MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BORNO CƠ BẢN

Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài "M®t so phương pháp xây dNng borno cơ bán" không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác... Cuthe lý thuyet Borno là lý thuyet "đoi ngau" vói

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

TS TRAN VĂN BANG

Hà N®i - 2013

LèI CÁM ƠN

Đe có the hoàn thành đưoc bài khóa lu¾n tot nghi¾p này, em xin

bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay đã trnc

tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p taitrưòng cũng như trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Đongthòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to Giái tích, các thay côtrong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 và Ban chn nhi¾mkhoa Toán đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hoàn thành khóa lu¾n totnghi¾p cna mình

Trong khuôn kho có han cna m®t bài khóa lu¾n do đieu ki¾n ve m¾t thòigian, do trình đ® có han và đây cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hocnên bài khóa lu¾n cna em cũng không tránh khói nhung han che, thieu sótnhat đ%nh Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna quý thay cô

LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan, chí báo t¾n tình cna thay Tran Văn Bang thì

khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p vànghiên cúu Đe hoàn thành đưoc bán khóa lu¾n tot nghi¾p này em đã có

sú dung m®t so tài li¾u tham kháo cna các nhà khoa hoc

Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài "M®t so phương pháp xây dNng borno cơ bán" không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm

2013 Sinh viên

Pham Th% Lan

ii

Mnc lnc

1.1 Không gian véctơ 1

1.2 M®t so khái ni¾m liên quan đen borno 3

2 M®t so phương pháp xây dNng borno cơ bán 9 2.1 Borno đau 9

2.2 Borno tích 13

2.3 Borno cám sinh: Không gian borno con 14

2.4 Borno sinh bói m®t ho t¾p con 15

2.5 Giói han xa ánh 16

2.5.1 Ho xa ánh borno 16

2.5.2 Borno giói han xa ánh 18

2.6 Borno cuoi 18

2.7 Borno thương 19

2.8 Giói han quy nap borno 20

2.8.1 Ho quy nap borno 20

2.8.2 Borno giói han quy nap 22

2.9 Tong trnc tiep borno: Borno huu han chieu 22

5

2.9.1 T ong trnc tiep borno 22

2.9.2 Borno tong trnc tiep v à borno tích 23

2.9.3 Tong trnc tiep là giói han quy nap đ¾c bi¾t 24

2.9.4 Borno huu han chieu 24

2.9.5 Không gian con bù borno 24

2.10 Sn on đ%nh cna tính chat tách 25

2.11 T¾p đóng borno: Tính chat tách cna thương borno 27

2.12.Không gian véctơ borno tách liên k et 29

KET LU¾N 31

6

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Ra đòi tù đau the ký 20 đen nay Giái tích hàm đã đat đưoc nhieuthành tnu quan trong và tró thành chuan mnc trong vi¾c nghiên cúu vàtrình bày các kien thúc toán hoc Giái tích hàm đã đưoc đưa vào chươngtrình Đai hoc như m®t phan bat bu®c, tuy nhiên vói lưong thòi gian cóhan chúng ta khó có the nghiên cúu sâu vào m®t van đe nào đó Tronggiái tích hàm thì lý thuyet topo đã và đang phát trien rat sâu r®ng và ganđây có xuat hi¾n thêm m®t lý thuyet mói có tên là lý thuyet Borno Cuthe lý thuyet Borno là lý thuyet "đoi ngau" vói lý thuyet Topo, trong khi

lý thuyet topo đưoc xây dnng xuat phát tù khái ni¾m t¾p mó (hay lânc¾n) thì lý thuyet borno lai đưoc xây dnng xuat phát tù khái ni¾m t¾p b%ch¾n.Tuy nhiên hưóng nghiên cúu ve 2 lý thuyet này là tương đoi giongnhau Sau khi đưa ra khái ni¾m topo ngưòi ta tiep tuc đi xây dnng cáckhái ni¾m cơ bán khác như: khái ni¾m topo đau xác đ%nh bói ho ánh xa,topo cuoi xác đ%nh bói ho ánh xa, topo cám sinh, không gian topo con,không gian topo tích, không gian topo thương và tong trnc tiep các khônggian topo Tương tn như v¾y sau khi đưa ra khái ni¾m borno và các kháini¾m khác có liên quan đen borno ngưòi ta cũng đi xây dnng các khái ni¾mtrên gan vói borno Dưói góc đ® cna m®t sinh viên sư pham khoa Toán vóimong muon có đưoc sn hieu biet ve lý thuyet borno đ¾c bi¾t là các cáchxây dnng m®t borno mói tù nhung borno đã biet gan vói các phương phápxây dnng không gian cơ bán trong giái tích hàm nên em đã chon đe tài

