Khoá luận tốt nghiệp toán học một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

Lúc đó lục giác trở thành một ngũ giác nội tiếp và cạnhF A trở thành tiếp tuyến ở A với vòng tròn ngoại tiếp và ta có định lý sau: Định lý 1.1.2.. Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạn

KHOA TOÁN

HÀ NỘI - 2015

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

TRONG HÌNH HỌC sơ CAP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình hụcTRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

HÀ NỘI - 2015

MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

TRONG HÌNH HỌC sơ CAP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học Th.s

NGUYỄN THỊ TRÀ

Tôi xin bày tỏ lòng biết ƠĨ1 sâu sắc đến thạc sĩ NGUYÊN THỊ TRÀ,người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng

để tôi hoàn thành bài khóa luận này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếpcậĩi và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.Tôi xin bày tỏ lòng biết Ơ11 tới các thầy, các cô công tác tại Khoa ToánTrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trực tiếp giảng dạy,truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuycn rriôn cũng như kinhnghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạnchế ncn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ýkiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để khóa luận của tôi dược hoànthiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những Iiội dung mà tôi trình bày trong khóa luận này là

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung chính 3

Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị 4 1.1 Định lý Pascal 4

1.1.1 Định lý Pascal 4

1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt, của định lý Pascal 5

1.2 Định lý Brianchon 8

1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal) 8 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon 8 Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon 11 2.1 ứng dụng của định lý Pascal 11

2.2 Ưng dụng của định lý Brianchon 26

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

1 Lý do chọn đề tài

Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt đối vớinhững môn khoa học khác Đồng thời, hình học còn giúp chúng ta có mộtphương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộcchương trình phổ thông

Những bài toán về đường tròn dược sử dụng phương pháp chứng minh bằngPascal và Brianchon trong hình học sơ cấp đều là những bài toán rất hay

Vì vậy trong đề tài Iiày tôi cũng cố gắng đưa vào chứng minh sơ cấp của haiđịnh lý Đồng thời ncu lẽn cách giải của một lớp các bài toán đẹp ứng dụngchúng

2 Mục đích - Yêu cầu

• Đây là một dịp đổ có thổ tập dượt nghicn cứu (với sự định hướng

của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học

• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái

niệm, các tính chất, các bài toán đã dược đặt ra, một số ứng dụng,

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan đến Định lýPascal - Định lý Brianchon

4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu

- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan

- Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

M Ụ C L Ụ C

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon

2 Kết cấu của nội dung

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liộu

• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh

• Tharri khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết một số vấn đề

nhau theo thứ thự Oí, /3, 7.

Ap dụng định lý Menelaus vào tam giác P Q R tạo bởi ba cạnh không kề nhau của một lục giác với các cát tuyến C Ị 3 B , D E a , j F A (ba cạnh còn

lại) ta lần lượt có:

C H Ư Ơ N G 1 L Ý T H U Y Ế T C H U Ầ N D Ị

CQjR~BP _

~DQ 'ẼR ~ÕP _ Ĩ)R'W P ' Z ẼQ~ ’

7 Q FR AP = 1

~ĨR~FP'~ÃQ ~

Nhân từng vế ba đẳng thức sau này với nhau và để ý rằng:

A P B P = F P E P (phương tích của điểm p đối với vòng tròn

Hộ thức này chứng tỏ rằng «,/3,7 là ba điểm thẳng hàng nằm trên ba cạnh

của tarri giác R Q P (đpcm).

Chú ý Định lý áp dụng cho rriọi lục giác nội tiếp không cần giả thiết là lụcgiác lồi

1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal

• Ngũ giác nội tiếp đường tròn:

Giả sử A B C D E F là một lục giác Iiội tiếp Ta hãy hình dung một

đỉnh nào đó, F chẳng hạn, chạy trcn vòng tròn đến trùng với một đỉnh khác, thí dụ là điểm A Lúc đó lục giác trở thành một ngũ giác (nội tiếp) và cạnh

F A trở thành tiếp tuyến ở A với vòng tròn ngoại tiếp và ta có định lý sau: Định lý 1.1.2 Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không kề nhau nào đó cắt nhau (nếu có) tại hai điểm, thẳng hàng với giao điểm của cạnh thứ năm với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện.

