến tính (pij) thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(i) Với mỗi i ∈ I, pii là ánh xạ đồng nhất trên Ei

(ii) Với mỗi i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có pik = pij ◦ pjk

Khi đó họ (Ei, pij) được gọi là họ xạ ảnh các không gian véctơ

Định lý 1.2 Giả sử (Ei, pij) là một họ xạ ảnh các không gian véctơ xácđịnh trên trường K Khi đó tồn tại một không gian véctơ E trên K và cácánh xạ tuyến tính pi : E −→ Ei thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) pi = pij ◦ pj, ∀i ≤ j

(ii) Với mỗi không gian véctơ F bất kỳ và họ các ánh xạ tuyến tính

qi : F −→ Ei sao cho qi = pij ◦ qj, ∀i ≤ j thì tồn tại duy nhất ánh xạtuyến tính q : F −→ E thỏa mãn: qi = pi ◦ q, ∀i ∈ I

Khi đó không gian véctơ E là duy nhất, sai khác một đẳng cấu với khônggian véctơ F và E được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ xạ ảnh các khônggian véctơ (Ei, pij)

Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường

K và A ⊂ E Khi đó ta nói:

(i) A là một tập tròn nếu ∀λ ∈K : |λ| ≤ 1 thì ta có λA ⊂ A

(ii) A là một tập lồi nếu ∀λ, µ ∈ R+ : λ + µ = 1 thì ta có λA + µA ⊂ A.(iii) A là một tập đĩa nếu A vừa lồi, vừa tròn

(iv) Bao tròn (tương ứng: bao lồi, tương ứng: bao đĩa) của tập A là mộttập tròn (tương ứng: tập lồi, tương ứng: tập đĩa) nhỏ nhất chứa A

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là không gian véctơ xác định trên trường K và

A ⊂ E Khi đó bao lồi của A trong E là tập:

K Một nửa chuẩn trên E là một ánh xạ p : E −→ R thỏa mãn 3 tiên đề

(i) ∀x ∈ E ⇒ p(x) ≥ 0

(i) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ p (λx) = |λ|p(x)

(ii) ∀x, y ∈ E ⇒ p(x + y) ≤ p(x) + p(y)

Định nghĩa 1.6 Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường

K và p là một nửa chuẩn trên E Khi đó cặp (E, p) được gọi là không gianvéctơ nửa chuẩn

Định nghĩa 1.7 Cho X là một tập hợp bất kỳ Một borno trên X là một

họ các tập con của X thỏa mãn 3 tiên đề:

(i) ß phủ X Tức là, X = S

B∈ß

B.(ii) ß có tính chất lưu giữ tập con Tức là, nếu A ∈ ß, B ⊂ A thì B ∈ ß.(iii) ß ổn định đối với phép hợp hữu hạn

Ví dụ 1.2 Gọi ß là họ tất cả các tập con bị chặn trong R2 Tức là

ß = A ⊂R2 : ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A Khi đó ß là một borno trên

R2 và được gọi là borno thông thường trên R2 đối với chuẩn trong R2.Định nghĩa 1.8 Cho X là một tập hợp bất kỳ và ß là một borno trên

X Khi đó cặp (X, ß) được gọi là một tập borno Các phần tử của ß đượcgọi là các tập con bị chặn

Định nghĩa 1.9 Một cơ sở của borno ß trên X là một họ con ß0 của ß

sao cho với mọi phần tử của borno ß đều chứa trong một phần tử của ß0

Ví dụ 1.3 Cho X là một tập hợp bất kỳ và ß = P(X) là một borno trên

X Khi đó cơ sở của borno ß là ß0 = {X}

Chứng minh Vì ß = P(X) ⇒ ∀A ∈ P(X) ⇒ A ⊂ X Vậy ß0 = {X} làmột cơ sở của borno ß

Định nghĩa 1.10 Giả sửX là một không gian véctơ xác định trên trường

K và ß là một borno trên X Khi đó borno ß được gọi là borno véctơ (hayborno tương thích với cấu trúc véctơ) nếu ß ổn định đối với 3 phép toánsau:

(i) Phép cộng Tức là, ∀A, B ∈ ß ⇒ A + B ∈ ß

(ii) Phép vị tự Tức là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ⇒ λA ∈ ß