"M®t so phương pháp xây dNng borno cơ bán" làm khóa lu¾n tot

nghi¾p đai hoc cna mình Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 2 chương:

Chương 1: Khóa lu¾n trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán trong không

gian véctơ và m®t so khái ni¾m liên quan tói borno

Chương 2: Khóa lu¾n trình bày m®t so phương pháp xây dnng

borno cơ bán tù nhung borno đã biet

2 Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu

- Nghiên cú ve lý thuyet borno

- Nghiên cúu ve m®t so phương pháp xây dnng borno cơ bán

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

T¾p chung nghiên cúu ve borno và các phương pháp xây dnng borno

cơ bán tù nhung borno đã biet

4 Phương pháp nghiên cNu

Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh và tong hop kien thúc

vi

Chương 1

Kien thNc chuan b%

1.1 Không gian véctơ

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho I ƒ= ∅ là m®t t¾p chs so sap thú tn và có đ

%nh hưóng Túc là trên I đưoc trang b% m®t quan h¾ thú tn và vói moi

c¾p

(i, j) ∈ I × I thì đeu ton tai k ∈ I : k ≥ i, k ≥ j.

Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú (E i)i∈I là m®t ho các không gian véctơ xác đ

%nh trên trưòng K Giá sú vói moi c¾p (i, j) ∈ I × I: i ≤ j ton tai ánh xa tuyen tính u ji : E i −→ E j sao cho ho các ánh xa tuyen tính

(u ji) thóa

mãn các đieu ki¾n đây:

(i) Vói moi i ∈ I, u ii : E i −→ E i là ánh xa đong nhat trên E i

(ii) Vói moi i, j, k ∈ I: i ≤ j ≤ k ta có u ki = u kj ◦ u ji

Khi đó ho (Ei , u ji ) đưoc goi là ho quy nap các không gian véctơ.

Đ%nh lý 1.1 Giá sú (E i , u ji ) là m®t ho quy nap các không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K Khi đó ton tai m®t không gian véctơ E trên K

và các

(i) u i = u j ◦ u ji , ∀i ≤ j.

(ii) Vói moi không gian véctơ F bat kỳ và ho các ánh xa tuyen tính

v i : E i −→ F sao cho v i = v j ◦ u ji , ∀i ≤ j thì ton tai duy nhat m®t ánh

xa tuyen tính v : E −→ F thóa mãn: v i = v ◦ u i , ∀i ∈ I.

Khi đó E là duy nhat, sai khác m®t đang cau vói F và E đưoc goi là giói

Đ%nh nghĩa 1.3 Giá sú (Ei)i∈I là m®t ho các không gian véctơ xác đ%nh

9

trên trưòng K Giá sú vói moi c¾p (i, j) ∈ I × I: i ≤ j ton tai ánh

xa tuyen tính p ij : E j −→ E i và ho các ánh xa tuyen tính (pij ) thóa mãn các

đieu ki¾n sau:

(i) Vói moi i ∈ I, p ii là ánh xa đong nhat trên E i

(ii) Vói moi i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có p ik = p ij ◦ p jk

Khi đó ho (Ei , p ij ) đưoc goi là ho xa ánh các không gian véctơ.

Đ%nh lý 1.2 Giá sú (E i , p ij ) là m®t ho xa ánh các không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K Khi đó ton tai m®t không gian véctơ E trên K

và các

(i) p i = p ij ◦ p j , ∀i ≤ j.

(ii) Vói moi không gian véctơ F bat kỳ và ho các ánh xa tuyen tính

q i : F −→ E i sao cho q i = p ij ◦ q j , ∀i ≤ j thì ton tai duy nhat ánh xa tuyen tính q : F −→ E thóa mãn: q i = p i ◦ q, ∀i ∈ I.

Khi đó không gian véctơ E là duy nhat, sai khác m®t đang cau vói không gian véctơ F và E đưoc goi là giói han xa ánh cúa ho xa ánh các không gian véctơ (E i , p ij ).

