Định lí ceva và định lí menelaus trong e2

Mặt khác: CH BKAO .CH 2 1 AO.BK S SFACF S SGBAG Như vậy: 1FA CF.EC BE.GBAG S S.S S.S SFA CF.EC BE.GB AG AOB BOC COA AOB BOC COA 1.2 Ứng dụng của định lí Ceva trong việc giải toán hình h

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới:

Thầy Phan Hồng Trường vì sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, những nhận xét và góp ý quý báu của thầy trong cả quá trình tôi thực hiện khoá luận

Các thầy cô khoa Toán đã dạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Ban giám hiệu, phòng đào tạo đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khoá luận

Gia đình, bè bạn đã giúp đỡ động viên tinh thần cho tôi

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010

Người thực hiện

Nguyễn Thị Len

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan kết quả đề tài đúng, chính xác, khách quan, trung thực không trùng với kết quả của tác giả khác

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010

Người thực hiện

Nguyễn Thị Len

MỤC LỤC

Trang

1.1 Vài nét về tác giả Ceva và nội dung định lí Ceva 6

1.2 Ứng dụng của định lí Ceva trong giải toán 9

1.4 Dạng lượng giác của định lí Ceva 37

1.5 Định lí đồng quy trong ngũ giác lồi 41

1.6 Sự đồng quy của các đường vuông góc 43

Chương 1: Định lí Ceva 1.1 Vài nét về nhà toán học Ceva và nội dung định lí Ceva

1.1.1 Vài nét về nhà toán học Ceva

Giovani Ceva sinh ngày 7 tháng 12 năm 1647 tại Milan, nước Ý.Ông

mất ngày 15 tháng 6 năm 1734 tại Mantua, nước Ý

Thuở nhỏ, ông theo học tại trường dòng thiên chúa giáo ở Milan, lớn lên ông học tại trường Đại học Pisa và sau đó, năm 1686 được bổ nhiệm làm giáo sư Toán tại trường đại học Mantua, nơi ông gắn bó suốt cuộc đời

Năm 1686, khi mới được bổ nhiệm, Giovani Ceva làm việc dưới quyền cai trị của vua Gonzagas Tuy nhiên, năm 1708 nước Áo đem quân chiếm đóng và bắt đầu xây dựng công sự, Giovani Ceva nhanh chóng chuyển sang làm việc dưới chế độ thống trị của người nước Áo

Phần lớn cuộc đời Giovani Ceva giành cho nghiên cứu hình học Ông đã khám phá ra một trong những kết quả quan trọng về tam giác bằng phương pháp hình học tổng hợp Định lí phát biểu rằng các đường thẳng qua đỉnh của một tam giác và cắt các cạnh đối diện rõ ràng thì đồng quy khi tích tỉ số các đoạn thẳng chia cạnh tam giác bằng 1

Định lí Ceva được in trong cuốn “ De lineis rectis” (1678)

Ceva cho xuất bản “ Opuscula mathematica” năm 1682 Trong “Geometria Motus” (1692), trong một chừng mực nào đó, ông đã đề cập đến phép tính vi phân Năm 1711, ông cho ra đời cuốn “Dere Nummeraria”, một trong những công trình đầu tiên về toán kinh tế, nhằm tìm ra điều kiện cân bằng cho hệ thống tiền tệ của bang Mantua

Ceva cũng có những công trình quan trọng về thuỷ lực học, tiêu biểu là cuốn

“Opus hydro staticum” (1728) Ông là một viên chức nhỏ ở Mantua, và đã

dùng kiến thức của mình về thuỷ lực học để bác bỏ thành công dự án ngăn

dòng chảy sông Reno để vào sông Po

1.1.2 Nội dung định lí Ceva

Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam

giác ABC Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O

FA

CF.EC

BE.GB

A

F

C E

B

L

K

O G

Giả sử AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O

Từ A, C kẻ các đường thẳng song song với BF, chúng lần lượt cắt CG và AE

tại K, L tương ứng

Ta có:

CL

AKEC

BE.GB

AOCL

BE.GB

CF.EC

BE.GB

BE.GB

Ta phải chứng minh AE, BF, CG đồng quy

Gọi AE cắt BF tại O

Nối C với O cắt AB tai G1

Khi đó theo phần thuận ta có: 1

FA

CF.EC

BE.BG

BE.GB

GB

AGB

Mặt khác:

