Một số phương pháp toán xây dựng các ma trận hadamard đến cấp 1000

Mỗi phương pháp được chọn chỉ thích hợp đểxây dựng một số ma trận Hadamard vì khả năng vét cạn tất cả các ma trận nàybằng một phương pháp xây dựng là không khả thi.Luận văn cũng trình bà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa Khoa Học Ứng Dụng

LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên tôi xin trân trọng kính gửi đến Thầy hướng dẫn, TS NguyễnVăn Minh Mẫn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy đã rất ân cần vàtận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp nhữngthắc mắc khi tôi gặp phải Từ Thầy, tôi học được lòng say mê nghiên cứu Toánhọc ứng dụng, tác phong làm việc khoa học nghiêm túc Tôi sẽ luôn ghi nhớ nhữnglời dạy, sự chỉ bảo ân cần của Thầy trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô trong và ngoài bộmôn Toán học ứng dụng trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh đã tận tìnhtruyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tậptại trường

Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa khoa học ứng dụng, quý Thầy, Côthuộc Phòng Quản lý Sau Đại học, thư viện trường Đại học Bách Khoa TP HồChí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học cũng nhưtrong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp

Xin cảm ơn các anh chị lớp Cao học Toán Ứng Dụng Khóa 2007, các anh chịtrong nhóm SAM do Thầy Mẫn và Thầy Trần Nam Dũng tổ chức, đã động viên

và nhiệt tình giúp đỡ, đóng góp ý kiến quý báu cho các báo cáo của tôi trong suốtthời gian qua

Tôi cũng xin gửi lời tri ơn đến gia đình tôi, những người đã hết lòng lo lắng

và luôn ở bên tôi trong những lúc khó khăn nhất, người Cha già dù bị bệnh tậthành hạ vẫn động viên tôi yên tâm cố gắng học Nay Cha không còn nữa để conđược đền đáp công ơn trời biển

Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏithiếu xót Tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thànhcủa các bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2010

Nguyễn Trung Dũng

TỔNG QUAN ĐỀ TÀILuận văn hệ thống một số kiến thức nền tảng và tập trung vào 9 phươngpháp cơ bản để xây dựng các ma trận Hadamard có cấp đến 1000 trừ các cấp chưaxây dựng được là 668, 716 và 892 Mỗi phương pháp được chọn chỉ thích hợp đểxây dựng một số ma trận Hadamard vì khả năng vét cạn tất cả các ma trận nàybằng một phương pháp xây dựng là không khả thi.

Luận văn cũng trình bày hai ứng dụng quan trọng của ma trận Hadamard là:Ứng dụng 1: Xây dựng các hàm Walsh và xây dựng các mã sửa lỗi trong truyềnhình ảnh vệ tinh

Ứng dụng 2: Xây dựng các ma trận thiết kế trong thiết kế nhân tố nhị phân.Việc lập trình và tích hợp web cũng bao gồm trong luận văn

Mục lục

1.1 Ma trận Hadamard 1

1.2 Các tính chất và phân loại 2

1.3 Lý Thuyết Ma Trận 5

1.4 Trường Hữu Hạn 8

1.5 Lý Thuyết Nhóm 10

1.5.1 Một số khái niệm 10

1.5.2 Tác động của nhóm lên một tập hợp 12

1.6 Một Số Đối Tượng Thiết Kế Tổ Hợp 14

1.6.1 Thiết kế đối xứng 15

1.6.2 Các tập hiệu phụ nhau 17

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG THÔNG DỤNG 19 2.1 Phương Pháp Sylvester 19

2.2 Phương Pháp Paley 20

2.3 Phương Pháp Williamson 27

2.4 Phương Pháp Baumert-Hall 36

2.5 Phương Pháp Goethals-Seidel 38

2.6 Phương Pháp Cooper-Wallis 43

2.7 Phương Pháp Miyamoto 44

3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐẶC BIỆT 47 3.1 Phương Pháp Phân Rã Chiến Thuật 47

3.1.1 Xây dựng các ma trận Hadamard đều 51

3.1.2 Xây dựng ma trận Hadamard cấp 324 kiểu Bush 56

3.2 Phương Pháp Sử Dụng Các Tập Hiệu Phụ Nhau 58

MỤC LỤC

4.1 Trong Truyền Thông và Truyền Tín Hiệu 61

4.1.1 Hàm Walsh 61

4.1.2 Xây dựng mã sửa lỗi từ ma trận Hadamard 63

4.2 Ứng Dụng Trong Xây Dựng Thiết Kế Nhân Tố 66

4.2.1 Một số khái niệm mở đầu 67

4.2.2 Trong thiết kế nhân tố nhị phân đầy đủ 68

4.2.3 Trong các thiết kế một phần 69

5 CÁC TÍNH TOÁN 72 5.1 Giới Thiệu GAP Và Các Tính Toán 72

5.2 Giới Thiệu Trang Web Online Của Nhóm SAM 75

6 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 77 6.1 Kết Luận 77

6.2 Hướng Phát Triển 78

Danh sách hình vẽ

2.1 Phương pháp Paley 26

2.2 Phương pháp Williamson 35

2.3 Phương pháp Cooper-Wallis 44

2.4 Phương pháp Miyamoto 46

3.1 Phương pháp phân rã chiến thuật 51

4.1 Hàm Walsh xây dựng từ ma trận Sylvester-Hadamard cấp 8 62

5.1 Sơ đồ tính toán xây dựng một ma trận Hadamard 74

DANH SÁCH HÌNH VẼ

LỜI GIỚI THIỆUTrong khoa học kỹ thuật cũng như trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất tathường gặp những bài toán như: làm thế nào để giảm thiểu tối đa lỗi trong truyềntín hiệu, thiết kế các thí nghiệm sao cho chi phí về thời gian và ngân sách đượcgiảm thiểu nhưng vẫn cho kết quả tốt, Ma trận Hadamard có thể được sử dụng