(iii) Phép lấy bao tròn Tức là, ∀A ∈ ß ⇒ S

|λ|≤1

λA ∈ ß

Định nghĩa 1.11 Cho X là một không gian véctơ xác định trên trường

K và ß là một borno trên X Khi đó cặp (X, ß) được gọi là không gianvéctơ borno

Định nghĩa 1.12 Cho X là một không gian véctơ xác định trên trường

K và ß là một borno véctơ trên X Khi đó ß được gọi là borno véctơ lồinếu ß ổn định đối với phép lấy bao lồi Tức là, nếu A ∈ ß thì coA ∈ ß.Định nghĩa 1.13 Giả sửX là một không gian véctơ xác định trên trường

K và ß là một borno véctơ lồi trên X Khi đó cặp (X, ß) được gọi là khônggian véctơ borno lồi

Định nghĩa 1.14 Không gian véctơ borno (X, ß) được gọi là không gianvéctơ borno tách (hay ßtách) nếu {0} là không gian véctơ con bị chặn duynhất của X

Ví dụ 1.4 Giả sử E là một không gian véctơ xác định trên trường K và

p là một nửa chuẩn trên E Một tập con A ⊂ E được gọi là bị chặn theonửa chuẩn p nếu p(A) bị chặn trong R theo borno thông thường

Khi đó họ ßtất cả các tập con bị chặn trongE theo nửa chuẩnp lập thànhmột borno lồi trên E và được gọi là borno chính tắc của không gian nửađịnh chuẩn (E, p) Borno này là borno tách khi và chỉ khi p là một chuẩn

(ii) ß có tính chất lưu giữ tập con.Tức là, giả sử ∀A ∈ ß, B ⊂ A ta phảichứng minh: B ∈ ß.

(2) Ta chứng minh ß là một borno véctơ

(i) ß ổn định đối với phép cộng Tức là, giả sử ∀A, B ∈ ß ta phải chứngminh: A + B ∈ ß

⇒ λA bị chặn trong E hay λA ∈ ß

(iii) ß ổn định đối với phép lấy bao tròn Tức là, giả sử ∀A ∈ ß ta phải

(3) Ta chứng minh ß là một borno lồi Tức là ß ổn định đối với phép lấybao lồi.

Thật vậy, giả sử ∀A ∈ ß ta phải chứng minh: coA ∈ ß

⇒ p(x) ≤ M, ∀x ∈ coA ⇒ coA bị chặn trong E hay coA ∈ ß

Vậy ß là borno lồi

(4) Cuối cùng ta đi chứng minh: ß là borno tách ⇔ p là một chuẩn.Điều kiện cần: Giả sử ßlà borno tách ta phải chứng minh: plà một chuẩn.Đặt A = {x ∈ E : p(x) = 0}, ta sẽ đi chứng minh A là không gian concủa E Thật vậy, ∀x, y ∈ A ⇒ p(x) = 0, p(y) = 0

Định nghĩa 1.15 Cho X, Y là các tập borno Khi đó ta nói ánh xạ

u : X −→ Y là ánh xạ bị chặn nếu u ánh xạ mọi tập bị chặn trong X

thành tập bị chặn trong Y

Định nghĩa 1.16 Giả sử X, Y là các không gian véctơ borno Khi đó tanói ánh xạ u : X −→ Y là ánh xạ tuyến tính bị chặn nếu u vừa là ánh xạtuyến tính vừa là ánh xạ bị chặn

Định nghĩa 1.17 Cho E là một không gian véctơ borno Dãy (xn) trong

Eđược gọi là hội tụ theo borno tới0nếu tồn tại một tập con tròn, bị chặnB

của E và một dãy (λn) các vô hướng tiến tới 0 sao cho xn ∈ λnB, ∀n ∈ N.

