MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ

Các bài toán vể ước lượng và tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị và xác định giới hạn của một biểu thức cho trước hoặc xây dựng công thức nghiệm của các phương trìn

Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, thi Olympíc Toán khu vực và quốc tế…các bài toán liên quan đến dãy số hay đề cập và thường là loại rất khó Các bài toán

vể ước lượng và tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị và xác định giới hạn của một biểu thức cho trước hoặc xây dựng công thức nghiệm của các phương trình nghiệm nguyên, thường có mối quan hệ ít nhiều đến các đặc trưng của dãy tương ứng

Lý thuyết về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của Giải tích toán học Tuy nhiên để tạo cho học sinh niềm tin sáng tạo và tạo cho các em thích thú với việc giải các bài toán về dãy số, khi chúng biết rằng có những mối quan hệ mật thiết giữa việc giải các các bài toán số học với các dãy số nguyên và từ đó tạo cho các

em tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số

Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là được

đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đã tích lũy soạn giảng theo

đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ ”

Đây cũng là chuyên đề mà tôi phụ trách giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh đội tuyển Toán tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia hằng năm

2 Ý nghĩa và tác dụng của đề tài

Nội dung tôi muốn đề cập trong chuyên đề này là tóm tắt một số khái niệm cơ bản về dãy số và một số phương pháp xây dựng dãy số thỏa mãn một số tính chất nào đó

số mà ta đã xác định được quan hệ của các số hạng của dãy số đó

Từ đó cho chúng ta biết các mối quan hệ giữa các bài toán về dãy số không những

có liên quan mật thiết với Đại số, Giải tích mà còn ở môn Số học Chính vì vậy, nếu sử dụng, khai thác các kiến thức Toán sơ cấp như môn Số học một cách có hiệu quả để tập dợt cho học sinh chuyên Toán sáng tạo, phát huy trí tuệ là một việc cần làm Đây lại là một nhiệm vụ khó khăn cho đội ngũ giáo viên dạy chuyên Toán mà thực tế xã hội đang

đề ra

3 Giới hạn đề tài

Đề tài chủ yếu nêu được một số phương pháp xây dựng dãy số từ các nghiệm của phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình Pell, từ hàm số phân tuyến tính và hàm lượng giác Đề tài chưa đề cập đến xây dựng dãy số từ các hàm lượng giác ngược hoặc ứng dụng toán cao cấp vào việc xác lập các dãy số có giới hạn hữu hạn

4 Hướng phát triển đề tài

Việc sáng tạo có rất nhiều con đường đi khác nhau, đề tài còn có thể phát triển, khai thác từ các hàm lượng giác ngược để xây dựng một số dãy số hoặc xây dựng một số dãy

số có giới hạn hữu hạn mà khi giải chúng cần sử dụng công cụ đạo hàm và đây là bài toán khó cần có thời gian nghiên cứu

II Phương pháp tiến hành

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

 Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là được đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi nhận thấy các dãy số

2 Các phương pháp tiến hành, thời gian tiến hành đề tài

Tôi đã tiến hành các phương pháp sau:

 Phương pháp phân tích, đánh giá, dự đoán từ các đề thi Olympiad của các nước trên thế giới và Việt Nam

 Phương pháp tổng hợp, rút ra được một số cách xây dựng bài toán mới

 Thời gian tiến hành: Trong 5 năm học từ 2010 – 2015 dựa trên thực tế giảng dạy các lớp chuyên Toán và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán dự thi cấp quốc gia, trên cơ

sở tích lũy trong quá trình soạn giảng, tham khảo ý kiến các đồng nghiệp và được tích lũy

từ các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đúc kết viết kinh nghiệm giảng dạy này

B NỘI DUNG

I Mục tiêu

 Xây dựng một số dãy số mới từ việc giải các phương trình bậc hai, giải phương

trình nghiệm nguyên, công thức nghiệm của phương trình Pell, xây dựng dãy số từ hàm

phân tuyến tính và hàm lượng giác nhằm tạo ra được một lớp bài tập về dãy số

 Tạo cho học sinh không ngại khó, tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số, vì những bài toán đó có thể giải được chỉ qua vài phép biến đổi đại số, số học, công thức

lượng giác có thể đưa về bài toán quen thuộc

 Tạo cho học sinh biết cách sáng tạo, bước đầu nghiên cứu sự hình thành các bài toán mới từ các bài toán đơn giản