để giải quyết các bài toán này

Qua hơn một thế kỉ, kể từ khi Jacques Hadamard (1893) và trước đó làSylvester (1867) đề cập đến các bài toán về ma trận Hadamard, ma trận này đãđược ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực : điện tử, truyền hình ảnh, tin học,

y học, sinh học, kinh tế, Do yêu cầu của thực tế là lượng thông tin ngày càngtăng, đòi hỏi cấp của các ma trận Hadamard xây dựng được nâng lên và bổ sungđầy đủ hơn bằng nhiều phương pháp toán học khác nhau cùng với sự trợ giúp hiệuquả của máy tính

Ngày nay, bài toán xây dựng ma trận Hadamard vẫn thu hút được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu bởi các ứng dụng quan trọng của nó và các cấpchưa xây dựng được cùng với các bài toán mở thú vị của loại ma trận này

Các nghiên cứu trong và ngoài nước:

Trên thế giới có nhiều nhà toán học như Sylvester, Hadamard, J Seberry,Miyamoto, K.J Horadam, C Koukouvinos, Sloan, J Williamson, Paley, S.S Aga-ian, Dokovic, Janko, đã có nhiều đóng góp quan trọng trong nghiên cứu cácphương pháp xây dựng các ma trận này Bài toán này cũng được các viện nghiêncứu quan tâm như Viện thống kê nông nghiệp Ấn Độ đã hoàn thành việc xây dựngcác ma trận Hadamard đến cấp 1000 từ năm 2007 (trừ một số cấp đặc biệt vẫnchưa có phương pháp xây dựng là 668, 716, 892) Ma trận Hadamard cấp 428 vẫnchưa xây dựng được cho đến năm 2004

Trong nước, TS Nguyễn Văn Minh Mẫn cũng đã xây dựng được các ma trậnHadamard đến cấp 600 năm 2005 (http://mathdox.org/mnguyen) Hiện tại có rất

ít tài liệu trong nước viết về ma trận Hadamard

Nội dung nghiên cứu:

Nghiên cứu chủ yếu tập trung vào việc xây dựng cơ sở toán học cho một sốphương pháp xây dựng các ma trận Hadamard đến cấp 1000 Mỗi phương pháp xâydựng được một họ các ma trận Hadamard thoả mãn những điều kiện cho trước.Một ma trận Hadamard cũng có thể xây dựng được từ nhiều phương pháp khác

Các ứng dụng của ma trận Hadamard cũng có vai trò quan trọng trong nghiêncứu Luận văn giới thiệu hai ứng dụng : trong truyền hình ảnh và trong thiết kếthí nghiệm nhân tố.

Phương pháp thực hiện:

Các phương pháp xây dựng ma trận Hadamard dựa trên cơ sở lý thuyết củanhiều nhánh toán học như: Đại số tuyến tính, Lý thuyết số, Lý thuyết thiết kế tổhợp, Do vậy, phương pháp chính thực hiện đề tài như sau : Các lý thuyết nềntảng thiết yếu sẽ được tìm hiểu và đề cập trước, thống nhất các ký hiệu và cáchgọi tên trong toàn bộ luận văn Sau đó sẽ đi sâu tìm hiểu, chứng minh cho từngphương pháp xây dựng, nêu thuật toán và lập trình kiểm thử

Bố cục luận văn:

• Chương 1: Trình bày khái quát về ma trận Hadamard và những kiến thức cơ

sở cho các phương pháp ở chương 2 và chương 3

• Chương 2: Nêu các phương pháp xây dựng thường dùng Các phương phápnày chủ yếu dựa trên lý thuyết ma trận và lý thuyết trường hữu hạn

• Chương 3: Trình bày hai phương pháp sử dụng lý thuyết nhóm và lý thuyếtthiết kế tổ hợp là: Phương pháp dựa trên sự phân rã chiến thuật của một thiết

kế đối xứng và phương pháp dựa trên các tập hiệu phụ nhau

• Chương 4: Giới thiệu về hai ứng dụng quan trọng của ma trận Hadamard

• Chương 5: Trình bày các tính toán và giới thiệu trang web online các ma trậnHadamard

• Chương 6: Nêu kết luận và các hướng phát triển của đề tài

Chương 1

KIẾN THỨC NỀN TẢNG

Chương này trình bày về lý thuyết cơ bản ma trận Hadamard và kiến thức

cơ sở để xây dựng các phương pháp tìm kiếm

1.1 Ma trận Hadamard

[TLTK : 1, 2, 3, 5, 11, 16, 19]

Định nghĩa 1.1 Một ma trận vuông H cấp n , với các phần tử là 1 hay −1 và

hai dòng (cột) phân biệt bất kì trực giao nhau (theo nghĩa tích vô hướng bằng 0),được gọi là một ma trận Hadamard

Từ đây trở đi ta kí hiệu:

1 ’+’ thay cho ’1’ và ’-’ thay cho ’-1’ trong biểu diễn của ma trận Hadamardnhằm đảm bảo tính cân xứng

2 H n để chỉ một ma trận Hadamard cấp n.

3 1n là một vec tơ cột gồm n phần tử có giá trị 1; J n là ma trận vuông cấp n có

tất cả các phần tử đều bằng 1

1.2 CÁC TÍNH CHẤT VÀ PHÂN LOẠI

4 Một ma trận có các phần tử lấy giá trị trong tập S = {−1, 1} được gọi là (-1,1)-ma trận Tương tự khi S = {0, −1, 1} ta có (0,-1,1)-ma trận Tổng quát

ta kí hiệu S-ma trận.