CH

BKAO

.CH

2

1

AO.BK

S

SFACF

S

SGBAG

Như vậy:

1FA

CF.EC

BE.GBAG

S

S.S

S.S

SFA

CF.EC

BE.GB

AG

AOB BOC

COA AOB

BOC COA

1.2 Ứng dụng của định lí Ceva trong việc giải toán hình học phẳng

1.2.1 Ví dụ 1 ( Các điểm đặc biệt trong tam giác)

Dùng định lí Ceva, hãy chứng minh

a) Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm

b) Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm ( tâm đường tròn nội tiếp)

c) Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi

là trực tâm

d) Gọi D, E, F là các tiếp điểm tròn nội tiếp tam giác ABC ứng với các

cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: Các đường thẳng AD, BE, CF giao

nhau tại một điểm, điểm này được gọi là điểm Gergonne

e) Cho tam giác ABC với trung tuyến AM Giả sử CAMMAB

Ta nói ASa là một đối trung tuyến của tam giác ABC nếu Sa thuộc cạnh BC

và BASa CAM

Chứng minh rằng : Trong một tam giác, ba đối trung tuyến đồng quy tại

một điểm, điểm này được gọi là điểm Lemoine

g) Gọi Xa là tiếp điểm của cạnh BC với đường tròn tâm Ia , là đường

bàng tiếp góc A của tam giác ABC Định nghĩa tương tự như thế cho các

điểm Xb và Xc trên các cạnh tương ứng AC và AB

Chứng minh rằng: Ba đường thẳng AXa , BXb , CXc giao nhau tại một

điểm , điểm này được gọi là điểm Nagel

Giải

a)

A

C B

AP.NA

b)

Theo tính chất của đường phân giác, ta có :

AC

ABDC

BD

BA

CBEA

CE

 ;

BC

ACFB

CB.AC

ABFB

AF.EA

E F

D

Ta có: ACD và BCE là hai tam giác đồng dạng

)1(AD

BD.AE

AFEA

CE.DC

BD.FB

AD

BE.CF

AD.BE

D

CE.DC

E F

CE.BF

BDFB

AF.EA

CE

Sa B

Gọi ba đối trung tuyến của ABC là ASa , BSb , CSc

Ta tính diện tích tam giác bằng cách sử dụng hai công thức

2S = a.b.sinC

2S = c.hc

N

QP

KB

Xb

C

XaXc

Ta có:

a a

a a

a a

a M C A

Sa A

CM

BSCM

.h.2/1

BS.h.2/1S

a a

Ma C A

Sa A

CAMsin

.AC.AM.2/1

ABSsin.SA.AB.2/1S

SAB.A

a a

AC.AM

SA.ABS

S

a a

Ma C A

AS.ACBM

CSS

S

a a

a a

Ma B A

Sa C

a a

a

a

AC

ABCS

BM.CM

BS

 hay

2 2

a

a

AC

ABCS

BS

 ( do BMa = CMa) Tương tự ta cũng có những đẳng thức như thế cho các đỉnh khác:

2 2

b

b

BA

BCAS

CS

 ;

2 2

c

c

BC

ACBS

AS



B S

S A A S

CS C S

Gọi O1, O2 , O3 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C

Gọi R1 , R2 , R3 là lần lượt là bán kính đường tròn tâm O1, O2 , O3

Giả sử (O1, R1) tiếp xúc với AB, AC tương ứng tại M, N

(O2, R2) tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q

(O3, R3) tiếp xúc với AC, BC tương ứng tại R, K

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

CXa = CN ; XBb = BM ; XbC = CQ

XbR = RP ; XcA = CQ ; XcB = BK

b a

a c

c b

c c

a a

b

b

CX

CX.BX

BX.AX

AXA

X

BX.BX

BX.AR

R.R

R

2 1

1 3

Áp dụng định lí Ceva trong tam giác ABC với ba đường thẳng đồng quy AD,

AECF

Vì BD = DC nên 1

FA

CF.EB

CF

FAEB

IP.IN

D Q

N E P

H

S F

M

Gọi BI cắt AC tại E, CI cắt AB tại F

Vì MN song song với BC nên:

DC

INDB

IM  hay

DC

DBIN

Tương tự ta cũng có:

