Ứng dụng của phép quay trong bài toán chứng minh trong mặt phẳng

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG .... Góc định hướng giữa 2 tia Ox và Oy là hình gồm 2 tia Ox và Oy và mội trong hai tập hợp do 2 tia đó phân hoạch mặt phẳn

Th.s: Nguyễn Văn Vạn

HÀ NỘI _2011

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều

kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt thời gian học tập và

nghiên cứu tại trường Đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy

Nguyễn Văn Vạn_ người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để em có

thể hoàn thành tốt khóa luận này

Hà Nội, tháng 4 năm 2011 Sinh viên

Vũ Thanh Hà

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan bài khóa luận này do bản thân tự nghiên cứu, tóm tắt

và trích dẫn trung thực từ các tài liệu khoa học

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 4 năm 2011 Sinh viên

Vũ Thanh Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….……….……… 6

PHẦN 1: NỘI DUNG 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1 Bài 1: Một số khái niệm 7

1.1 Đường thẳng định hướng 7

1.2 Mặt phẳng định hướng 7

1.3 Góc định hướng giữa 2 tia 8

1.3.1 Định nghĩa 8

1.3.2 Hệ thức Salơ 8

1.4 Góc định hướng giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng: 9

1.5 Đường phân giác: 10

1.5.1 Tia phân giác: 10

1.5.2 Đường phân giác: 10

2 Bài 2: phép biến hình 11

2.1 Khái niệm phép biến hình: 11

2.1.1 Định nghĩa: 11

2.1.2 Một số khái niệm liên quan: 11

2.2 Tích của 2 phép biến hình: 11

3 Bài 3: Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng 12

3.1 Định nghĩa: 12

3.2 Tính chất: 12

3.3 Biểu thức tọa độ: 13

3.4 Tích của 2 phép quay: 13

3.4.1 Định nghĩa: 13

3.4.2 Cách xác định: 13

3.5 Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng: 14

3.5.1 Định lý 1: 14

3.5.2 Định lý 2: 14

3.5.3 Định lý 3: 14

3.5.4 Định lý 4: 15

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG 16

1 Bài toán chứng minh 16

2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay 16

3 Bài tập: 17

3.1 Dạng 1: Xác định các yếu tố của phép biến hình 17

3.2 Dạng 2: Bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức: 18

3.3 Dạng 3 : chứng minh đồng quy, thẳng hàng 28

3.4 Dạng 4: chứng minh hệ thức lượng 34

3.5 Dạng 5: Chứng minh luôn đi qua điểm cố định 35

PHẦN 2: KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………46

MỞ ĐẦU

Lí do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là môn khó đối với học sinh

Bởi hình học có tính chặt chẽ tính logic và trừu tượng cao hơn môn học

khác của toán học

Trong chương trình toán học ở bậc THPT hiện nay có đưa ra cho học

sinh một công cụ mới để giải toán hình học đó là sử dụng phép biến hình

trong mặt phẳng Bởi phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng thể

hiện tính ưu việt rõ rệt trong giải toán

Là một giáo viên phải tùy vào trình độ của họ sinh mà đưa ra bài toán

phù hợp, mà mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng một bài toán Sử dụng

phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng ta có thể xây dựng và

sáng tạo các bài toán

Chính vì vậy ở khóa luận này em xin trình bày một phần nhỏ về ứng

dụng của phép quay: ‘‘ứng dụng của phép quay trong bài toán chứng minh

trong mặt phẳng”

Nhiệm vụ, nghiên cứu

- Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phép quay

- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng phép quay để giải

- Xây dựng, sáng tạo bài toán bằng cách sử dụng phép quay

Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết của phép quay để đưa ra hệ thống bài

tập phù hợp

PHẦN 1: NỘI DUNG

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1 Bài 1: Một số khái niệm

1.1 Đường thẳng định hướng

Cho đường thẳng a, 1 điểm O và vectơ đơn vị trên nó er Khi đó trên a có

2 chiều: chiều đi cùng chiều với er gọi là chiều dương, ngược lại gọi là

chiều âm Khi đó ta nói đường thẳng a đã định hướng gọi là trục

1.2 Mặt phẳng định hướng

o

Trong mặt phẳng cho điểm O tùy ý, xung quanh O có 2 chiều: chiều

ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, cùng chiều kim đồng hồ là chiều