Năm 1893 Hadamard xét bài toán định thức lớn nhất của một ma trận vuông

có các phần tử thuộc một đĩa tròn bán kính 1 trên tập phức Định lý sau là trườnghợp riêng của bài toán khi xét trên tập số thực với các phần tử của ma trận lấy

trong tập {−1, 1}.

Định lý 1.2 Giả sử A n = (a ij ) là một ma trận vuông thực cấp n có các phần tử

a ij ∈ {−1, 1} với mọi i, j = 1, 2, , n Thì

|det (A n ) | ≤ n n/2

Bất đẳng thức có dấu bằng nếu và chỉ nếu A n là một ma trận Hadamard cấp n.

Chứng minh Giả sử A n = [a1a2 a n]t , với a i , i = 1, , n, là các dòng của A n Như

trong hình học Euclide, |det(H n )| là thể tích của khối hộp với kích thước các chiều tương ứng là |a1|, |a2|, , |a n | , trong đó |.| là độ dài Euclide Vậy

Nhận xét: H là một ma trận Hadamard tương đương với điều kiện HH t = nI n

Định nghĩa 1.3 Một ma trận Hadamard H n có mọi phần tử ở dòng đầu và cột

đầu đều là 1 , gọi là ma trận Hadamard được chuẩn hóa Nếu H n có các phần tử

ở cột đầu đều là 1 thì gọi là ma trận Hadamard bán chuẩn

1.2 CÁC TÍNH CHẤT VÀ PHÂN LOẠI

3 Hoán vị các dòng (tương ứng cột) của H n , nhân các dòng (cột) của H n với -1

ta cũng có được ma trận Hadamard cùng cấp

4 n = 1, n = 2, n ≡ 0(mod 4) (n gọi là số Hadamard)

5 Nếu H n ở dạng chuẩn và n = 4m (m là một số nguyên dương) thì mỗi dòng (cột), trừ dòng (cột) đầu tiên, đều có 2m phần tử có giá trị 1 và 2m phần tử

có giá trị -1 Hơn nữa, m giá trị 1 trong dòng (cột) bất kì trùng với m giá trị

trong các dòng (cột) khác

Chứng minh.

1 Suy ra từ định lí 1.2

2 Rõ ràng với n là một số nguyên dương thì |det(H n )| = n n2 6= 0, nên H n không

suy biến (Chú ý rằng giá trị định thức này luôn là một số nguyên vì H n là một

n cũng là một ma trận Hadamard

3 Khi hoán vị các dòng (cột) của ma trận H n không là thay đổi số giá trị 1, -1trên mỗi dòng (cột) cũng như tính trực giao của hai dòng (cột) phân biệt Dovậy ma trận kết quả sau hoán vị cũng là một ma trận Hadamard Khi nhânmột dòng (cột) với -1 cũng không làm thay đổi tính trực giao của dòng (cột)

đó với các dòng (cột) khác nên ma trận thu được vẫn là ma trận Hadamard

4 Trường hợp n = 1 và n = 2 là tầm thường.Trường hợp n = 3 không thể xảy

ra vì theo (1) ở trên det(H3) = 332 là một giá trị không nguyên

Với n ≥ 4, không mất tính tổng quát, giả sử rằng H n có dạng chuẩn Vì mỗi

dòng của H n, trừ dòng đầu, là trực giao với dòng đầu nên số số 1 và số số -1

trên mỗi dòng đó là bằng nhau, giả sử là bằng số k, từ đó n = 2k Bằng các phép hoán vị (nếu cần) ta có dòng thứ 2 của H n có k phần tử đầu có giá trị

1 và trong k phần tử đầu ở dòng thứ 3 có j phần tử có giá trị 1, k − j phần

tử có giá trị -1 Suy ra trong k phần tử còn lại của dòng thứ 3 có k − j giá trị

1 và j giá trị -1 Theo tính trực giao của dòng 2 và dòng 3, ta có

j + (−1).(k − j) + (−1).(k − j) + j = 0 ⇒ 2k = 4j ⇒ n = 4j.