Tương tự như trên, ta có thể áp dụng định lý Pascal vào các tứ giác, tarri giácnội tiếp bằng cách xem những hình đó như những lục giác có hai hay ba cặpđỉnh trùng nhau và thay cạnh nối hai đỉnh trùng nhau bằng tiếp tuyến tại điổrritrùng với hai đỉnh đó Bằng cách đó, ta có thẻ phát biểu định lý như sau:

• Tứ giác nội tiếp đường tròn:

Định lý 1.1.3 Trong một tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện và hai cẠp tiếp tuyến ở CÁC cặp đỉnh đối diện giao nhau (nếu có) theo bốn điểm thẳng hàng.

• Tam giác nội tiếp đường tròn:

C H Ư Ơ N G 1 L Ý T H U Y Ế T C H U A N D Ị

Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân

Định lý 1.1.4 Ba cạnh của 'một tam giác cắt ba tiếp tuyến với đườny tròn ngoại tiếp tại đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng hàng.

Định lý Brianchon

1.2 Định lý Brianchon

1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal)

Định lý 1 2 1 Các đường thắng nối các đỉnh đối diện của một lục giác ngoại tiếp với một vòng tròn đồng quy tại một điểm,.

1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon

Cũng như đổi với định lý Pascal ta có thổ áp dụng định lý Bri- anchon vàocác ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp bằng cách coi những hình Iiày nhưnhững lục giác ngoại tiếp dặc biệt có một, hai hoặc ba cặp cạnh trùng nhau Thí

dụ ta hãy hình dung tiếp điổm A ị chạy trên vòng tròn đến trùng với điềm B ị

để cạnh F A đến trùng với cạnh A B Lúc đó ta có rriột ngũ giác A B C D E

ngoại tiếp có tính chất sau:

• Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn:

Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tại một, điểrnthẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối

C H Ư Ơ N G 1 L Ý T H U Y Ế T C H U Ầ N D Ị

diện với đỉnh này

Theo đó ta có thể phát hiện thêm nì lững tính chất mới của tứ giác, tam, giác ngoại tiếp như sau:

• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn:

Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nối các đỉnh đốidiện và các đường nối các tiếp điểrn trên các cạnh đối diện đồng quy

• Tam giác ngoại tiếp đường tròn:

Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đường nối rriỗi đỉnhvới tiếp điểm trên rriỗi cạnh đối diện là ba đường đồng quy.

và A’B\ A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp điểm M và N; p

và Q; R và s.

Chứng minh Tằng: MQ, NR, PS đồng quy.

Bài giải

• Vì A \ B ', C ' lần lượt là các điổm chính giữa của các cung B C , A C , А

В liên A A ', B B ' , C C ' theo thứ tự là các đường phân giác của góc

A

C H Ư Ơ N G 1 L Ý T H U Y Ế T C H U Ầ N D Ị

B A C , A B C , A C B Suy ra I = A A ' П B B ' n C ữ (do ba đường

phân giác đồng quy)

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm c, ơ', A', B ', в , Ả ta có:

Bài tập 2 1 2 CÌIO tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm, (O) Gọi

M ỉ,à điểm nào đó trên cạnh AC (M Ỷ A, C) Đường thẳng BM cắt đường tròn lần nữa tại N Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thắng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điếm Q.

Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên cạnh AC.

Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là o (đpcm).

Bài tập 2.1.3 Cho AABC nội tiếp đường tròn tâm (0) và 3 điểm M, N, p cùng thuộc đường tìiẳng (d) AM, BM, CM cắt lại (0) tương ứng ở Aị,Bi,Ci \ AịN, BịN, C\N cắt lại (0) tương ứng ở A 2 , B 2 , Ơ 2 ;' AịN, BịN, C\

N cắt lại (0) tương ứng ở A 3 ,i? 3 ,C 3

Bị A3 п B3A1 = V;

Suy ra ba điểrn N , p , V thẳng hàng.

Hay V Iiằm trên ( d ) (1)

Áp dụng định lý" Pascal cho sáu điểm Л , A i , A 3 , в , B ị , B 3 ta có:

Áp dụng định lỷ Pascal cho sáu điểm A , A i , A 3 , c , Cl, C3 ta có:

CCi n AAị = M;

C1Ẩ3 n C3A1 = Q;

cc3 nAA3 =S'.

Chứng minh rằng I £ MN.

Bài giải

Đổ chứng minh bài toán trcn, trước hết ta chứng minh bổ đồ sau: "Cho đường

tròn ( O ) với dây cung A B Một đường tròn ( ĩ ) t i ế p xúc trong với (0) và tiếp xúc với A B lần lượt tại M, N Khi đó M N đi qua điểm chính giữa cung

A B không chứa M của (0)".

Ta CÓ: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp AA B C nên C I là tia phân giác

A C B , C I n (0) = F Suy ra F là trung điểm dây cung A B liên ơ, /, F thẳng

hàng

Ap dụng bổ đề trên ta cũng có 5, M, F thẳng hàng suy ra S M , C I và (0)

đồng quy tại điểm F

+ Tương tự ta có: B I là tia phân giác A B C , E — B I n (0) ncn E là trung điềm dây cung A C Suy ra 3 điểrn B , I , E thẳng hàng.

Áp dụng bổ dề trên ta cũng có 5, N , E thẳng hàng liên S N , B I , (0) đồng quy tại điểm E

Áp dụng định lỷ Pascal cho sáu điểrn F , c , A , B , E , s ta có:

F C n B E = /; CA n

ES = N; A B n S F =

M

Vậy ba điổm M, /, thẳng hàng hay M N luôn đi qua một điổrri cố định là I

Bài tập 2.1.5 Cho hình cìhữ nhật ABCD nội tiếp (0) Tiếp tuyến của (0) tại A cắt CD ở s BS cẨt lại đường tròn ở T.

Chứng minh rằng CT, so và AD đồng quy.

C H Ư Ơ N G 2 M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Bài giải

Gọi I — C T n A D , (d ) là tiếp tuyến với đường tròn tại A

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A , B , c , D , T, A ta có:

Bài tập 2 1 6 Cho tom giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O).

Kẻ đường kính AD của đường tròn, s là 1 điểm di động trên đường tròn.

SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N.

Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài giải

Giả sử B M , A N cắt ( O ) tương ứng ở s , /, tiếp tuyến của (O) tại С cắt

S I ở T

+ Vì A A B С là A cân tại A ncn B A D — C A D hay cung B D = C D

=> S N là tia phân giác B S C

H- Vì vậy В S C I là tứ giác điều hòa псп S I , tiếp tuyến tại Б, с của (O)

đồng quy (Hay T là giao điểrn của 2 tiếp tuyến tại £>, с của (0) nên T cố định).

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm А , В , С , С , Б , 1 ta có:

AC n BS = M;

B C n A I = N ; SI n

CT = T

Suy ra 3 điểrn M , N , T thẳng hàng (đpcrn).

Bài tập 2.1.7 Cho tam, yiác ABC và điếm s thuộc cạnh BC Trên các tia

AB, AC lấy tương ứng các điểm, M, N sao cho AMC = —ASC, ANB =

Ẩu

— A S B Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tom giác A M N

A

C H Ư Ơ N G 2 M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L V À Đ Ị N H L Ý D R I A N C H O N

2

Chứng minh Tằng: IS^-BC.

Giả sử N B , M C cắt đường tròn (/) tại H và K

H K cắt tiếp tuyến tại A của (/) ở V

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A , Ẩ, H , K , M, N ta có:

Xét cực và đối cực với (O).

Gọi /, J, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (H M , PQ),

Như vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 2.1.9 Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm (O) trên

AB, BC, CD, DA lần lượt ì,à M, N, p, Q Một điểm, s nằm trên

E

Bài tập 2.1.10 Cho sáu điếm A, B, c, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (0) sao cho ABCD là hình chữ nhật Giả sử EF cắt AB, CD lần lượt ở p,

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Cho dường tròn tâm (O) dường kính E F Lấy hai điểm JV, p trcn đường thẳng E F sao cho O N = O P Từ điểm M nào đó bên trong đường tròn mà không thuộc E F , kẻ đường thẳng M N cắt đường tròn tại Ẩ

và c, đường thẳng M p cắt đường tròn tại B và D sao cho B và o nằm khác phía đối với A C Gọi K là giao điểm của O B và A C , Q là giao điềm của E F và C D

Chứng minh rang các dường thẳng K Q , B D và A O đồng quy.