âm Khi đó ta nói đã định hướng mặt phẳng

1.3 Góc định hướng giữa 2 tia

1.3.1 Định nghĩa

y o

Trong mặt phẳng định hướng cho 2 tia chung gốc O: Ox, Oy Góc định

hướng giữa 2 tia Ox và Oy là hình gồm 2 tia Ox và Oy và mội trong hai tập

hợp do 2 tia đó phân hoạch mặt phẳng ra, đồng thời giữa 2 tia Ox và Oy ta

quy ước tia nào là tia gốc ( tia đầu ), tia nào là tia cuối

Kí hiệu (Ox,Oy) hay (Ox,Oy)

Dễ thấy với 2 tia Ox và Oy có 2 góc định hướng tạo bởi 2 tia

Nhận xét: Giá trị của góc định hướng không phải là duy nhất, ta quy ước

giá trị đó âm hay dương là tùy theo chiều quay là chiều âm hay chiều dương

trong mặt phẳng

Ta gọi là giá trị đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu được khi

quay tia đầu tới trùng với tia cuối theo góc hình học nhỏ nhất

Nếu là 1 giá trị của góc định hướng giữa 2 tia Ox, Oy thì những giá trị

khác là: ' k2 (k Z)

1.3.2 Hệ thức Salơ

Trong mặt phẳng định hướng, cho 3 tia chung gốc: Ox, Oy, Oz

Hệ thức Salơ: (Ox,Oy) (Oy Oz, ) (Ox,Oz)

Mở rộng cho n tia:

Trong mặt phẳng định hướng, chọn n tia chung gốc O:

o

a b

Trong mặt phẳng định hướng cho 2 đường thẳng a và b

Nếu a b 0 thì mỗi đường thẳng bị O chia làm 2 tia và ta định

nghĩa: Góc định hướng giữa 2 đường thẳng a và b là góc định hướng giữa 2

tia a ivà b i(i=1,2), kí hiệu (a,b)

Nếu a b hoặc a b thì (a,b)=k (k Z)

Nhận xét: Nếu là 1 giá trị của góc định hướng giữa 2 đường thẳng a

và b thì các giá trị 'của nó có dạng: ' k (k Z)

Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường

thẳng a a1, 2, ,a cắt nhau tại O Khi đó ta có: n

( ,a a ) ( ,a a ) (a n ,a n) ( ,a a n) k

t1t

/2

t2

1.5 Đường phân giác:

1.5.1 Tia phân giác:

Cho 2 tia Ox, Oy trong mặt phẳng (P) đã được định hướng Tia Oz thuộc

mặt phẳng (P) được gọi là tia phân giác của góc định hướng giữa 2 tia Ox,

1.5.2 Đường phân giác:

Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho 2 đường thẳng a, b cắt

nhau tại O Đường thẳng t qua O trong mặt phẳng (P) gọi là đường phân

giác của góc định hướng giữa 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O

2 Bài 2: phép biến hình

2.1 Khái niệm phép biến hình:

2.1.1 Định nghĩa:

Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng

Một song ánh f: P P từ tập hợp P lên chính nó gọi là phép biến hình

trong mặt phẳng

2.1.2 Một số khái niệm liên quan:

Nếu phép biến hình f biến M thành M’ thì ta kí hiệu M M’ và ta nói

M’ là ảnh của M qua phép biến hình f, kí hiệu f(M) = M’ hoặc M là tạo ảnh

của M’ trong phép biến hình f, kí hiệu M = f 1(M’)

Điểm M gọi là điểm bất động ( điểm kép, điểm tự ứng ) của phép biến

hình f nếu f(M) = M

Tập tất cả các ảnh của các điểm thuộc hình H qua phép biến hình f tạo

thành hình H’ gọi là ảnh của H qua f, kí hiệu H’ = f(H)

Một hình H P được gọi là hình kép đối với f nếu f(H) = H

Phép biến hình f cho tương ứng mỗi điểm M P thành chính nó gọi là

phép đồng nhất

2.2 Tích của 2 phép biến hình:

Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp

nhau Nếu ta dùng 1 phép biến hình f: P P để biến 1 điểm M bất kì của P

thành 1 điểm M’, rồi lại dùng tiếp 1 phép biến hình thứ 2 g: P P để biến

3 Bài 3: Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

3.1 Định nghĩa:

M'

Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho 1 điểm O cố định và 1

góc định hướng Một phép quay tâm O với góc quay là 1 phép biến

hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

OM = OM’ và (OM OMuuuur uuuuur, ')

Kí hiệu phép quay tâm O với góc quay là Q0 hoặc Q(O; )

Ta thường chọn sao cho

Thật vậy theo tính chất 2.1 thì phép quay Q0 là phép dời hình Do đó

nếu A’, B’, C’ theo thứ tự là ảnh của 3 điểm theo thứ tự thẳng hàng A, B,

C thì A’, B’, C’ thẳng hàng

Hệ quả: Phép quay Q0 biến:

i, Một đường thẳng d thành đường thẳng d’ và góc định hướng tạo bởi 2

đường thẳng đó bằng ( nếu 0

0 < 0

90 ) hoặc bằng ( 0

180 ) nếu )

ii, Biến tia Sx thành tia S’x’ và góc tạo bởi 2 tia đó bằng

iii, Biến đoạn PQ thành đoạn P’Q’ và PQ = P’Q’

iv, Biến góc xSy thành góc x S y và ' ' ' xSy = x S y' ' '

v, Biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R) (tâm thành tâm)

- Tích của 2 phép quay là 1 phép tịnh tiến hoặc là 1 phép quay

Tích của 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là 1 phép quay bằng

tổng 2 góc quay của 2 phép quay đã cho hay đặc biệt là 1 phép tịnh tiến nếu

2 phép quay đã cho có các góc đối nhau

3.5 Dạng chính tắc của phép dời hình trong mặt phẳng:

3.5.1 Định lý 1:

Phép đẳng cự trong E n n( 2, 3)sẽ được phân tích thành tích không quá

(n+1) phép đối xứng qua siêu phẳng

Hệ quả 1: phép phản chiếu trong E2 có điểm bất động là phép đối xứng trục

Hệ quả 2: Trong E2 tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến giao hoán

được khi và chỉ khi giá của vectơ tịnh tiến và trục đối xứng song song nhau

và phép biến hình tích được gọi là phép đối xứng trượt

3.5.2 Định lý 2:

Phép dời hình trong E2(còn gọi là phép đẳng cự loại I) không phải phép

đồng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép quay hoặc một

phép tịnh tiến

3.5.3 Định lý 3:

Trong không gian E n n( 2, 3) Tích của 1 phép tịnh tiến và 1 phép đối

xứng qua siêu phẳng có vectơ tịnh tiến vuông góc với siêu phẳng đối xứng

là 1 phép đối xứng qua siêu phẳng

Ta chứng minh trong E2

Giả sử T ar T S, d S là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đã cho

trong E2 sao cho ar d

Xét

2

' a( )

d T dr Theo định lý: Tích của 2 phép đối xứng qua siêu phẳng có

siêu phẳng đối xứng song song nhau là 1 phép tịnh tiến nên S S d. d' T ar

- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng: Q(O;α)

Định lý 1: Tích của hai phép đối xứng trục

1

d

Đ ,Đ d2 với d1// d2 trong E2 là một phép tịnh tiến

v

T trong đó v có phương vuông góc với với 2 trục d1, d2,

có hướng từ d1 sang d2, có độ dài bằng 2 lần khoảng cách giữa d1, d2 Kí

hiệu: T = v Đ d1 Đ d2

Định lý 2: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục d1, d2 cắt

nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O, góc quay α = 2(d1, d2) Kí

Định lý 4: Tích của hai phép quay có tâm quay khác nhau là một phép quay

với góc quay bằng tổng hai góc quay của hai phép quay đã cho, đặc biệt là

một phép tịnh tiến nếu hai góc quay là đối nhau

Trên đây là một số kiến thức liên quan và tư tưởng chung của việc vận

dụng phép quay vào giải quyết các bài toán chứng minh trong hình học

phẳng Trên cơ sở tư tưởng đó, tôi đi vào minh họa việc ứng dụng phép quay

vào việc giải các bài toán chứng minh của hình học phẳng

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY VÀO BÀI TOÁN

CHỨNG MINH TRONG MẶT PHẲNG

1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh có dạng A B, trong đó

A: là giả thiết (các yếu tố đã cho) như điểm, đường thẳng,…, những

quan hệ đã biết (song song hoặc vuông góc), những yếu tố về lượng: độ

dài, đoạn thẳng, độ dài bằng nhau, độ lớn của góc

B: là kết luận, cần khẳng định và ta cần đi từ A suy ra B bằng những suy

luận hợp logic trên cơ sở định nghĩa, định lý và từ các giả thiết đã cho

2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay

Giải một bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay gồm có 3 bước sau:

- Lựa chọn phép quay ( với tâm và góc quay ) thích hợp

- Thực hiện phép quay

- Rút ra kết luận của bài toán

Ứng dụng của phép quay vào giải bào toán chứng minh là ta phải tìm được

phép quay f thích hợp và làm theo các bước trên Nhưng ở đây ta có thể thay

cả bài toán hoặc một bộ phận bài toán bằng một bài toán khác dựa trên công

cụ phép biến hình

Sau đây là một số trường hợp có thể vận dụng:

- Dùng trực tiếp định nghĩa và tính chất của phép quay để suy ra kết quả

- Có thể chuyển một bộ phận của bài toán (A) sang (A’), nếu (A’) đúng

thì bộ phận tương ứng (A) đúng

- Có thể chuyển cả bài toán (B) sang (B’) qua phép quay, nếu (B’) đúng

thì (B) đúng

- Trong khi chuyển (A) sang (A’), nếu ở (A’) lại dùng tiếp phép biến

hình để giải nó thì thực chất đã sử dụng tích của hai phép biến hình

3 Bài tập:

3.1 Dạng 1: Xác định các yếu tố của phép biến hình

Phương pháp: Phép biến hình gồm 3 yếu tố chính là: ảnh, tạo ảnh và quy

tắc f

Bài toán cho 2 trong 3 yếu tố trên, tìm yếu tố còn lại Đây là dạng toán

cơ bản của học sinh phổ thông Giải tập này bằng cách sử dụng định nghĩa

hoặc sử dụng biểu thức tọa độ của các phép biến hình

Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD tâm O, vẽ hình vuông AOBE

Xác định ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay Q A với

Vì ABCD là hình vuông nên =( AO,AD)=45 =(AB, AO) vì ABOE là 0

hình vuông nên Q A450: E E’ với E’ AB / AE = AE’

A A

B B, với B’ AC / AB = AB’

O O’, với O’ AD / AO = AO’

Vậy hình vuông AOBE hình vuông AO’B’E’qua phép 45 0

A

Q

Bài toán 2:Cho 2 đoạn AB, CD bằng nhau và không song song với

nhau Xác định phép quay biến ABuuur thành CDuuur

Gọi phép quay cần xác định là Q o

Ta có Q o : AB CD

=> O nằm trên trung trực của AC và BD hay O là giao điểm của hai

đường trung trực đó

Khi đó = AOC , gọi I = AB I CD

Xét phép quay Qo : BAC ICO

Do đó BAO = DCO A,O,I,C cùng thuộc một cung tròn

Vậy phép quay xác định như sau

+ Tâm quay O :