Chiều ngược lại đến nay vẫn còn là một dự đoán

1.2 CÁC TÍNH CHẤT VÀ PHÂN LOẠI

5 Suy ra từ (4) vì hai dòng bất kì, trừ dòng đầu, đều có thể thay thế cho dòng 2

và dòng 3 trong chứng minh (4).Trường hợp cho cột, chứng minh tương tự ¤

Định nghĩa 1.4 Hai ma trận Hadamard cùng cấp gọi là tương đương (hay

H-tương đương) nếu từ một ma trận, bằng các phép hoán vị dòng (cột) và nhân dòng(cột) với -1, ta được ma trận còn lại

Mỗi cấp của ma trận Hadamard có thể có nhiều lớp tương đương Các matrận Hadamard các cấp bé hơn 16 có một lớp tương đương duy nhất., với cấp 16

có đúng 5 lớp tương đương, cấp 20 có 3 lớp tương đương, cấp 24 có 60 lớp tươngđương, cấp 28 có 478 lớp tương đương (xem [3]) Sự phân lớp tương đương đầy đủcủa các ma trận Hadamard cấp từ 32 trở đi vẫn còn là bài toán mở

Mọi ma trận Hadamard đều tương đương với một ma trận Hadamard được chuẩnhóa cùng cấp

Độ dôi (Excess) của một ma trận Hadamard H n , kí hiệu E(H), chính là tổng các phần tử của H n , |E(H)| ≤ n 3/2 Bài toán xây dựng các ma trận Hadamard có độdôi tối đa ứng với mỗi cấp ma trận cho trước được nhiều nhà toán học quan tâm.Định nghĩa 1.5 Một ma trận Hadamard gọi là đều nếu tổng mỗi dòng (cột) của

nó đều bằng một hằng số

Từ định nghĩa 1.5 suy ra, nếu H n là một ma trận Hadamard đều thì

H n J = JH n = kJ Định nghĩa 1.6 Ma trận Hadamard H có kiểu Bush là ma trận Hadamard đều có cấp 4m2 , trong đó mỗi dòng và cột chứa một số không đổi 2m2− m hay 2m2+ m

số 1, và H là một ma trận khối : H = [H ij ], với mỗi khối H ij là một ma trận vuông

cỡ 2m, sao cho H ii = J 2m và H ij J 2m = J 2m H ij = 0, i 6= j 1 ≤ i, j ≤ 2m, với J 2m là

ma trận vuông cấp 2m có mọi phần tử đều bằng 1.

Bush, Wallis và Kharaghani chứng tỏ rằng nếu tồn tại các ma trận Hadamard

cấp 2n, với n chẵn, thì tồn tại ma trận Hadamard kiểu Bush cấp 4n2 Một kết quảcủa Bussemaker, Haemers và Spence cho thấy ma trận Hadamard kiểu Bush cấp

36 không tồn tại

Phần còn lại của chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị phục vụ cho cácphương pháp xây dựng các ma trận Hadamard ở chương sau

3 Một ma trận C = [c ij]n được gọi là ma trận conference nếu C là ma trận có

các phần tử trên đường chéo bằng 0, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng

6 Ma trận A là unita nếu AA ∗ = A ∗ A = I (trong đó A ∗ là chuyển vị của liên

hợp của ma trận A, A ∗ = (A c)t) Vậy khi xét trên trường số thực thì ma trận

1.3 LÝ THUYẾT MA TRẬN

8 (Tích Kronecker hay tích tensor) Nếu A = (a ij)m×p và B = (b ij)n×q thì tích

Kronecker của A với B là A ⊗ B =

Chú ý rằng phép ⊗ không giao hoán.

9 Cho hai ma trận A = (a ij ) và B = (b ij ) cùng cấp m × n Tích Hadamard, kí hiệu ◦, của hai ma trận A và B là một ma trận C = A ◦ B = (c ij ) cấp m × n, với c ij = a ij ∗ b ij

10 Cho G là một nhóm cộng aben cấp n với các phần tử theo thứ tự là g1, g2, , g n

X, Y là các tập con khác rỗng của G Ta có các định nghĩa:

• Ma trận A = (a ij ) cấp n, với a ij = 1 nếu g i − g j ∈ X và a ij = −1 nếu

g i − g j ∈ X, gọi là (1, -1)-ma trận kề type I của X trong G /

• Ma trận B = (b ij ) cấp n, với b ij = 1 nếu g i + g j ∈ Y và b ij = −1 nếu

g i + g j ∈ Y , gọi là (1, -1)-ma trận kề type II của Y trong G /

• Ma trận R = (r ij ) cấp n, với r ij = 1 nếu g i + g j = e G và r ij = 0 trongtrường hợp còn lại, được gọi là ma trận đường chéo phụ (các phần tử nằm

1.3 LÝ THUYẾT MA TRẬN

Bổ đề 1.7.Nếu A, B là các ma trận kề type I, C là ma trận kề type II, R là

ma trận đường chéo phụ trên một nhóm cộng aben cấp n thì

• AB = BA; (giao hoán)

• Ma trận kề type I gọi là ma trận vòng (circulant), tức là ma trận kề type

I A = (a ij ) thoả a i,j = a 1,j−i+1

• Ma trận kề type II gọi là ma trận vòng lui (back-circulant), tức là ma trận

kề type II B = (b ij ) thoả b i,j = b 1,i+j−1

Nếu biết các phần tử dòng đầu tiên của một ma trận vòng (hay vòng lui)thì bằng các phép dịch phải (hay dịch trái) liên tiếp các phần tử dòng đầu này

ta sẽ có toàn bộ ma trận đó

11 Bốn ma trận vòng T1, T2, T3, T4 cấp n có các phần tử lấy giá trị trong tập

{0, −1, 1} được gọi là các T -ma trận nếu chúng thoả các điều kiện sau:

(i) T i ◦ T j = 0 với mọi i 6= j; (0 là ma trận cấp n có mọi phần tử bằng 0)

được gọi là các ma trận Williamson

Bốn (-1,1)-ma trận A, B, C, D cấp n thoả hai điều sau:

• XY t = Y X t , với X, Y ∈ {A, B, C, D} (tức là A, B, C, D thân thiết từng

đôi)

1.4 TRƯỜNG HỮU HẠN

• AA t + BB t + CC t + DD t = 4nI n

được gọi là các ma trận kiểu Williamson (Williamson-type matrices).