Sự hội tụ theo borno còn được gọi là sự hội tụ theo Mackey

(i) Dãy (xn) hội tụ theo borno tới 0

(ii) Tồn tại một tập tròn, bị chặn B ⊂ E và một dãy giảm (αn), αn → 0

tụ theo borno tới 2 phần tử x và y Tức là, xn −M→ x, xn −M→ y

⇒ xn − xn −M→ x − y Đặt zn = xn − xn, z = x − y ⇒ zn −M→ z

⇒ zn− z −M→ 0 hay z − zn

M

−→ 0 Khi đó, tồn tại một tập con tròn, bị chặn

B ⊂ E và một dãy các vô hướng (λn) tiến tới 0 sao cho:

z − zn ∈ λnB, ∀n > 1 Do đó z ∈ λnB, ∀n > 1 (vì zn = 0) Giả sửnếu z 6= 0 ⇒ đường thẳng sinh bởi z (hay không gian con sinh bởi Kz)chứa trong B, mà B ⊂ E Điều này mâu thuẫn với giả thiết E là khônggian tách (tức là, {0} là không gian con bị chặn duy nhất của E) Do đó

z = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y Vậy giới hạn của mọi dãy (xn) hội tụ theoborno là duy nhất

Điều kiện đủ: Giả sử giới hạn của mọi dãy hội tụ theo borno là duy nhất.Giả sử tồn tại z 6= 0, z ∈ E sao cho không gian Kz bị chặn Khi đó, tồntại một tập bị chặn B ⊂ E : z ∈



1n



B, ∀n > 1.Suy ra, dãy (zn = z) hội tụ tới 0 Mặt khác, rõ ràng zn = z −M→ z Do đótheo tính duy nhất của giới hạn thì z = 0 (mâu thuẫn với z 6= 0) Nhưvậy, không tồn tại z ∈ E, z 6= 0 sao cho không gian con Kz bị chặn.Tức là E là không gian tách

Định lý 2.1 Cho I 6= ∅ là một tập chỉ số, (Xi, ßi)i∈I là một họ các tậpborno và X là tập hợp bất kỳ Giả sử với mỗi i ∈ I, ui : X −→ Xi là ánh

xạ cho trước Gọi ß là họ tất cả các tập con A của X có các tính chất sauđây: "Với mỗi i ∈ I, ui(A) bị chặn trong Xi " Khi đó:

(i) ß là một borno trên X, và là borno thô nhất trên X sao cho mỗi ánh

xạ ui đều bị chặn

(ii) Nếu X là không gian véctơ và với mỗi i ∈ I, Xi là không gian véctơ, ßi

là borno véctơ (tương ứng: borno lồi) trên Xi, ui là ánh xạ tuyến tính thì ß

là borno véctơ (tương ứng: borno lồi) trên X

Chứng minh Ta có ß = {A ⊂ X : ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I}

(1) Ta chứng minh ß là một borno trên X

(i) Với mỗi tập borno (Y, ß) bất kỳ thì tập một điểm {y} ∈ ß, y ∈ Y.Thật vậy, vì ß phủ Y nên Y = S

B∈ß

B

Khi đó, với mỗi {y} ∈ Y ⇒ ∃B0 ∈ ß: y ∈ B0 Mà ß có tính chất lưu giữtập con nên nếu y ∈ B0 ∈ ß ⇒ {y} ∈ ß, ∀y ∈ Y.

Do đó, ∀x ∈ X ta có {x} ∈ ß

Thật vậy, vì ui{x} = {ui(x)} (do ui là ánh xạ) Mà (Xi, ßi) là các tậpborno ⇒ {ui(x)} ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui{x} ∈ ßi, ∀i ∈ I

⇒ {x} ∈ ß Vậy X = S

x∈ß

{x} hay ß phủ X.(ii) Giả sử A ∈ ß, B ⊂ A ta phải chứng minh: B ∈ ß

Thật vậy, ∀A ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I

Mặt khác, B ⊂ A ⇒ ui(B) ⊂ ui(A), ∀i ∈ I Mà ßi là các borno nên ßi cótính chất lưu giữ tập con ⇒ ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß

Vậy ß có tính chất lưu giữ tập con

(iii) Giả sử A1, , An ∈ ß ta phải chứng minh:

Aj ∈ ß Tức là ß kín đối với phép hợp hữu hạn

Vậy ß là một borno trên X

(2) Ta đi chứng minh ß là borno thô nhất trên X sao cho các ánh xạ ui

Vậy ß là borno thô nhất trên X

(3) Tiếp theo, ta giả sử ui : X −→ Xi là các ánh xạ tuyến tính và ßi làcác borno véctơ, ∀i ∈ I thì borno ß là một borno véctơ