+ Nằm trên trung trực của AC ,BD

+ Nằm trên đường tròn qua (ACI) và ( BDI) Góc = AOC

3.2 Dạng 2: Bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức:

Bài toán 1:Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng các tam

giác đều ABD, BCE sao cho D, E nằm cùng phía với đường thẳng BD M,

N là trung điểm của AE, DC Chứng minh tam giác BMN đều

Giải:

D

E

C B

đoạn AE biến thành đoạn DC qua phép quay 600

B Q

trung điểm M của AE biến thành trung điểm N của DC

Như vậy 600

B

Q : M a N

B a B

Theo định nghĩa phép quay thì BM = BN và MBN = 600

Vậy tam giác BMN là tam giác đều

Khai thác:

1, Cho B ‘‘ tách’’ khỏi đoạn AC thì kết quả bài toán còn đúng hay không

?

Phát biểu: cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác ta dựng 2 tam

giác đều ABD và BCE Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC thì

khi đó tam giác BMN là tam giác đều

Chứng minh: giống VD3

2, thay tam giác đều bằng tứ giác đều

Phát biểu: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng Dựng các hình vuông ABPQ,

BCRS về cùng một phía đối với AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AS, CP Chứng minh tam giác BMN vuông cân

Giải:

N R

C B

S M

A

Xét phép quay:

0 90

B

Q : A a P

S a C

đoạn AS biến thành đoạn PC

trung điểm M của AS biến thành trung điểm N của đoạn PC

Vậy phép quay Q B 900 : M a N

B a B

theo định nghĩa phép quay thì BM = BN và MBN = 900

tam giác BMN vuông cân tại B

Bài toán 2: cho hình vuông ABCD Một đường thẳng d cắt các đường

thẳng AB và CD tương ứng tại các điểm M, N Một đường thẳng d’ vuông

góc với d, cắt các đường thẳng AD, BC tương ứng tại các điểm P, Q

Chứng minh MN = PQ

Giải:

C D

P M'

O M

N

Q N' d

d'

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

đường thẳng BA biến thành đường thẳng AD

M BA có ảnh là điểm M’ AD sao cho OM OM’ tại O

đường thẳng DC biến thành đường thẳng CB

N DC có ảnh là điểm N’ CB sao cho ON ON’ tại O

Khai thác: Từ bài toán trên ta thấy

Tứ giác AMIP nội tiếp ( 1 ;

Vậy ta có bài toán ngược sau:

‘‘ cho hình vuông ABCD, I là một điểm trong hình vuông Qua I kẻ các

đường thẳng cắt các cạnh AD, CB tại P, Q Gọi M là giao điểm thứ 2 của

C D

P

M

N Q I

(IPA) với AB N là giao điểm thứ 2 của (IQC) với CD Chứng minh rằng

MN PQ và MN = PQ.’’

Chứng minh:

C D

P

M

N

Q I

Nhận thấy (IAP) là (O1), (IQC) là (O2) có chung giao điểm là I

Bài toán 3: Cho hai tam giác vuông cân OAB, OA’B’ tại O sao cho O

nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn A’B Gọi G, G’ lần lượt là trọng

tâm của tam giác OAA’, OBB’ Chứng minh tam giác GOG’ vuông cân

A

G'

OB'

tam giác OAA’ biến thành tam giác OBB’

trọng tâm G của tam giác OAA’ biến thành trọng tâm G’ của tam

tam giác GOG’ vuông cân tại O

Khai thác: Nếu ta thay tam giác vuông bởi các hình vuông thì bài toán

được phát biểu như sau:

‘‘ Cho 3 điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C; B nằm giữa A và C Dựng

cùng về một nửa mặt phẳng bờ AC các hình vuông ABMN, BCPQ

a, chứng minh rằng: CM = AQ và CM AQ