13 Gọi A, B, C, D là các ma trận vuông cấp n có các phần tử lấy giá trị trong tập hợp {1, −1} Ta có các định nghĩa sau :

mảng Goethals-Seidel cấp 4n.

1.4 Trường Hữu Hạn

[TLTK : 1, 7, 8]

Trường hữu hạn F p n = GF (p n ) (trong đó p là một số nguyên tố, n là một

số nguyên dương) có p n phần tử , có vai trò quan trọng trong phương pháp Paley(mục 2.2) để xây dựng các ma trận Hadamard Phần này tập trung trình bày kháiniệm các thặng dư bậc hai trong trường hữu hạn

Định nghĩa 1.8 Một phần tử s khác 0 của trường F p n là thặng dư bậc hai

(quadratic residue) nếu phương trình s = t2 có nghiệm t trong F p n

Số q là một lũy thừa nguyên tố nếu q = p r , với p là số nguyên tố Chú ý rằng các

trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với nhau

Nhận xét:

• Nếu q = p r , với p là số nguyên tố lẻ, thì F q có đúng (q −1)/2 phần tử khác 0 là

1.4 TRƯỜNG HỮU HẠN

• Nếu r = 1 thì ta có thể đồng nhất GF (p) với tập {0, 1, , p − 1}

• Nếu gọi g là một phần tử gốc (primitive element) của trường F q (là phần tử

sinh của nhóm nhân F q ∗ - là một nhóm xylic, khi đó g là nghiệm của một

đa thức bất khả qui cấp n trên trường GF (p)), QR(q) là tập các phần tử

Định nghĩa 1.9.(Legendre symbol) Giả sử α ∈ F q Kí hiệu Legendre là một hàm

số được định nghĩa bởi

k6=i,j χ(α i − α k )χ(α j − α i + α i − α k) =Pk6=i,j χ2(α i − α k )χ((α i − α k)−1 (α j −

α i) + 1) =Pk6=i,j χ((α i − α k)−1 (α j − α i ) + 1).

Việc xây dựng ma trận Hadamard theo phương pháp phân rã chiến thuật

(Tactical Decomposition-TD) và phương pháp các tập hiệu phụ nhau

(Supplemen-tary Difference Sets-SDS) chủ yếu dựa trên việc phân rã tập hợp theo yêu cầu cho

trước bằng cách sử dụng một nhóm thích hợp tác động lên thiết kế hay tập hợp.Phần này trình bày một số khái niệm trong lý thuyết nhóm và tác động của mộtnhóm có cấp hữu hạn lên một tập hợp cho trước

1.5.1 Một số khái niệm

Định nghĩa 1.11 Một nhóm là một cặp (G, ∗), trong đó G là một tập hợp khác rỗng và ∗ là phép toán hai ngôi thoả 3 tính chất sau:

1 (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), với mọi x, y, z ∈ G

2 Có phần tử trung lập e ∈ G có tính chất: x ∗ e = e ∗ x = x, với mọi x ∈ G

3 Với mọi x ∈ G, có một phần tử x 0 ∈ G, gọi là phần tử nghịch đảo của x, sao

cho x ∗ x 0 = x 0 ∗ x = e

Từ đây ta chỉ xét những nhóm có hữu hạn phần tử

Một số khái niệm liên quan:

• Nếu phép toán ∗ giao hoán thì nhóm G gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm

1.5 LÝ THUYẾT NHÓM

• Nhóm G gọi là nhóm Aben sơ cấp (elementary Abelian group) nếu tồn tại một

số nguyên tố p sao cho cấp của mọi phần tử trong G đều chia hết cho p.

• Tập S n gồm tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên n phần tử cùng

với phép hợp thành các ánh xạ đó lập thành một nhóm, gọi là nhóm đối xứng

bậc n Nhóm con của nhóm đối xứng gọi là nhóm hoán vị.

• Nhóm xylic (cyclic) là nhóm sinh bởi một phần tử Như vậy nếu G là một nhóm xylic sinh bởi phần tử g thì mọi phần tử của G đều biểu diễn được dưới dạng một lũy thừa của g.

• Cho hai nhóm (G, ∗) và (H, +) Một ánh xạ f : G −→ H sao cho với mọi

x, y ∈ G ta có f (x ∗ y) = f (x) + f (y), được gọi là một đồng cấu nhóm từ G

vào H Hơn nữa nếu f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì f gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tương ứng Đẳng cấu từ nhóm G vào chính nó gọi là tự đẳng cấu, tập tất cả các tự đẳng cấu của nhóm G kí hiệu là Aut(G).