FB

FAIQ

IP  và

EA

ECIS



EA

EC.FB

FA.DC

DBIS

IR.IQ

IR

1.2.4 Ví dụ 4 (Thi vô địch Hàn Quốc, 1992)

Trong tam giác ABC có ABAC, gọi V là giao điểm của phân giác trong của góc A với cạnh BC, D là chân đường cao vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC Nếu E và F tương ứng là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AVD với hai cạnh CA và AB, hãy chứng minh rằng: Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Do đó: BFV và BDA là hai tam giác đồng dạng

Tương tự: CEV vàCDA là hai tam giác đồng dạng

CB

Mặt khác do tính chất đường phân giác, ta có:

VC

VBAC

)2(VC

BDCE

CDBF

90VAEAVE

90FAVFVA

0 0

FA.EA

CE.CE

BFFB

FA.EA

CE.DC

FA.EA

Ta sử dụng kết quả sau đây :

Nếu X’ là điểm nằm trên cạnh YZ của tam giác XYZ

Kí hiệu Y,Z,Y,Z lần lượt là số đo các góc XYZ, XZY, YXX’,

ZXX’

Ta có:

Y Z

Z

Y

sin

sin.sin

sinZX'

X'Y

'ZX

'ZX

Y

Y

sin

sin.sin

Z

Y

sin

sin.sin

C1A1B1 + A1C1B1 +C1BA1 = 1800

)

B1 1 2 



Theo kết quả trên ta được:

2sin2

sin.2sin2sinC

B

CA

2 1

2 1

C3 là giao điểm của đường thẳng CC2 với cạnh AB

CBsin

sin.sin

2 1

B A

sin.2sin2

sin.2sin

sin.2sin2

sin.2sin2

CB.CA

BA.BC

AC

3 3

3 3

3

Theo phần đảo của định lí Ceva, ta được AA3, BB3, CC3 đồng quy

Suy ra AA2, BB2, CC2 đồng quy

1.2.6 Ví dụ 6 ( Olympic Toán học mùa xuân Bulgaria, P11.2, 1997)

Cho tứ giác lồi ABCD thoã mãn: DABABCBCD

Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: H, O, D thẳng hàng

90ACOCAO

)1(90

2

2180ACO

Gọi H1, H3 lần lượt là hình chiếu của A, C lên BC, AB Khi đó: Xét các tam giác vuông: H3BC, H1AB ta có: HCBHAB900  (2)

ACOCAO

Suy ra: O là điểm nằm bên trong tam giác HAC

Từ đó: HAOBACBAHOAC

ACD

)180(

)180(

)90()(90-AOH

0 0

0 0

902

)90(

CADHAC

HAD

CADACO

0 0

0

902

90

90)

180(

)()90(

ACDHCA

sin

HCDsin

sin

CADsin







Nhân các đẳng thức trên vế theo vế ta được

sinAHD sinHCD sinCAD = sinHAD.sinCHD sinACD

Đặt: U =

CAOsin

.HCOsin

.AHDsin

CADsin

.HCDsin

.AHDsin

.HADsin

.CHDsin

ACDsin

.CHDsin

.HADsin

Nên U =

CAOsin

HCDsin

CAOsin

.HCOsin

CADsin

.AHDsin

HADsin

ACOsin

.HAOsin

ACDsin

.HADsin

Do sinHCDsinHADsin(2900)

sinCAO sinACOsin(900 )

Suy ra U = V

 sinAHD sinHCO sinCAO = sinCHD.sinHAOsinACO

Ta gọi E, F, G lần lượt là giao điểm của AO, CO, HD với CH, AH, AC

C A

B

O F

E H

D

Khi đó, ta có:

FC

FACHD

OCsin

HCOsin

sin

CAOsin

CAOsin

.FOCsin

HCOsin

.CHDsin

AHDsin

GA

HG.EH

CE

HG.EH

CE

FC

F



 AE, HF, CG đồng quy tại O

 Trong trường hợp  900 tức ABC = 900  H B

C B

 O, H là các điểm nằm ngoài tam giác ABC

Tương tự như trường hợp < 900 ta cũng có H, O, D thẳng hàng

1.2.7 Ví dụ 7 (Bài đề nghị cho IMO của Estonia, 1994)

Cho nửa đường tròn (T) nằm về một phía của đường thẳng (d) C và D là các điểm trên (T) Các tiếp tuyến của (T) tại C và D cắt (d) tại B và A tương ứng và tâm đường tròn nằm giữa hai điểm này Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là điểm nằm trên (d)sao cho EF vuông góc với (d)