 Tạo nguồn tài liệu về chuyên đề dãy số dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

II Mô tả đề tài

1- Thuyết minh chung nội dung đề tài dự thi

1.1 Những nhược điểm hiện tại

- Giáo viên và học sinh thường tập hợp các bài toán đã có trong các đề thi học sinh

giỏi các năm trước, phân loại và tìm tòi các phương pháp giải, phục vụ cho việc giảng

- Tính thụ động, không chịu đào sâu suy nghĩ các kiến thức đã được học của học sinh,

hơn nữa học sinh chưa dám mạnh dạn nghĩ ra một bài toán khác từ các bài toán cơ bản

- Đã sử dụng, khai thác việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc công thức

nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và một số hàm số xây dựng

được một số dãy số mà mối quan hệ của các số hạng của dãy số đã biết được

- Giúp học sinh chuyên Toán biết cách đào sâu kiến thức toán học phổ thông, tạo

niềm say mê nghiên cứu, tự tin tập dợt sáng tạo

- Giúp cho giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có tài liệu về việc soạn

giảng chuyên đề về dãy số

1.3 Nội dung giải pháp

- Sử dụng việc xác định nghiệm của phương trình bậc hai, xây dựng công thức

nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và tính chất của hàm phân

tuyến tính và hàm lượng giác xây dựng được một số lớp bài toán về dãy số Đề tài đưa

ra 6 phương pháp xây dựng dãy số

a Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai

b Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm nguyên

c Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pellx2dy2 1

d Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell chứa tham số

x dy m

e Xây dựng các dãy số từ các hàm số phân tuyến tính

f Xây dựng dãy số từ các hàm lượng giác

2- Khả năng áp dụng

 Đề tài đã được soạn giảng, bồi dưỡng cho học sinh các lớp chuyên Toán của

trường THPT chuyên Lê Quý Đôn và các em trong đội học sinh giỏi Toán của Sở Giáo

dục và Đào tạo Bình Định dự thi học sinh giỏi Toán THPT quốc gia hằng năm

 Giúp cho học sinh tiếp cận và tập dợt nghiên cứu, sáng tạo

 Đề tài cũng đã giúp cho các đồng nghiệp trong tổ Toán trao đổi xây dựng được

một số lớp bài toán về dãy số, mà cách giải dựa trên những kiến thức rất cơ bản

 Đề tài còn có thể phát triển, khai thác từ các hàm lượng giác ngược để xây dựng một số dãy số hoặc xây dựng một số dãy số có giới hạn hữu hạn mà khi giải chúng cần

sử dụng công cụ đạo hàm và đây là bài toán khó cần có thời gian nghiên cứu

3- Lợi ích kinh tế-xã hội

 Hầu hết các em học sinh các lớp chuyên Toán hiểu và vận dụng được, tạo cho các em say mê sáng tạo và có những cách giải độc đáo khác ngoài cách xây dựng nên dãy số đó

 Rèn luyện và phát huy được tính sáng tạo cho học sinh

 Giúp cho đồng nghiệp trong tổ Toán có tư liệu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tham gia thi chọn học sinh giỏi các cấp

 Kết quả: Khi soạn giảng các chuyên đề này cho học sinh các đội tuyển tham gia thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, các em học sinh đã đạt được một số kết quả sau

 Kết quả thi học sinh giỏi Toán của Tổ Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn

* Kết quả thi học sinh giỏi Toán của các lớp do tôi trực tiếp giảng dạy :

III Nội dung đề tài

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ

Chương I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ

x  x x  x Dãy số tăng hoặc giảm còn gọi chung là dãy đơn điệu

 Dãy số  x n được gọi là bị chặn trên, nếu M:x n M, n 

 Dãy số  x n được gọi là bị chặn dưới, nếu  m :x n m, n 

Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

 Dãy số  x n được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k, nếu x n k x n,  n Dãy số tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng

1.3 Một số định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số

 Định nghĩa 1 Ta nói dãy số x n có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng, nếu với mọi  0, tồn tại số tự nhiên 0( phụ thuộc vào dãy số  x n và  ) sao cho với mọi n > 0, ta có x na 

Ký hiệu: l im xn a   0,0: n 0 x na 

 Định nghĩa 2 Ta nói dãy số  x n dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng, nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên 0( phụ thuộc vào dãy số  x n

và  ) sao cho với mọi n > 0, ta có x n M

Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi là dãy hội tụ Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ

 Định lý 1 ( Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ )

Số d gọi là công sai của cấp số cộng, x0 gọi là số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Ta có các tính chất cơ bản sau của một cấp số cộng

Số q gọi là công bội của cấp số nhân, x0 gọi là số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Ta có các tính chất cơ bản sau của một cấp số nhân

2 1

Phương trình Pell loại 1 với d là số không chính phương có nghiệm nguyên dương

nên tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất ( ; )x y  ( ; )a b , trong đó b là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 1 db 2 là số chính phương

nghiệm nguyên dương của phương trình (3),   n *

3 Phương trình Pell có chứa tham số

Định nghĩa

Phương trình Pell có chứa tham số là phương trình có dạng x2dy2 m (4), trong

đó d là một số nguyên dương không chính phương, còn m là số nguyên

§1 Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta nhận thấy từ hai nghiệm của một phương trình bậc hai có thể xây dựng ra các dãy truy hồi tuyến tính bậc hai ( kiểu dãy số Fibonacci)

3

A

x x B

Nếu đặt x n y n11 y20162017 Từ đó, ta có bài toán

Bài toán 3 Cho dãy số  y n được xác định:

90

A

x x B

Do đó, ta có bài toán VMO(2011)

Bài toán 4 Cho dãy số  y n được xác định:y0 1,y1 1,y n26y n15y n,  n Chứng minh rằng (y20122010) 2011

Do đó, nếu đặt x n2  y n, ta được bài toán

Bài toán 5 Cho dãy số  y n được xác định:y0 1,y11,y n27y n1y n2,  n Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số  y n đều là số chính phương

Nhận xét

1 Với cách chọn phương trình bậc hai có nghiệm biết trước cho mục đích nào đó,

ta xây dựng các dãy số mà mối quan hệ các số hạng của dãy số đó đã được xác định

2 Từ các dãy truy hồi tạo được, ta đã có ít nhất một cách xác định được công thức

của dãy số đã cho

là số nguyên Đấy là điều bất ngờ Tuy nhiên, nếu xem xét kỹ, ta có thể thấy chúng có một mối quan hệ “mật thiết”

Chúng ta xét một dãy số sau: Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số  x n xác

1 Xét phương trình nghiệm nguyên dương

51

Thay n bởi n-1, ta được x n21x n25x n1x n 5 0 (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta nhận thấy x n1,x n1 là nghiệm của phương trình bậc hai

số hạng (x x n; n1),  n là nghiệm của phương trình (1.1)

Thật vậy, xét x n21x n225x n1x n2 x n21(5x n1x n)25x n1(5x n1x n)

x n2x2n15x x n n1 5

Do đó (x n1;x n2) cũng là nghiệm của phương trình (1.1)

Ta kết luận phương trình (1.1) có vô số nghiệm nguyên dương

 Từ phương trình (1.1), viết lại x25yxy2 5 0 có vô số nghiệm ( ; )x y nguyên dương, nên suy ra  25y24(y25)21y220 phải là số chính phương Từ đậy, ta xây dựng bài toán về dãy số

Bài toán 6 Cho dãy số  x n được xác định: x0 1,x12, x n2 5x n1x n,  n Chứng minh rằng số 21x n220,  n đều là số chính phương

Bài toán 7 Cho dãy số  x n được xác định: x0 1,x12, x n2 5x n1x n,  n Chứng minh rằng (x n215)x n, n 

2 23 1 10

x   x  x  Đặt x n2 y n, ta có bài toán

Bài toán 8 Cho dãy số  y n được xác định:

Thay n bởi n-1, ta được x n21x n28x n1x n 6 0 (2.4)