• Giả sử K và H là hai nhóm, gọi θ : H →Aut(K) là một đồng cấu nhóm Tích nửa trực tiếp (semidirect product) K o θ H của K và H (theo θ) là nhóm bao

gồm tất cả những cặp có thứ tự (k, h), k ∈ K, h ∈ H, với phép toán nhóm định nghĩa bởi : với mọi k1, k2 ∈ K và h1, h2 ∈ H

Định lí 1.12 (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm

con của G Khi đó tập các lớp kề của H trong G, kí hiệu tập các lớp kề trái (phải)

là G/H (H\G), tạo thành một phân hoạch của G và hơn nữa

|G| = |H|.|G/H|.

1.5 LÝ THUYẾT NHÓM

1.5.2 Tác động của nhóm lên một tập hợp

Định nghĩa 1.13 Một tác động của nhóm (G, ◦) lên tập Ω là một ánh xạ ∗ :

G × Ω → Ω thoả hai tính chất sau:

1 Với mọi X ∈ Ω, ta có eG∗ X = X,

2 Với mọi g1, g2 ∈ G và X ∈ Ω, ta có (g2 ◦ g1) ∗ X = g2∗ (g1∗ X).

Ta thường viết g(X) hay gX thay vì viết g ∗ X.

Một tác động của G trên Ω tương đương với sự tồn tại một đồng cấu nhóm (gọi là

đồng cấu kết hợp của tác động) γ : G → Sym(Ω) xác định bởi luật γ g (X) = gX, với mọi g ∈ G và X ∈ Ω, trong đó γ g ∈ Sym(Ω) là ảnh của g dưới tác động của γ.

Tác động được gọi là trung thành (faithful) nếu nhân của đồng cấu kết hợp

là tầm thường, tức là g ∈ G thoả gX = X, ∀X ∈ Ω thì g = eG

Một số tác động nhóm thường gặp :

• Một nhóm hoán vị G ≤ Sym(Ω) tác động trên Ω bởi g ∗ X = g(X), với mọi

g ∈ G và X ∈ Ω Tác động này gọi là tác động tự nhiên của nhóm hoán vị.

• Một tác động của nhóm G trên từng phần tử của Ω, tác động lên các đối tượng

gồm các phần tử của Ω Tác động như vậy gọi là được cảm sinh (induced) bởi

tác động của G trên Ω

Ví dụ G tác động trên tập tất cả các tập con của Ω được định nghĩa như sau

Với mọi g ∈ G và X ⊆ Ω, g ∗ X = {g(x) : x ∈ X}.

• Nhóm G tác động lên chính nó bằng phép nhân trái: g ∗ x = gx , với mọi

g, x ∈ G Tác động này gọi là tác động đều trái (left regular ) của G lên chính

nó Tương tự, tác động đều phải (right regular ) được cho bởi g ∗ x = xg −1

• Nếu H ≤ G thì tác động của nhóm G lên tập thương G/H gồm tất cả các lớp kề trái của H trong G, được cho bởi g ∗ (g1H) = (gg1)H, với mọi

g ∈ G, g1H ∈ G/H.

Một tác động của nhóm G lên tập thương H\G gồm tất cả các lớp kề phải của H trong G, được cho bởi g ∗ (Hg1) = H(g1g −1 ), với mọi g ∈ G,

Hg1 ∈ H\G

• Nhóm G tác động liên hợp (conjugation) lên tập tất cả các nhóm con của

nó theo cách : với mọi g ∈ G và H ≤ G, g-liên hợp của H là nhóm con

• Ta kí hiệu G\Ω là tập tất cả những quỹ đạo của tác động nhóm G trên Ω.

Dễ thấy G\Ω là một phân hoạch của Ω.

• Một tác động là truyền (transitive) nếu nó chỉ có một quỹ đạo Khi đó

Định lí sau đưa ra sự tương ứng giữa các đối tượng trong quỹ đạo GX và các lớp

kề trái của cái ổn định NG(X) trong G :

Định lí 1.16 (Định lí quỹ đạo-cái ổn định: Orbit-stabilizer Theorem) Nếu G là

một nhóm tác động lên một tập hữu hạn Ω và X ∈ Ω thì ánh xạ từ G/N G (X) vào

GX được định nghĩa bởi gN G (X) 7→ gX là một song ánh Đặc biệt

|G| = |GX|· |N G (X)|.

Chứng minh Giả sử g1NG(X) = g2NG(X), tức là, g2−1 g1 ∈ NG(X) Từ đó suy

ra

g1X = (g2g2−1 )g1X = g2(g2−1 g1)X = g2X ,

Vì thế ánh xạ này độc lập với phần tử đại diện g của lớp kề được chọn Nên nó là ánh

xạ được định nghĩa tốt.Tính toàn ánh có được vì với mỗi gX ∈ G(X) tồn tại lớp kề

gNG(X) ánh xạ đến gX Ánh xạ đã cho là đơn ánh vì g1X = g2X ⇔ g2−1 g1X = X,

tức là g2−1 g1 ∈ NG(X) và từ đây g1NG(X) = g2NG(X) Do nhóm G hữu hạn nên

theo định lí Lagrange, ta có

1.6 MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG THIẾT KẾ TỔ HỢP

|GX| = |G/NG(X)| = |G|/|NG(X)|

2

Định lí trên cho ta một cách liệt kê các phần tử trong một quỹ đạo khi biếtmột phần tử đại diện của quỹ đạo đó và nhóm con ổn định tương ứng của nó Nói

một cách khác, nếu một phép chuyển trái (left transversal) của cái ổn định NG(X)

(là tập hợp con của G mà mỗi phần tử thuộc về duy nhất một lớp kề trái của

NG(X)) trong tác động của nhóm G được xác định, ta có thể xây dựng quỹ đạo G(X) bằng cách tác động trên phần tử đại diện quỹ đạo X.