Chứng minh rằng: EF là phân giác của góc CFD

Giải

C

B O

F H A

Gọi P là giao của đường thẳng AD và BC

Qua P, kẻ PH vuông góc với (d) tại H

Gọi O là tâm nửa đường tròn

Ta có: PAH và OAD là hai tam giác đồng dạng (theo trường hợp đặc biệt của tam giác vuông)

DO

HPAD

AHBC

BHAD

1CP

PDDA

PD.CP

BC.BC

ADDA

PD.CP

O

C D

B

F, D, C thuộc đường tròn đường kính PO

)1(POCPEC

DOPPFD

 PF là phân giác của góc DFC

 EF là phân giác của góc DFC

1.2.8 Ví dụ 8 ( Bài đề nghị cho IMO của nước Anh, 2000)

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp và H là trực tâm của một tam giác nhọn ABC,

Chứng tỏ rằng: Tồn tại các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC,

CA, AB sao cho: OD + DH = OE + EH = OF + FH

và các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

BH cắt (O) tại L2 và AC tại K2

CH cắt (O) tại L3 và AB tại K3

Nối các điểm H và D, ta biết rằng HK = KL nên HD = L1D

 OD + DH = OD + DL =OL = R

Tương tự ta có thể chọn điểm E, F lần lượt trên CA và AB với



180BAC2

CAK90

LAKCAL

0

1 0

1 1

()A90

(

CBLOBC

OBL

0 0

1 1

OLB

2180BOL

0

0 1

Trong tam giác BOD: BOD1800 2B

Trong tam giác COD: COD1800 2C

Theo định lí hàm số sin, ta có:

OBDsin

ODBOD

ODCOD

OD:

OBDsin

ODOBD

sin

CD:

OCDsin

BODsin

CODsin

OCDsin

CODsin

.CD

B2sinCD

)B2180sin(

C2sinEA

CE  ;

B2sin

A2sinFB

FB

FA.EA

CE.CD

Theo định lí Ceva : các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

1.2.9 Ví dụ 9 ( Bài đề nghị cho IMO của Belarusia, 2001)

với hai đỉnh của hình vuông ở trên cạnh BC Như thế một trong hai đỉnh

của hình vuông ở trên cạnh AB và đỉnh kia ở trên cạnh AC Các điểm B1,

C1 được xác định theo cách tương tự cho các hình vuông nội tiếp với hai đỉnh lần lượt ở trên cạnh AC và AB Chứng minh rằng: Các đường thẳng

AA1, BB1, CC1 đồng quy

Giải

A1

Đặt  CAB ;   ABC;  BCA là các góc của tam giác ABC

Gọi đường thẳng qua A, A1 cắt cạnh BC tại X, đường thẳng qua B, B1 cắt cạnh AC tại Y, đường thẳng qua C, C1 cắt cạnh AB tại Z

ZB

AZ.YA

CY.XC

Trước hết ta xét

XCBX

Giả sử hình vuông có tâm A1 có cạnh là s, các đỉnh P, Q lần lượt ở trên các cạnh AB và AC, các đỉnh S và T ở trên cạnh BC với S ở giữa B và T

Do AX qua tâm của hình vuông QPST nên nếu nó cắt cạnh PQ của hình vuông thành các đoạn độ dài u và v thì nó cắt cạnh ST thành các đoạn độ

dài v và u.Ta có thể chứng minh điều trên một cách đơn giản bằng việc xét các tam giác đồng dạng

BX

uABAP

AC

AQAB

AP

vXC

uBXv

uCX



sTc

sBTu

vTC

uvBTXC

1ancots

ancot.s

sancot.sXC

1ancotYA

1ancotZB

1ancot.1ancot

1ancot.1ancot

1ancotZB

AZ.YA

Theo phần đảo của định lí Ceva  AX, BY, CZ đồng quy

AA1, BB1, CC1 đồng quy (Điều phải chứng minh)

1.2.10 Ví dụ 10 ( Thi chọn đội tuyển IMO, Hồng Kông, lần 1, 1998)

Cho tam giác ABC Các tam giác ABX, BCY và CAZ cân và đồng dạng với nhau, chúng ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn XA = XB, YB = YC, ZA