Từ (2.3) và (2.4) ta nhận thấy x n1,x n1 là nghiệm của phương trình bậc hai

Thật vậy, xét x n21x n228x n1x n2x n21(8x n1x n)28x n1(8x n1x n)

x n2x2n18x x n n1 6

Do đó (x n1;x n2) cũng là nghiệm của phương trình (2.1)

Ta kết luận phương trình (2.1) có vô số nghiệm nguyên dương

 Từ phương trình (2.1), viết lại x28yxy2 6 0 có vô số nghiệm ( ; )x y nguyên

2 62 1 12

x   x  x  Đặt x n2 y n, ta có bài toán

Bài toán 12 Cho dãy số  y n được xác định:

0 1, 1 1, n 2 62 n 1 n 12,

y  y  y   y  y    n Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số

 y n đều là số chính phương

3 Xét phương trình nghiệm nguyên dương x2y2103(x1)(y1) (3.1)

Ta nhận thấy phương trình (3.1) có nghiệm (x y0; 0)(1;1) Lập dãy số  x n xác định: x01,x11,x n2x n21103(x n1)(x n11)  n

x n213(x n1)x n1x n23x n 7 0,   n (3.2)

Thay n bởi n-1 vào (3.2) ta được x n213(x n1)x n1x n23x n 7 0,   n (3.3)

Từ (3.2) và (3.4) ta nhận thấy x n1,x n1 là nghiệm của phương trình bậc hai

Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x01,x11,x n2 3x n1x n3,  n có các cặp

số hạng (x x n; n1),  n là nghiệm của phương trình (3.1)

Từ phương trình (3.1), viết lại

103

ta xây dựng hai bài toán

Bài toán 13 Cho dãy số  x n được xác định:

Chứng minh rằng số 5x n1x n3(x n1x n) 7,   n đều là số chính phương

4 Xét phương trình có nghiệm nguyên dương x 1 y 1 4

     Từ đậy, ta xây dựng hai bài toán

Bài toán 16 Cho dãy số  x n được xác định:

x0 1,x12,x n24x n1x n   1, n

Chứng minh rằng số 2x n1x n(x n1x n),   n đều là số chính phương

Bài toán 17 Cho dãy số  x n được xác định:

x0 1,x12,x n24x n1x n   1, n

Chứng minh rằng số (x20142 x2014)x2013

Nhận xét

1 Với cách xây dựng dãy số là các nghiệm nguyên dương của một phương trình

nghiệm nguyên, ta đã nắm được các quan hệ của các số hạng trong dãy số tạo thành, từ

đó cho phép ta đưa ra các bài toán trên

2 Từ các dãy xác định bởi các công thức truy hồi trên, ta đã có ít nhất một cách xác

định được công thức của dãy số đã cho

Xét phương trình Pell x28y21,có nghiệm nhỏ nhất (3;1) (5.1)

Vậy công thức nghiệm nguyên dương của phương trình là hai dãy số  x n ,  y n xác

Từ đây, ta xây dựng các bài toán về dãy số

Bài toán 18 Cho dãy số  u n được xác định: u11,u2 8,u n2 6u n1u n2,  n *

2 Xét phương trình nghiệm nguyên dương x2y26xy2x6y0 (6.1)

Ta biến đổi phương trình (6.1) về dạng (x3y1)28y21 (6.2)

Đặt X x 3y 1, phương trình (6.2) trở thành X28y21 (6.3)

Phương trình (6.3) có nghiệm nhỏ nhất (3;1)

dương của phương trình (6.3),   n *

Từ đó suy ra xX  3y 1 là số nguyên dương khi X y, là số nguyên dương

Từ công thức nghiệm của phương trình (6.3), ta xây dựng nghiệm của phương trình (6.1) bằng cách

thì (x n;y n)là tất cả các nghiệm nguyên dương

của phương trình (6.1),   n * Từ đây ta xây dựng các bài toán về dãy số

Bài toán 20 Cho dãy số  u n được xác định: y11,y2 5,y n2 6y n1y n,  n * Chứng minh rằng số 8y n2   1, n *đều là các số chính phương

Bài toán 21 Cho dãy số  x n và  y n được xác định: