Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian

Sử dụng phép dời hình để chứng ming hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian ..... Vì những lí do trên mà em quyết định chọn và nghiên cứu đề tài “ SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

**************

PHẠM HOÀI THƯƠNG

SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ

KHÔNG GIAN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Vạn cùng các thầy cô giáo

trong khoa Toán đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận

Do kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên khoá luận có thể còn nhiều khiếm khuyết Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để em

có hướng phát triển và sửa chữa cho khoá luận hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012

Sinh viên Phạm Hoài Thương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những kết quả đạt được trong khoá luận hoàn toàn do

bản thân tự tìm tòi nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Vạn,

không trùng với bất kì đề tài nào

Nếu trùng, em xin chịu mọi trách nhiệm

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012

Sinh viên Phạm Hoài Thương

MỤC LỤC

Trang Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Phần 1 Mở đầu 5

Phần 2 Nội dung 8

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1.Phép dời hình trong mặt phẳng 8

1.2.Phép dời hình trong không gian 10

1.3.Hai hình bằng nhau 12

1.4.Điều kiện xác định phép dời hình 18

1.5.Dạng chính tắc của phép dời hình 18

Chương 2 Sử dụng phép dời hình để chứng ming hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian 24

2.1.Phương pháp chung 24

2.2.Chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng 24

2.2.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình 24

2.2.2.Chỉ ra được cụ thể một phép dời hình 26

2.3.Chứng minh hai hình bằng nhau trong không gian 33

2.3.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình trong không gian 33

2.3.2.Chỉ ra cụ thể một phép dời hình trong không gian 35

2.3.3.Một số bài tập khác 39

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép dời hình là một nội dung khó đối với học sinh trung học Các tài liệu tham khảo về phép dời hình cũng chưa có nhiều Trong khi đó nhiều bài toán có thể giải được một cách đơn giản nhờ sử dụng phép dời hình Sách giáo khoa mới cũng đề cập đến khái niệm hai hình bằng nhau trong mặt phẳng

và không gian Để giải quyết bài toán chứng minh hai hình bằng nhau thì phép dời hình là một công cụ hữu ích Tuy nhiên vấn đề này trong sách giáo khoa chưa trình bày sâu Vì những lí do trên mà em quyết định chọn và

nghiên cứu đề tài “ SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN” Hy

vọng rằng tài liệu này sẽ là một tài liệu tham khảo có ích cho bạn đọc

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống tóm tắt các kiến thức cơ bản về phép dời hình trong mặt phẳng và trong không gian

- Đưa ra các ví dụ và bài tập để minh hoạ cho phần ứng dụng phép dời

hình để chứng minh hai hình bằng nhau

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Phép dời hình trong mặt phẳng và trong không gian

- Hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu phương pháp chung khi sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian

- Đưa ra được các ví dụ và bài tập minh họa

Phân tích các tài liệu có liên quan, tổng kết kinh nghiệm bản thân, tham khảo ý kiến của thầy cô, bạn bè

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm nội dung chính là:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian

PHẦN 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Phép dời hình trong mặt phẳng

1.1.1.Định nghĩa phép biến hình trong mặt phẳng

Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất một điểm M  thuộc mặt phẳng đó Điểm M  gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng

+ Biến tia thành tia

+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó

+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

+ Biến góc thành góc bằng nó

1.1.3.Các phép dời hình trong mặt phẳng

* Phép tịnh tiến

 Định nghĩa:

Phép tịnh tiến theo vectơ u

là phép biến hình biến điểm M thành điểm

được gọi là vectơ tịnh tiến

 Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác  không

đổi Phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác

O thành điểm M  sao cho OM OM  và (OM OM,   được gọi là phép ) 

quay tâm O , góc quay 

Kí hiệu: Q O

 Tính chất: Phép quay có mọi tính chất của phép dời hình

1.2.Phép dời hình trong không gian

1.2.1.Định nghĩa phép biến hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M trong không gian xác định được duy nhất một điểm M  trong không gian Điểm M  được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó

Kí hiệu: phép biến hình F , M F M( )

1.2.2.Phép dời hình trong không gian

* Định nghĩa:

Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu

nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian Tức là, nếu

phép dời hình F biến hai điểm M , N tương ứng thành hai điểm M , N thì

M N  MN

* Tính chất:

Phép dời hình trong không gian:

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng

+ Biến mặt phẳng thành mặt phẳng

+ Biến tia thành tia

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó

+ Biến góc thành góc bằng nó

+ Biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng

+ Biến mặt cầu thành mặt cầu có cùng bán kính

1.2.3.Các phép dời hình trong không gian

* Phép tịnh tiến

 Định nghĩa:

Phép tịnh tiến theo vectơ u

là phép biến hình biến điểm M thành điểm

được gọi là vectơ tịnh tiến

 Tính chất: Phép tịnh tiến có mọi tính chất của phép dời hình

Hơn nữa, nếu T

Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm M thành điểm M 

sao cho O là trung điểm của MM 

Cho đường thẳng d trong không gian, phép đối xứng qua đường thẳng d

là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M  sao cho trong mặt phẳng ( M , d), d là đường trung trực của MM 

Kí hiệu: Đd

 Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình

 Phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d gọi là trục đối xứng của hình (H)

* Phép đối xứng qua mặt phẳng

 Định nghĩa:

Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc

mặt phẳng (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M  sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM 

Kí hiệu: Đ(P)

 Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình

 Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H)

1.3.Hai hình bằng nhau

1.3.1.Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau trong mặt phẳng (không gian) nếu có phép dời hình trong mặt phẳng (không gian) biến hình này thành hình kia

1.3.2.Định lý 1 (trong mặt phẳng)

Nếu ABC và A B C    là hai tam giác bằng nhau thì có duy nhất phép dời

hình biến tam giác ABC thành tam giác A B C   

Chứng minh:

Ta xác định F như sau: Với mỗi điểm M trong mặt phẳng ta có

Giả sử có phép dời hình G cũng biến , , A B C lần lượt thành A B C, , 

Xét điểm M bất kì trong mặt phẳng, ( F M)M G M, ( )M

 AM  A M AM ,  A M 

 A M  A M 

 A nằm trên đường trung trực của M M 

Chứng minh tương tự ta cũng có B C,  nằm trên đường trung trực của

M M 

 A B C, ,  thẳng hàng Điều này vô lý

 Giả sử sai Vậy phép dời hình F là duy nhất (ĐPCM)

* Từ định nghĩa hai hình bằng nhau ta suy ra:

Nếu hình (H 1 ) bằng hình (H 2 ), hình (H 2 ) bằng hình (H 3 ) thì hình (H 1 ) bằng hình (H 3 )

Thật vậy:

Vì (H1) = (H2) nên có phép dời hình F1 biến (H1) thành (H2)

(H2) = (H3) nên có phép dời hình F2 biến (H2) thành (H3)

Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên ta được phép dời hình biến (H1) thành (H3)

Do vậy (H1) = (H3)

Chẳng hạn trên hình vẽ, hình (H1) bằng hình (H2) vì có phép tịnh tiến biến (H1) thành (H2); hình (H2) bằng hình (H3) vì có phép đối xứng trục biến (H2) thành (H3) Vậy hai hình (H1) và (H3) bằng nhau

1.3.3.Định lý 2 (trong không gian)

Trong không gian hai tứ diện ABCD và A B C D     bằng nhau nếu chúng

có các cạnh tương ứng bằng nhau

Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Hai hình tứ diện đó có ba cặp đỉnh tương ứng trùng

nhau Chẳng hạn A A , BB , CC , DD

Khi đó mỗi điểm , ,A B C đều cách đều hai điểm D D, nên mp (ABC) là

mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng DD

 Phép đối xứng qua mp (ABC biến , , ,) A B C D lần lượt thành A B C D, , , 

 Đ(ABC) : ABCD A B C D   

 Hai tứ diện này bằng nhau

+ Trường hợp 2 : hai tứ diện đó có hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, chẳng hạn A A, BB

Gọi ( )P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CC thì ( ) P đi qua A

và B (vì A , B cùng cách đều hai điểm C , C)

 Phép đối xứng qua mp ( )P sẽ biến , , , A B C D lần lượt thành A B C D, , , 1 Hai tứ diện A B C D   1 và A B C D    có các cạnh tương ứng bằng nhau và

có ba đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 1, chúng bằng nhau

 Hai tứ diện ABCD và A B C D    bằng nhau

+ Trường hợp 3: hai tứ diện đó có một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,

 Hai tứ diện ABCD và A B C D  1 1 bằng nhau

Mặt khác, hai tứ diện A B C D  1 1 và A B C D    có hai cặp đỉnh tương ứng

A D’

D

C C’

B

Như vậy hai tứ diện ABCD và A B C D    bằng nhau

+ Trường hợp 4: hai tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng nhau

Gọi ( )R là mặt phẳng trung trực của AA

 Hai tứ diện ABCD và A B C D 1 1 1 bằng nhau

Mà hai tứ diện A B C D 1 1 1 và A B C D    có các cạnh tương ứng bằng nhau

và một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 3, chúng bằng nhau

Như vậy hai tứ diện ABCD và A B C D    bằng nhau

1.3.4.Định lý 3

Trong không gian, cho hai tứ diện bằng nhau ABCD và A B C D     , tồn

tại duy nhất một phép dời hình trong không gian biến A B C D lần lượt , , ,

Định lý này được chứng minh tương tự như trong định lý 1 trong mặt phẳng

1.4.Điều kiện xác định phép dời hình

1.4.1.Trong mặt phẳng, phép dời hình được xác định bởi hai tam giác bằng nhau

1.4.2.Trong không gian, phép dời hình được xác định bởi hai tứ diện bằng nhau

Giả sử F là một phép dời hình trong mặt phẳng được xác định bởi hai

tam giác bằng nhau ABC và A B C    ( ABA B , BC B C , CAC A )

* Trường hợp 1: ,A A phân biệt

Xét u là đường thẳng trung trực của AA  A = Đu( A )

Gọi C2 = Đv(C1) Khi đó nếu C2 C thì ta có F  Đv.Đu Ngược lại ta

có A , B nằm trên trung trực t của C C2 Xét Đt ta sẽ đi tới F = Đt.Đv.Đu

+Giả sử C1C Khi đó A C,  nằm trên trung trực v của B B và ta có 1

Làm tương tự như trường hợp 1 đối với cặp B , B ta sẽ có F là tích của

không quá 2 phép đối xứng trục

Giả sử F là phép dời hình trong mặt phẳng Rõ ràng F được biểu diễn thành tích hai phép đối xứng trục do F khác phép đồng nhất

Cụ thể F  Đv.Đu với uv

+ Nếu u v thì F là phép tịnh tiến Thật vậy, lấy hai điểm , A B lần lượt

thuộc ,u v sao cho AB Với điểm M bất kì u

+ Nếu ,u v cắt nhau tại O thì F là phép quay Thật vậy, lấy A u  , B v

( ,A B khác O ) sao cho góc AOB không tù Đặt  (OA OB, )

Với mọi điểm M O, giả sử Đu : M M1, Đv : M1M2

Gọi H K lần lượt là trung điểm của , MM1, M M1 2 Ta có:

Ta chứng minh tính duy nhất như sau:

Giả sử F có hai cách phân tích theo kiểu trên

, a, ( , )

F T QQ T T T QQ d 

Và F T Q  Q T  , TT a, QQ d( , ) 

Từ trên ta có:

Ví dụ 1 Chứng minh rằng hai tam giác vuông bằng nhau nếu có các cạnh

huyền bằng nhau và đường cao ứng với cạnh huyền bằng nhau

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác A B C    vuông tại A , có

BC B C  và hai đường cao AH A H 

M’

Gọi AM , A M  lần lượt là trung tuyến của ABC và A B C    Khi đó:

Dễ thấy F biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng B C 

Do vậy hai tam giác đã cho bằng nhau

Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu ba trung tuyến của tam giác ABC lần lượt là

ba trung tuyến của tam giác A B C   thì hai tam giác đó bằng nhau

Giải:

Giả sử ABC có ba trung tuyến AM , BN , CP cắt nhau tại

G ; A B C    có ba trung tuyến A M  , B N   , C P   cắt nhau tại G và có

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Gọi:

+ A , 1 B , 1 C lần lượt là trung điểm của 1 BC , CA , AB

+ I , 1 I , 2 I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác 3 AB C , 1 1

Ví dụ 2 Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng

nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

Bài 2 Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường tròn

nội tiếp bằng nhau, một cặp đường tròn bàng tiếp bằng nhau, đồng thời khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp bằng nhau

Bài 3 Đa giác lồi n cạnh là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng

nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau

Chứng minh rằng: hai n-giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau

Bài 4 Cho hình (H1) gồm ba đường tròn (O r1, ), (1 O r2, ), (2 O r đôi một 3, )3tiếp xúc ngoài với nhau và hình (H2) gồm ba đường tròn lần lượt là ( , )I r1 1 ,

Vậy hai hình thang này bằng nhau

A C A B    ) của hai đường tròn ( , )O r và ( , )I R , còn tiếp tuyến chung BC

phải biến thành tiếp tuyến chung B C 

Gọi O , O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó thì

Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi , , , E F H I lần lượt là trung điểm

của AB CD BC EF Chứng minh rằng: AEI, , ,   FCH

Bài 2 Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D , ABAD , a

2

DC  a Gọi H là trung điểm của DC Chứng minh ABD  BHC

Bài 3 Cho ABC , đường cao AH , phân giác AD , O là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác

a) Chứng minh rằng qua phép đối xứng trục AD thì tia AH biến thành tia

AO và khi đó BAH  OAC

b) Tia phân giác AD cắt đường tròn ( ABC tại E , trên AB lấy điểm F sao )cho AF  AC Chứng minh rằng đường tròn (ABC bằng đường tròn )(AEF )

Bài 4 Giả sử H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng nếu các

đường tròn (O R1, 1), (O R2, 2), (O R3, 3) ngoại tiếp các tam giác BCH , CAH ,

ABH

 bằng nhau thì ABC O O O1 2 3

Bài 5 Cho tứ giác ABCD có ACBD Dựng ra phía ngoài tứ giác bốn

hình vuông ABEF , BCGH , CDIJ , DAKL