Hệ quả 1.17 Với mọi X, Y ∈ Ω với X ∼ = Y , tập Iso(X, Y ) là một lớp kề trái của cái

ổn định NG(X) trong G Hơn nữa, gNG(X)g −1 = NG(Y ), với mọi g ∈Iso(X, Y ).

Chứng minh Khẳng định đầu tiên có ngay từ định lí Lagrange và định lí 1.16

Đối với khẳng định còn lại, lấy g ∈ Iso(X, Y ) và g1 ∈ G Ta có g1 ∈ NG(Y ) nếu và chỉ nếu g1gX = gX ⇔ g −1 g1gX = X ⇔ g −1 g1g ∈ NG(X) ⇔ g1 ∈ gNG(X)g −1 2

Bổ đề 1.18 (Cauchy-Frobenius) Nếu G là nhóm tác động trên một tập hữu hạn

xứng (Symmetric Design), các tập hiệu phụ nhau (SDS-Supplementary Difference

Sets) và mối liên hệ với ma trận Hadamard

1.6 MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG THIẾT KẾ TỔ HỢP

1.6.1 Thiết kế đối xứng

Định nghĩa 1.19 Một cấu trúc kề là một bộ ba D = (P, B, I), với P và B

là hai tập bất kì rời nhau và I là một quan hệ hai ngôi giữa P và B, nghĩa là

Định nghĩa 1.20 Gọi t, v, k, λ là các số nguyên thỏa v ≥ k ≥ t và λ ≥ 1 Một

t-thiết kế có các tham số t − (v, k, λ) là một cấu trúc kề có các tính chất

• |P| = v

• |B| = k với mọi B ∈ B.

• Với mọi T ⊆ P với |T | = t, có đúng λ khối kề với tất cả các điểm trong T Định nghĩa 1.21 Một thiết kế đối xứng với bộ tham số 2 − (v, k, λ) là một cấu trúc kề hữu hạn D = (P, B, I) thoả các tính chất :

• |P| = |B| = v, và 2 ≤ k ≤ v − 2

• Mỗi khối kề với đúng k điểm

• Hai điểm phân biệt bất kì kề với đúng λ khối.

Ví dụ Cho P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {{1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7},

{5, 6, 1}, {6, 7, 2}, {7, 1, 3}}, và quan hệ I là quan hệ ∈ Có biểu diễn như hình:

(P, B, I) cho như trên là một thiết kế đối xứng 2 − (7, 3, 1).

• Số n = k − λ gọi là cấp của thiết kế đối xứng 2 − (v, k, λ).

1.6 MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG THIẾT KẾ TỔ HỢP

• Ma trận vuông có dòng, cột được đánh chỉ số bởi các điểm, khối tương ứng,

• Thay đổi vai trò của của các điểm và các khối trong thiết kế đối xứng D

2 − (v, k, λ) ta được thiết kế đối ngẫu của D gọi là D ∗ có cùng bộ tham số

2 − (v, k, λ) Ma trận kề của D ∗ là chuyển vị ma trận kề của D

Một số tính chất Cho thiết kế đối xứng 2 − (v, k, λ), và A là ma trận kề của

thiết kế này , ta có:

1 (v − 1)λ = k(k − 1)

2 AJ = JA = kJ ; AA t = A t A = (k − λ) I + λJ = nI + λJ

3 |detA| = kn12(v−1)

4 Nếu v chẵn thì n phải là một bình phương

Liên hệ giữa Ma trận Hadamard và thiết kế đối xứng

• Từ một ma trận Hadamard H cấp m (m ≥ 4) được chuẩn hoá ( mọi phần tử

ở dòng đầu và cột đầu của H đều bằng 1 ), bằng cách bỏ dòng đầu, cột đầu của H và thay thế các phần tử -1 bởi 0, ma trận còn lại có cấp m − 1, chính

là ma trận kề của một thiết kế đối xứng (m − 1,12m − 1,14m − 1), một thiết

kế đối xứng như vậy được gọi là một thiết kế Hadamard Và ngược lại, ta luôn tìm được ma trận Hadamard từ một thiết kế Hadamard.

• Từ ma trận kề A của thiết kế đối xứng 2 − (4m2, 2m2− m, m2 − m) hay của thiết kế đối xứng 2 − (4m2, 2m2+ m, m2+ m) , bằng cách thay 0 bởi 1 và thay

1 bởi -1 trong ma trận kề A ta có ma trận Hadamard đều cấp 4m2 Các thiết

kế đối xứng có ma trận kề A như vậy gọi là các thiết kế Menon.Và ngược lại,

từ một ma trận Hadamard đều ta luôn tìm lại được một thiết kế Menon.

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp thiết kế có bộ tham số 2 − (4m2, 2m2− m, m2− m)

*Chiều thuận : Từ một thiết kế đối xứng D có các tham số 2 − (4m2, 2m2 −

1.6 MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG THIẾT KẾ TỔ HỢP

Giả sử thiết kế D có ma trận kề là A có cấp v Đặt H = J − 2A , điều này tương ứng với việc thay 0 bởi 1 và thay 1 bởi -1 trong ma trận A Theo tính

*Chiều đảo : Từ một ma trận Hadamard H cấp 4m2 đều (mỗi dòng (cột) có

2m2+ m số 1 và 2m2− m số -1) ta xây dựng được thiết kế Menon.