Đ%nh nghĩa 1.4 Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K và A ⊂ E Khi đó ta nói:

(i) A là m®t t¾p tròn neu ∀λ ∈ K : |λ| ≤ 1 thì ta có λA ⊂ A.

(ii) A là m®t t¾p loi neu ∀λ, µ ∈ R+ : λ + µ = 1 thì ta có λA + µA ⊂ A (iii)A là m®t t¾p đĩa neu A vùa loi, vùa tròn.

(iv) Bao tròn (tương úng: bao loi, tương úng: bao đĩa) cna t¾p A là m®t t¾p tròn (tương úng: t¾p loi, tương úng: t¾p đĩa) nhó nhat chúa A.

M¾nh đe 1.1 Giá sú E là không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K và

A ⊂ E Khi đó bao loi cúa A trong E là t¾p:

M¾nh đe 1.2 Cho E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K.

|λ|≤1

λA.

Đ%nh nghĩa 1.5 Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K M®t núa chuan trên E là m®t ánh xa p : E −→ R thóa mãn 3 tiên đe

(i) ∀x ∈ E ⇒ p(x) ≥ 0

(i) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ p (λx) = |λ|p(x)

(ii) ∀x, y ∈ E ⇒ p(x + y) ≤ p(x) + p(y)

Đ%nh nghĩa 1.6 Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K và p là m®t núa chuan trên E Khi đó c¾p (E, p) đưoc goi là không gian véctơ núa chuan.

1.2 M®t so khái ni¾m liên quan đen borno

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ M®t borno trên X là

m®t ho các t¾p con cna X thóa mãn 3 tiên đe:

(i) ß phn X Túc là, X = S B.

B∈ß

(ii) ß có tính chat lưu giu t¾p con Túc là, neu A ∈ ß, B ⊂ A thì B ∈ ß.

(iii) ß on đ%nh đoi vói phép hop huu han

Ví dn 1.1 Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ Khi đó ß = P(X) là m®t borno

trên X và ß đưoc goi là borno tam thưòng trên X.

Ví dn 1.2 Goi ß là ho tat cá các t¾p con b% ch¾n trong R2 Túc là

ß = .A ⊂ R2 : ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A. Khi đó ß là m®t borno trên

R2 và đưoc goi là borno thông thưòng trên R2 đoi vói chuan trong R2

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ và ß là m®t borno trên

X Khi đó c¾p (X, ß) đưoc goi là m®t t¾p borno Các phan tú cna ß

đưoc goi là các t¾p con b% ch¾n

Đ%nh nghĩa 1.9 M®t cơ só cúa borno ß trên X là m®t ho con ß0

cna ß sao cho vói moi phan tú cna borno ß đeu chúa trong m®t phan túcna ß0 Ví dn 1.3 Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ và ß = P(X) là m®t

borno trên

m®t cơ só cna borno ß

Đ%nh nghĩa 1.10 Giá sú X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K và ß là m®t borno trên X Khi đó borno ß đưoc goi là borno véctơ (hay borno tương thích vói cau trúc véctơ) neu ß on đ%nh đoi vói 3 phép toán

sau:

(i) Phép c®ng Túc là, ∀A, B ∈ ß ⇒ A + B ∈ ß.

(ii) Phép v% tn Túc là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ⇒ λA ∈ ß.

(iii) Phép lay bao tròn Túc là, ∀A ∈ ß ⇒ S

Đ%nh nghĩa 1.11 Cho X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K và ß là m®t borno trên X Khi đó c¾p (X, ß) đưoc goi là không gian véctơ borno.

Đ%nh nghĩa 1.12 Cho X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K và ß là m®t borno véctơ trên X Khi đó ß đưoc goi là borno véctơ loi

neu ß on đ%nh đoi vói phép lay bao loi Túc là, neu A ∈ ß thì coA ∈ ß.

Đ%nh nghĩa 1.13 Giá sú X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng

K và ß là m®t borno véctơ loi trên X Khi đó c¾p (X, ß) đưoc goi là không gian véctơ borno loi.

Đ%nh nghĩa 1.14 Không gian véctơ borno (X, ß) đưoc goi là không

ch¾n duy

nhat cna X.