(i) Ta đi chứng minh ß ổn định đối với phép cộng Tức là, giả sử A, B ∈ ß

ta phải chứng minh: A + B ∈ ß

Thật vậy, vì A, B ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I

Ta có: ui(A + B) = ui(A) + ui(B) (vì ui là ánh xạ tuyến tính, ∀i ∈ I).Mặt khác, vì ßi là borno véctơ, ∀i ∈ I ⇒ ßi ổn định đối với phép cộng

⇒ ui(A) + ui(B) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui(A + B) ∈ ßi, ∀i ∈ I

⇒ A + B ∈ ß Vậy ß ổn định đối với phép cộng

(ii) Ta đi chứng minh ß ổn định đối với phép vị tự

Tức là, giả sử ∀A ∈ ß, ∀λ ∈K ta phải chứng minh: λA ∈ ß

Thật vậy, ta có: ui(λA) = λui(A) (vì ui là ánh xạ tuyến tính, ∀i ∈ I) Mà

ßi là borno véctơ ⇒ ßi ổn định đối với phép vị tự, ∀i ∈ I

⇒ λuiA ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui(λA) ∈ ßi, ∀i ∈ I

⇒ λA ∈ ß, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈K Vậy ß ổn định đối với phép vị tự

(iii) Ta chứng minh ß ổn định đối với phép lấy bao tròn Tức là, giả sử

∀A ∈ ß ta phải chứng minh: S

Tức là ß ổn định đối với phép lấy bao tròn

Vậy ß là một borno véctơ

(4) Cuối cùng ta đi chứng minh: Nếu ßi là các borno véctơ lồi thì ß cũng

là một borno véctơ lồi Tức là ta phải chứng minh: ßổn định đối với phéplấy bao lồi

Vì ui(A) ∈ ßi mà ßi là borno lồi ⇒ co(ui(A)) ∈ ßi, ∀i ∈ I

Mặt khác ui(coA) = co(ui(A)) ∈ ßi, ∀i ∈ I ⇒ ui(coA) ∈ ßi, ∀i ∈ I

⇒ coA ∈ ß Tức là ß ổn định đối với phép lấy bao lồi.

Vậy ß là một borno véctơ lồi trên X

Định nghĩa 2.1 Borno ß trên X xác định bởi Định lý 2.1 được gọi làborno đầu trên X xác định bởi các ánh xạ ui

Mệnh đề 2.1 Với các ký hiệu trong Định lý 2.1 ta đặt:

u−1i (ßi) = u−1i (Ai) : Ai ∈ ßi

, ∀i ∈ I Khi đó họ ß0 = T

i∈I

u−1i (ßi) là một

cơ sở của borno đầu ß trên X xác định bởi các ánh xạ ui

Chứng minh Theo định nghĩa để chứng minh ß0 là một cơ sở của borno ß

ta phải chứng minh: ß0 ⊂ ß và với mọi phần tử của ß đều chứa trong mộtphần tử của ß0

Thậy vậy, giả sử ∀B ∈ ß0 ⇒ ∃Bi ∈ ßi : B = T

Thật vậy, ∀A ∈ ß ⇒ ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I

⇒ ∃Bi ∈ ßi : ui(A) = Bi, ∀i ∈ I ⇒ A ⊂ u−1i (Bi), ∀i ∈ I

Do đó ß0 là một cơ sở của borno ß trên X

Mệnh đề 2.2 Giả sử Y là một tập borno, X được trang bị với borno đầuxác định bởi các ánh xạ ui Khi đó ánh xạ u : Y −→ X bị chặn ⇔ ui◦ u

bị chặn, với mỗi i ∈ I

Chứng minh Điều kiện cần: Ta có u : Y −→ X và ui : X −→ Xi

⇒ ui◦ u : Y −→ Xi Giả sử u là ánh xạ bị chặn ta phải chứng minh: ui◦ u

là ánh xạ bị chặn

Thật vậy, giả sử ∀A ∈ ßY ⇒ u(A) ∈ ßX (vì u bị chặn)