ZC Chứng minh rằng: Các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy

X Z

Gọi x là số đo góc đáy của các tam giác cân

Giả sử AY, BZ, CX cắt BC, CA, AB tương ứng tại L, M, N

BHAY

.CK.2/1

AY.BH.2/1S

S

ACY



của B, C lên AY

)xCsin(

.CA

)xBsin(

.BA)

xCsin(

.CY.CA.2/1

)xBsin(

.BY.BA.2/1S

.BA

)xCsin(

.BCMA

BC

)xAsin(

.CANB

l ( A và O2 nằm cùng phía đối với đường thẳng l)

1

PB

PAPB

PB(O

Gọi các điểm E, F lần lượt là giao điểm của AC, BC với (O)

Ta có tam giác AEB vuông, tam giác AEO cân

Suy ra: AEO = OAE = O1CE ( Vì O1C và OA cùng vuông góc với l)

Từ đó : O, E, O1 thẳng hàng hay EA1

Tương tự: FA2 và

2 2 2 2

2

2

r

rOA

OAC

rr

rBA

CA.CA

AAHB

1 2

2 2

1

Gọi D1, D2 là các giao điểm của BO1 và AO2 với l thì

HB

rHB

COHD

COHD

Mở rộng định lí Ceva được phát biểu như sau:

Cho các điểm D, E, F tương ứng nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB Lúc

FA

D B

Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt AD, AC lần lượt ở K, H Qua A kẻ đường thẳng song song với CF cắt BE tại M

BD

 ;

AM

OCEM

OEEA

OC.OC

BKEA

CE.DC

BD





1FB

AF.FA

BFFB

AF.OA

KOFB

AF.AM

BKFB

AF

Theo phần thuận: 1

BF

FA.AE

EC.C'D

'D

FB

FA.EA

CE.DC

BD

 nên

CD

DBC'D

'DB

  DD'

AD, BE, CF đồng quy (điều phải chứng minh)

1.3.1 Ví dụ 1 ( Olympic toán học Châu Á Thái Bình Dương, 1992)

Cho đường tròn (C) có tâm O Một đường tròn (C’) có tâm là X tiếp xúc trong với (C) tại A Một đường tròn khác có tâm Y, nằm bên trong (C), tiếp xúc với (C) tại B và tiếp xúc với (C’) tại Z Chứng minh rằng: Các đường thẳng XB,

YA và OZ đồng quy

Giải

(C) (C')

O

Y

X A

B

Z

Xét tam giác OXY có AOX , BOY, ZXY

Ta có:

BO

YB.ZY

XZ.AX

OABO

YB.ZY

XZ

XZ.OBOA

XZ

AX

Theo phần đảo của định lí Ceva thì XB, YA và OZ đồng quy

1.4 Dạng lƣợng giác của định lí Ceva

Dạng lượng giác của định lí Ceva thực chất chỉ là hệ quả của định lí Ceva, ở đây gọi tắt là Định lí Tri-Ceva ( Trigonomeric Form of Ceva’s Theorem) Trong một số trường hợp việc sử dụng dạng này tỏ ra hữu ích

Định lí Tri- Ceva

Cho AD, BE, CF là các Cevian trong tam giác ABC Lúc đó, các Cevian đồng

BADsin

CADsin

.FACsin

BCFsin

.CBEsin

E

Áp dụng định lí hàm số sin, ta có:

ABDsin

ADBAD

AD:

ABDsin

ADDAC

sin

CD:

BADsin

ACBsin

.DACsin

BADsin

CABsin

.EBA

ABCsin

.FCBsin

ACFsin

FB

FA

FCAsin

.EBAsin

CBEsin

.DACsin

BADsin

FB

FA

CE.DC

BADsin

CADsin

.FACsin

BCFsin

.CBE

CADsin

.F'ACsin

'BCFsin

.CBEsin

CADsin

.FACsin

BCFsin

.CBEsin

BCFsin

F'ACsin

'BCFsin

 AD, BE, CF đồng quy tại K

1.4.1 Ví dụ 1 ( Thi chọn đội tuyển IMO của Rumania, 2002, lần thứ nhất)

Cho tam giác nhọn ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

AC và P là hình chiếu vuông góc của N trên BC Gọi A1 là trung điểm của

MP Các điểm B1,C1 được định nghĩa một cách tương tự Chứng minh rằng: nếu AA1 BB1CC1  thì các tam giác ABC cân

Giải

ANAsinAA

ANAsin

AA

)Csin(

1 1

1 1

AMAsinAA

AMAsin

AA

)Bsin(

1 1

1 1