Đặt A = 12(J − H) Ta có: AA t = 14(J − H)(J t − H t) = 14(JJ t − JH t − HJ t+

HH t) = 14(4m2J − 4mJ + 4m2I = (m2 − m)J + m2I.

Ma trận A chính là ma trận kề của một thiết kế đối xứng có các tham số

Bổ đề 1.22 Thiết kế Menon với bộ tham số (4m2, 2m2− m, m2− m) tồn tại mỗi

khi 2n − 1 và 2n + 1 đều là các lũy thừa nguyên tố.

là một luỹ thừa nguyên tố đồng dư với 3 (mod 4) Từ mỗi tập hiệu Paley-Hadamard

ta sẽ xây dựng được một ma trận Hadamard tương ứng và ngược lại

Định nghĩa 1.24 Cho G là một nhóm (cộng) Aben cấp n và tập con S ⊂ G, a ∈

G ∗ , Đặt v (S, a) := | (x, y) ∈ S2 : x − y = a| Các tập con S1, , S k ⊂ G là các SDS

với các tham số k − (n; n1, n2, , n k ; λ) nếu |S i | = n i vàPk i=1 v (S i , a) = λ, ∀a ∈ G ∗

Giả sử S là một tập con của nhóm G cấp n, và A là một ma trận cấp n

có các dòng và các cột được đánh chỉ số bởi các phần tử của G sao cho phần tử

1.6 MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG THIẾT KẾ TỔ HỢP

ở dòng x, cột y, kí hiệu (x, y), bằng −1 nếu y − x ∈ S và bằng +1 trong những trường hợp còn lại A chính là (-1,1)-ma trận kề type 1 của tập con S trong G ma trận kề A của tập S có dạng phản xứng khi và chỉ khi tập S có dạng phản xứng (nghĩa là với mỗi x ∈ G ∗ , nếu x ∈ S thì −x / ∈ S).

* Nếu k = 1 thì SDS có các tham số 1 − (n; n1; λ) chính là một DS.

Bổ đề 1.25 Gọi A1, A2, , A k lần lượt là các (-1,1)-ma trận kề type 1 của các tập

hiệu phụ nhau S1, S2, , S k có các tham số k − (n; n1, n2, , n k ; λ) Ta có:

Chương 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG THÔNG DỤNG

Định lí 2.2.(Phương pháp Paley I ) Nếu q là một lũy thừa nguyên tố lẻ, q =

n − 1 ≡ 3(mod 4) và Q = (q ij ) với q ij = χ(α i − α j ) , với i, j = 0, 1, , q − 1 , thì

• n = 12 = (11 + 1), q = 11 ≡ 3(mod 4) thỏa điều kiện của định lí 2.2.

• Xét tập GF (11) = {0, 1, , 10} Tìm các bình phương của mỗi phần tử khác 0 :

Ta có thể xây dựng các ma trận Hadamard từ các ma trận conference

Bổ đề 2.4 Gọi C n là một ma trận conference thì C n là phản xứng nếu và chỉ nếu

Phương pháp Paley II dùng xây dựng các ma trận Hadamard có cấp

2n với n − 1 ≡ 1 (mod 4) Các cấp của ma trận Hadamard được xây dựng bằng

2 W i đối xứng, nghĩa là w (i) n−j = w j (i) ; j = 1, 2, , n − 1; i = 1, 2, 3, 4 (2.2)

Vì vậy , H 4n H t

4n = 4nI 4n , từ đó H 4n là một ma trận Hadamard 2

Định lý này chỉ ra rằng ma trận Hadamard được xây dựng khi xây dựng đượccác ma trận Williamson tương ứng

Phần này trình bày cách xây dựng các ma trận Williamson W i , i = 1, 2, 3, 4:

Do W i đối xứng nên chéo hoá được Đặt V i = P W i P ∗ , i = 1, 2, 3, 4. (2.4)

trong đó P là một ma trận unita thoả P UP ∗ = D Từ (2.1) và (2.4) , ta có

V i =Pn−1 j=0 P w j (i) U j P ∗ =Pn−1 j=0 w (i) j P U j P ∗

=Pn−1 j=0 w j (i) P UP| ∗ P UP{z∗ P UP} =∗ Pn−1 j=0 w (i) j D j ,

; γ1, γ2, , γ n là các nghiệm đơn vị thứ n phân biệt.

(nghiệm thứ n của đơn vị là số phức z thoả z n = 1.)

Thấy rằng, nếu tìm được tất cả w (i) j thoả (2.8) thì sẽ thiết lập được các ma trận

W i , i = 1, 2, 3, 4 Để phân tích (2.8), ta dựa vào tính chất sau:

Nếu n là một số lẻ thì 4n bằng tổng của bốn bình phương các số lẻ, tức là 4n = q2

Bổ đề 2.8 Giả sử l(1)i , l(2)i là số các phần tử dương và số các phần tử âm của tập

bội (multiset) {w1(i) , w2(i) , , w s (i) } tương ứng (i = 1, 2, 3, 4) Nhận thấy rằng:

1 Với mỗi j = 1, 2, , s, có đúng một t ij ∈ M j , i = 1, 2, 3, 4, khác không, (2.25)