Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .... Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học.. Chúng ta biế

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong

tổ giải tích đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong thời gian vừa qua

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013

Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em

Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013

Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 3

1 Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3

2 Sai số tính toán 5

3 Bài toán ngược của bài toán sai số 8

§2 SAI PHÂN 9

1 Định nghĩa và tính chất 9

2 Một số công thức nội suy sử dụng sai phân 10

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 12

1 Một số khái niệm 12

2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải 12

3 Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm) 14

4 Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm 16

5 Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao 18

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24

§1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 24

1 Phương pháp Euler 24

2 Phương pháp Euler cải tiến 26

§2 PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 29

1 Trường hợp m = 1 31

2 Trường hợp m = 2 31

3 Trường hợp m = 3 33

4 Trường hợp m = 4 35

5 Phương pháp Runge – Kutta có thể áp dụng để giải một hệ

phương trình vi phân cấp 1 hay một phương trình vi phân cấp cao 39

Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 41

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

LỜI NÓI ĐẦU

Thoạt đầu, toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với sự phát triển của nội tại toán học

và các ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: toán học lí thuyết và toán học ứng dụng

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới phương trình vi phân thường Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học

Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường

là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do dó, một số vấn đề đặt ra là tìm các phương pháp để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường Trong các phương pháp đó, người ta đã phân làm 2 nhóm: nhóm thứ nhất gọi là các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi là các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng

Là một sinh viên khoa Toán, trong khuôn khổ một bản khóa luận,

em xin được trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp

số giải gần đúng phương trình vi phân thường

Được sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cùng với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Một

số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân” Em đã đi sâu nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler và Euler cải tiến, phương pháp Runge – Kutta

Nội dung bản khóa luận gồm ba chương

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Chương 3: Bài tập áp dụng

Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013

Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1 Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong thực tế tính toán, ta thường không biết số đúng *

Trong phép đo nói chung, sai số tuyệt đối càng nhỏ thì càng tốt

b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn

Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng

s p p

p p p





 s

p nên a597,36 là số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số

*) Thu gọn a là vứt bỏ đi một số các chữ số hàng bên phải trong biểu diễn của a để được một số gần đúng a gọn hơn, nhưng vẫn đảm

bảo độ chính xác cần thiết

*) Quy tắc thu gọn

s p j

j p

j j

khi

khi

10.5,00

1010

.5,0



 thì j j nếu jlà chẵn và j j 1 nếu j

lẻ vì tính toán với số chẵn tiện hơn

Ví dụ 3  3,1415923,141593,14163,1423,143,13 Sai số thu gọn a0 là mọi số thỏa mãn điều kiện

a a

Vì    j 

j p

p

j j j p

a

Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên

a a a a a a a

s p p

p p p

cùng của a trước khi thu gọn là i Để i 1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có

1

10 

.5,010

Trong tính toán, ta thường gặp 4 loại sai số sau:

+ Sai số giả thiết – do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế Sai số này không loại trừ được

+ Sai số phương pháp – các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể

+ Sai số các số liệu – các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai số

+ Sai số tính toán – các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y  f(x1, ,x n)

Gọi ( *, , *); * ( *)

1

*

x f y x x

x  n  là các giá trị đúng

Giả sử ta không biết các giá trị đúng này, ta chỉ biết các giá trị gần đúng là x(x1, ,x n);y f (x)

Giả sử x i(i1, ,n);x i(i 1, ,n) là các sai số tuyệt đối và sai

số tương đối tương ứng của các đối số Khi đó: sai số của hàm số

), ,

(x1 x n

f

y  được gọi là sai số tính toán

Giả sử hàm f là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến x thì i

1 1

*

n

x x f y y



* 1

1 '

.), ,

n i

n

x x x x x f

i x x

i n

i

x x x f

1

và đôi khi có thể viết yln y ; (1.2')

x y

1

thì ' 1( 1, , )

n i

y i

i n

i

f y

i

1 1

1

'

.)

x x

y

x x

y

x x

x y

Ln

x x x y

x x x y

n

n n n

ln

lnln

ln

lnln

2 1

2 1

2 2

1 2 2 1

2 2

1 '

2 ' 2 1

;12 1

x x y

x

x x x x y

x

x y

x y x

x y

x x

Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có

' 1

i

x i

i n

i i

f n x

x x

f y



khi đó y 

[)(

2

x f h x f h x f h h x f f

 được gọi là sai phân cấp n

Giả sử f (x) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của đối số: f(x i), x i  x0 ih (i 0,1, )

Khi đó, ta có thể lập bảng các sai phân cấp 1, cấp 2, … của f như

b, Các tính chất

const c

x P

f f

g f

g f

n n

k k

k k k

)

.)(

)

)(

(( )1()

)()

.(

)

1

1

h i n x f C f

x f C h

n x

f

i n n

i

i n

i n i

i n

2 Một số công thức nội suy sử dụng sai phân

Giả sử hàm y  f (x) dưới dạng bảng y  i f(x i) tại các mốc x i

cách đều

)0(

Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x0 x1   x n

Ta tìm đa thức nội suy dưới dạng

)) (

(

))(

()(

1 1 0

i i i

h i

y a

x x

Mốc nội suy sắp theo thứ tự x n x n1 x0

h

x x

(

))(

()(

h a a x

n n

1 1

1 1

x

i i

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

1 Một số khái niệm

Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng

0), ,

"

,',,



n

y y y y x

Trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm

) (

y là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x)

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình

Hàm số y(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay ( ), ' '( ), , ( ) ( )( )

x y

x y

Hàm số y( c x, ) thỏa mãn (1.4) khi (x,y) chạy khắp D, với

mọi c  R

2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải

a, Phương trình vi phân có biến số phân li

c x y f

dy y

f dx dy

c dx x f y x f dx dy

(

)()

(

)0)()

(

(

0)

(

)()

(

)(0

)()()

()

(

1 2

1 2 2

1 2

2 1

M

dy y N

y N dx x M

x M dy

y N x M dx y N x

y' Giả thiết hàm số xác định với mọi x0

Để giải phương trình này ta đặt

+) Q(x)0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là

+)  1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1

+)  0: phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1

+)  0, 1: ta chia cả hai vế của phương trình cho 

hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn '( , ) '( , )

y x P y x

x y

y x

x

dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y

x

u

0 0

0 0

),()

,()

,()

,()

,

f, Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1

1x b y c a

c by ax f dx

dy

; (1.6)Nếu c  c1 0 thì (1.6) là phương trình thuần nhất cấp 1

1 1



b a

b a c

x x

, (,_const)

3 Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử hàm f(x,y) xác định và liên tục trong miền G

đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y Khi đó, tồn tại một dãy

nghiệm gần đúng của phương trình f ( y x, )

,min,

)(

) , ( 0

M

b a h

y x y

y x

dt t t f y x

dt t t f y x

x

x

n n

)(,)

(

)(,)

(

)(,)

(

1 0

1 0

2

0 0

Dãy hàm n (x) gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho Ta sẽ chứng minh dãy n (x) hội tụ đều

Gọi (x) là nghiệm đúng của phương trình, ta có

  

x

x

dt t t f y x

0

))(,()

(,)

()

0

)(,)

(,)

()()



Vì f(x,y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y , do vậy

dt t L

dt t t

L x

x

x

x

x n n

1 1

, )2,1,0(

;)!

1(

)(

)(

!3

)(

2

)(.)

()

(

2

)(

)

(.)

()

(

1 0

3 0 2

2 0 2

1 2

2 0 0

0 1

0 0

0 0

x x M L x

x x M L dt x t M L dt t L x

x x M L dt x t M L dt t L x

n n

n

x

x x

x

x

x x

Từ đó, ta có n thì n(x)0 và n(x)(x) trên đoạn ].

,

[x0 x0 h

Ta chứng minh (x) là duy nhất Giả sử có 2 hàm (x)&(x) là nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước Xét

p

dx x dy p

x y p y

dx

dp p x p dp p

dx x

c x x y

c x p

p

dy y dx p

y x

p y

nghiệm của phương trình (1.11) là y  p0x(p0)

+ Nếu p(p)0 thì

)13.1(

)(

)(')('

p p

p p

x dp

)(')

(

)('

p p

p x

p p

p dp

)(')

(

)('

p p

p x

p

p dp

Tích phân phương trình (1.14) ta được nghiệm tổng quát dạng tham số của phương trình (1.11) là

(

),(

p c

p p y

c p x

15

1

( là phương trình Lagrange với (y ') y'

Giả thiết hàm  là hàm phi tuyến tính (không tuyến tính)

)('

0

x p

c p p

(

)(

x x

x y

c cx y









5 Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao

a, Một số phương trình cấp cao đơn giản

*) Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất  , ( ) 0



n

y x

+ Trường hợp 1: Nếu từ (1.18) ta giải ra được ( ) ( )

x f

y n

 với )

n n

c dx x f dx y y

dx y dy

dx y

dy

1 )

( )

1 ( )

( ) 1 (

)('

Tương tự

n n

n x

x x

x x

x

n

c x x c x

x n

c dx x f y

0 1

)(

) (

t y

t x

(')(

)(')

('

1 1 1 )

1 (

) ( ) 1 (

c t c

dt t t y

dt t t dx y dy

dx y dy

n

n n

n

c c c t y

c c t

)(

n t c c y

t x





*) Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp ( n 1)

0),( ( ) ( 1 )





n

y y

Đặt ( , ) ( 1 ) ( , 1)

c x

)(

1 )

1 (

c t y

t x

)(

) (

) 1 (

t y

t y

n n





) 1 ( )

( ) 1 (

n n

n

y

dy dx dx y dy

dx y dy

(

)('

)(

)(')

(

))((

1 1

c t

dt t x

t

dt t t

t d dx

)(

)(')()

(

)(')

(

2 2 ) 2 (

2 )

2 ( )

1 ( )

2

(

c t y

c dt t

t t y

dt t

t t dx y dy

n

n n

),(

2 2 ) 2 (

1 1

c t y

c t x

2 1

1 1

n

n t c c y

c t x

2

)(2'

)(2'

c dz z f z

dz z f z

)(2'

c dz z f dx

dz

c dz z f z

2 f z dz c

dz dx

2 f z dz c

dz c

Giải (1.22) sau đó thay (  2 )

 n

y

z , ta đưa phương trình (1.22) về trường hợp đã giải ở trên

+ Trường hợp 2: Từ (1.21), ta có thể biểu diễn

)(

) 2 (

) (

t y

t y

n n

1 (

) ( ) 1 ( )

2 ( )

2

(

) ( )

1

(

n n

n n

n n

n n

dy dx y

dx y dy

dx y dy

dx y dy

Ta nhân hai vế của hai phương trình ta được

),()

(')('2

)(')(22

22

1 1 1 )

1 (

1 2

) 1 ( ) 2 ( ) ( 2 ) 1 (

) 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

c t c

dt t t y

c dt t t y

dy y y

d

dy y dy

y dy

y dy

y

n

n n

n n

n n n

n n

n n

),(

) (

1 1 ) 1 (

t y

c t y

n n





; (đã có cách giải ở trên)

b, Các phương trình cấp cao hạ thấp cấp được

*) Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm đến cấp )

1

( k

Dạng phương trình:  , ( ), ( 1 ), , ( ) 0;( )

n k y

y y x

c c x

( ) ( , 1, , )

k n k

c c x

  ; (đưa nó về dạng phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất)

Nếu từ (1.24) ta tìm được tích phân tổng quát sau:

c c y x

biết cách giải ở trên)

*) Phương trình không chứa biến số độc lập

Dạng phương trình:  , ', , ( ) 0;



n

y y y

Đặt y ' z, ta có

dy

dz z dx

dy dy

dz dx

dz dx

dy y dx y

dy '  "  "  '   Tương tự

' '

'

.'''

'''

"

'''

dy

z d z dy

dz z z

z z y

dy

dz z z dy

dy

dz z d z y

dx

dy dy dy

dz z d dx

dy

dz z d dx

dy y

y y

) 1 ( )

(

, ,

n n

dy

z d dy

dz z

thay vào phương trình đầu, ta được phương trình vi phân cấp ( n 1):

0, ,

,

) 1 (

dy

z d dy

dz z y

1

dy c

x c

c y

dy dx

Trong đó  ( )

, ,',

y y y x

F là hàm thuần nhất đối với các biến từ

y y x F t ty ty ty x





Cách giải

Đặt ' " ( )' ' ' ( 2 ')

z z y yz z y yz y yz

3 2

2 2

2

, ,',

'3

"

"

'2'

"

'2''

)'('''

z z z y y

zz z z y z zz y z z yz

z zz y z z y z

z y y



k

z z z z

z z x F

Với y 0, ta đưa phương trình trên về phương trình cấp ( n 1)

đối với biến z

 , , ', , ( 1 ) 0





z z z x



Giả sử phương trình này có nghiệm tổng quát

dx c c x y

dy c

c x y dx dy

c c x y

y c

c x z

n n

n n

), ,,()

, ,,(

), ,,(

'), ,,(

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

"

!2

)(

)(')

()()(

2 1 1

x

i i i i i

Nếu ta chia đoạn x0,x0 a thành n phần bằng nhau sao cho

khoảng cách giữa chúng càng bé thì ta có thể bỏ qua số hạng cuối cùng trong khai triển (2.1) và khai triển (2.1) chỉ còn

)(')

()()(x i 1 y x i x i 1 x i y x i

Công thức (2.2) cho ta tính được các giá trị y i(i 1, ,n)

Ta đặt như sau: x i1x i h; (i 0,1, ,n1), do đó

),(

i y hf x y

Nối liền các giá trị y bằng những đoạn thẳng, ta được một đường i

gấp khúc gọi là đường gấp khúc Euler Thực chất của phương pháp Euler

là việc thay các đạo hàm ở các mốc x i bằng các tỷ số sai phân cấp 1 của

y (cho y  f (x) xác định trên tập X, h ,0 hconst, số gia

)()(x h f x

f

 gọi là sai phân cấp 1 của f (x) tại x)

Nhận xét: từ lí luận trên, ta thấy nếu n càng lớn thì đường gấp khúc này càng gần đường cong tích phân, nhưng nếu càng tăng n thì khối

lượng tính toán sẽ tăng lên

Ví dụ 5 Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng

phương pháp Euler:

2' xy

i

x

i e x

Nhận xét : qua ví dụ trên, ta thấy phương pháp Euler có ưu điểm là đơn giản, nhưng sai số mắc phải là khá lớn, bằng cách đánh giá trực tiếp nhờ công thức Taylor ta thấy sai số mắc phải cỡ  (h2)

Để nâng cao độ chính xác của nghiệm gần đúng thông thường không trực tiếp dùng công thức (2.3), mà dùng phương pháp Euler dưới dạng cải tiến