Bài 2 Cho tam giác A B C nội tiếp đường tròn tâm (0) Một đường thẳng đi qua o cắt hai cạnh A B , A C lần lượt tại M , N Gọi /, J, K lần lượt là trung điểm của CM, B N , M N

Chứng minh bốn điểm /, J, K , o Iiằm trên một đường tròn.

Bài 3 Cho tam giác A B C Iiội tiếp đường tròn (O) và một điểm s trong mặt phẳng AS, B S , c s cắt lại (O) tương ứng ở D , E , F Một đường thẳng ( d ) qua s cắt B C , C A , A B lần lượt tại M, N , p

Chứng minh rằng DM, E N , F P và đường tròn (0) đồng quy.

Bài 4 Một dường tròn cắt các cạnh B C , C A , A B của tam giác A B C lần lượt tại D i , D 2 ; E \ , E 2 ; Fi, F 2 D ị E ị cắt D 2 F 2 ỏ L \ E ị F i cắt

C H Ư Ơ N G 2 M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Bài tập 2 2 1 Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Gọi M, N, p lần lượt ỉà điểm chung của các cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA), (DE,AB).

Chứng minh rằng M, N, p thẳng hàng.

Bài giải

* Xét cực và đối cực đối với (/)

Vì A I là phân giác góc A , mà AA E F cân tại Ả =>■ A I L E F

Áp dụng định lý Brianchon ta có: A D , B E , C F đồng quy tại s Dễ thấy rằng đường đối cực của M đi qua D liên suy ra đường đối cực của M

là A D

Hoàn toàn tương tự ta cũng có: đường đối cực của N ì ầ B E và

đường đối cực của p là C F

Vì ba đường A D , B E , C F đồng quy ncn có M, iV, p thẳng hàng.

A

Bài tập 2 2 2 Cho tam, giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC,

CA, AB ì,ầ lượt ỉ,à D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF 7 FD, DE lần lượt là M, p, N.

Chứng minh Tằng: AM, BP, CN đồng quy.

Bài giải

Gọi /, o lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D E F và A B C Gọi H , K , L lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng ( M p ,

E F ), (.M N , F D ), ( M P , D E )

Theo bài toán [2.2.1] thì H , K , L thẳng hàng (1)

+ Ap dụng định Brianchon đối với AD E F Iiội tiếp đường tròn (/) ta có

DM, E N , F P đồng quy ncn H , M, F , E thẳng hàng.

Do đó M thuộc đường đối cực của ( H ) đối với ( O ) .

Mặt khác: E , F lần lượt là tiếp điểm của các đường tiếp tuyến A C và

A B đối với ( O ) suy ra O A ± E F Do đó A thuộc đường đối cực của H

đối với (O) liên ta có A M là đường đối cực của H đối với ( O ) (!)■

C H Ư Ơ N G 2 M Ộ T S Ố Ứ N G D Ụ N G C Ủ A Đ Ị N H L Ý P A S C A L VÀ Đ Ị N H L Ý B R I A N C H O N

Bài tập 2.2.3 Cho tam, giác ABC nội tiếp đường tròn (0) Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại s Một cát tuyến quay quanh s cắt CA, CB ịại

Suy ra N ' = N tức là N e E D

Do E D là đường đối cực của M đối với (O) ncn M, N , p, Q thẳng hàng.

Bài tập 2.2.4 Cho đường tròn (S) và hai điểm /, J trên nó Lấy 2 điếm A, B lần lượt nằm, trên tiếp tuyến (S) tại I, J Vẽ AC và BD tiếp xúc với (S) lần lượt tại c và D Kỉ hiệu p = ID n AC, Q = JC n BD Chứng minh rằng: PQ

n AB € / J.

Bài giải

L

• Sáu đường AC, AC , A I , B D , B D , BJ tiếp xúc với (S) nên áp dụng định

lý Brianchon ta có ba đường CD, A B và đường thẳng nối hai điểm I A n B D

và A C n B J đồng quy Suy ra ba đường /J, C D , A B đồng quy (2)

Từ (1) và (2) suy ra P Q , A B , / J đồng quy hay P Q n A B thuộc I J

Bài tập 2.2.5 H ã y dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn (s) biết năm tiếp tuyến thuộc (s).