Ví dn 1.4 Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K và

p là m®t núa chuan trên E M®t t¾p con A ⊂ E đưoc goi là b% ch¾n theo núa chuan p neu p(A) b% ch¾n trong R theo borno thông thưòng.

Khi đó ho ß tat cá các t¾p con b% ch¾n trong E theo núa chuan p l¾p thành

m®t borno loi trên E và đưoc goi là borno chính tac cna không gian núa

đ%nh chuan (E, p) Borno này là borno tách khi và chí khi p là m®t chuan.

(ii)ß có tính chat lưu giu t¾p con.Túc là, giá sú ∀A ∈ ß, B ⊂ A ta phái chúng minh: B ∈ ß.

(2) Ta chúng minh ß là m®t borno véctơ

(i) ß on đ%nh đoi vói phép c®ng Túc là, giá sú ∀A, B ∈ ß ta phái chúng minh: A + B ∈ ß.

⇒ λA b% ch¾n trong E hay λA ∈ ß.

(iii) ß on đ%nh đoi vói phép lay bao tròn Túc là, giá sú ∀A ∈ ß ta phái

∈

1

λA b% ch¾n trong E

hay ⇒S

|λ|≤1

λA ∈ ß.

V¾y ß là m®t borno véctơ

(3) Ta chúng minh ß là m®t borno loi Túc là ß on đ%nh đoi vói phép lay bao loi

Th¾t v¾y, giá sú ∀A ∈ ß ta phái chúng minh: coA ∈ ß

∀x ∈ coA ⇒ x = λ i x i , λ i ≥ 0, x i ∈ A : λ i =1

V¾y ß là borno loi

(4) Cuoi cùng ta đi chúng minh: ß là borno tách ⇔ p là

m®t chuan

Đieu ki¾n can : Giá sú ß là borno tách ta phái chúng

minh: p là m®t chuan Đ¾t A = {x ∈ E : p(x) = 0}, ta se đi chúng minh A là không gian con cna E.

thành t¾p b% ch¾n trong Y

Đ%nh nghĩa 1.16 Giá sú X, Y là các

không gian véctơ borno Khi đó ta nói

ánh xa u : X −→ Y là ánh xa tuyen tính b% ch¾n neu u vùa là ánh xa

tuyen tính vùa là ánh xa b% ch¾n

Đ%nh nghĩa 1.17 Cho E là m®t không

gian véctơ borno Dãy (xn) trong

E đưoc goi là h®i tn theo borno tói 0 neu ton tai m®t t¾p con tròn, b% ch¾n B

cna E và m®t dãy (λ n) các vô hưóng tien tói 0 sao cho x n ∈ λ n B, ∀n ∈ N.

Sn h®i tu theo borno còn

đưoc goi là sn h®i tn theo Mackey Ký hi¾u là: x

M

0

Dãy (x ) đưoc goi là h®i tu theo borno

tói x ∈ E neu dãy (x − x) M 0

Ký hi¾u là: x M x.

M¾nh đe 1.3 Giá sú E là m®t không

trong E Khi đó các khang đ%nh sau là tương đương:

(i) Dãy (x n ) h®i tn theo borno tói 0.

(ii) Ton tai m®t t¾p tròn, b% ch¾n B ⊂ E

và m®t dãy giám (α n ), α n → 0 sao cho x n ∈ α n B, ∀n ∈ N.

(iii)Ton tai m®t t¾p tròn, b% ch¾n B ⊂ E sao cho: ∀ε

> 0, ∃N (ε) sao cho

Neu borno cúa E là

borno loi thì (i), (ii), (iii) còn tương đương vói khang đ%nh sau:

(iv)Ton tai m®t đĩa b% ch¾n

trong không gian

tói 0 trong E B

M¾nh đe 1.4 Không

gian véctơ borno E là tách khi và chs khi moi dãy h®i tn theo borno trong E đeu có giói han duy nhat.

Chúng minh Đieu ki¾n

can: Giá sú E là không

gian tách, (x n ) ⊂ E h®i

không gian tách (túc là, {0} là không gian con b% ch¾n duy nhat cna

(x n) h®i tu theo

borno là duy nhat

Đieu ki¾n đn : Giá sú giói han cna moi dãy h®i tu theo borno là duy nhat

Giá sú ton tai z ƒ= 0, z ∈ E sao cho không gian Kz b% ch¾n Khi đó,

2.1 Borno đau

Đ%nh lý 2.1 Cho I ƒ= ∅ là m®t t¾p chs so, (X i , ß i)i∈I là m®t ho các

là borno véctơ (tương úng: borno loi) trên X i , u i là ánh xa tuyen tính thì ß

là borno véctơ (tương úng: borno loi) trên X.

(1) Ta chúng minh ß là m®t borno trên X

(i) Vói moi t¾p borno (Y, ß) bat kỳ thì t¾p m®t điem {y} ∈ ß, y ∈ Y

Th¾t v¾y, vì ß phn Y nên Y = S B.

B∈ß

Khi đó, vói moi {y} ∈ Y ⇒ ∃B0 ∈ ß: y ∈ B0 Mà ß có tính chat lưu giu

t¾p con nên neu y ∈ B0 ∈ ß ⇒ {y} ∈ ß, ∀y ∈ Y

M¾t khác, B ⊂ A ⇒ u i (B) ⊂ u i (A), ∀i ∈ I Mà ß i là các borno nên ßi

có tính chat lưu giu t¾p con ⇒ ui (B) ∈ ß i , ∀i ∈ I ⇒ B ∈ ß.

V¾y ß có tính chat lưu giu t¾p con

(iii)Giá sú A1, , A n ∈ ß ta phái chúng minh:

n

S

j= 1

V¾y ß là m®t borno trên X

(2) Ta đi chúng minh ß là borno thô nhat trên X sao cho các ánh xa ui

V¾y ß là borno thô nhat trên X.

(3) Tiep theo, ta giá sú u i : X −→ X i là các ánh xa tuyen tính và ßi là các borno véctơ, ∀i ∈ I thì borno ß là m®t borno véctơ

(i) Ta đi chúng minh ß on đ%nh đoi vói phép c®ng Túc là, giá sú A, B ∈ ß

ta phái chúng minh: A + B ∈ ß.

Th¾t v¾y, vì A, B ∈ ß ⇒ u i (A) ∈ ß i , u i (B) ∈ ß i , ∀i ∈ I.

Ta có: u i (A + B) = u i (A) + u i (B) (vì u i là ánh xa tuyen tính, ∀i ∈ I)

M¾t khác, vì ßi là borno véctơ, ∀i ∈ I ⇒ ßi on đ%nh đoi vói phép c®ng

⇒ u i (A) + u i (B) ∈ ß i , ∀i ∈ I ⇒ u i (A + B) ∈ ß i , ∀i ∈ I.

⇒ A + B ∈ ß V¾y ß on đ%nh đoi vói phép c®ng.

(ii) Ta đi chúng minh ß on đ%nh đoi vói phép v% tn

Túc là, giá sú ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ta phái chúng minh: λA ∈ ß.

Th¾t v¾y, ta có: u i (λA) = λu i (A) (vì u i là ánh xa tuyen tính, ∀i ∈ I) Mà

ßi là borno véctơ ⇒ ßi on đ%nh đoi vói phép v% tn, ∀i ∈ I

⇒ λu i A ∈ ß i , ∀i ∈ I ⇒ u i (λA) ∈ ß i , ∀i ∈ I

⇒ λA ∈ ß, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K V¾y ß on đ%nh đoi vói phép v% tn.

(iii) Ta chúng minh ß on đ%nh đoi vói phép lay bao tròn Túc là, giá sú

Vì A ∈ ß ⇒ u i (A) ∈ ß i , ∀i ∈ I, mà ß i là các borno véctơ nên ßi on đ

%nh đoi vói phép lay bao tròn, ∀i ∈ I Do đó

Túc là ß on đ%nh đoi vói phép lay bao tròn

V¾y ß là m®t borno véctơ

(4) Cuoi cùng ta đi chúng minh: Neu ßi là các borno véctơ loi thì ß cũng là m®t borno véctơ loi Túc là ta phái chúng minh: ß on đ%nh đoi vói phéplay bao loi

Vì u i (A) ∈ ß i mà ßi là borno loi ⇒ co(ui (A)) ∈ ß i , ∀i ∈ I.

M¾t khác u i (coA) = co(u i (A)) ∈ ß i , ∀i ∈ I ⇒ u i (coA) ∈ ß i , ∀i ∈ I.