Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)

Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều (Khóa luận tốt nghiệp)

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Đặc biệt em xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vương Thông đã tận tình chỉ bảo vả giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

Cuỗi cùng em xIn cảm ơn các thầy cô trong tô Đại Số và các bạn đã tạo điều kiện, và đóng góp những ý kiến hữu ích để em thực hiện khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2010 Người thực hiện

Nguyễn Thị Xen

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy Vương Thông

Em xin cam đoan luận văn về đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” không trùng với bất kỳ luận văn nào

khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Người thực hiện

Nguyễn Thị Xen

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Mục lục

MUG AU 1

ee 2 Chương 1: Cấu trúc đại số sắp thứ tự 2-2 sce+s+eszxczsreee 2

1.1 Câu trúc đại SỐ si ca tt 33118 5155511381515 E58 EEecsrrerscees 2

1.1.1 Phép toán đại số n ngôi và tính chất 2-2-2 sssezsxcse 2 1.1.2 Quan h€ n 1QO1 00.0 7 1.2 Cau trite sap thir ty ec ccsescsscsescsscsesscsssesssscscesssessssssssesssstseesesen 11

2.2.5 Vành nguyên tô và nửa nguyên tỐ . 2- se czceerscre 49 2.2.6 Vành nguyên thủy và nửa nguyên thủy . «-‹ 50 2.2.7 Vành địa phương và nửa địa phương . - -.-« «<< + 51 2.3 Một số lớp môđun đặc biệt 22-2 s SE cxeExck xe, 52

3.3 K_Dai s6 boty han chigu a eecsessssecsneeesssceseeeceseesneeesneeeseeesseeenseess 71

{0 72 Tai liu tham Khao 1.0.00 73

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Vì vậy em đã mạnh dạn chọn dé tai “ Cấu trúc dai số sắp thứ tự Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” cùng với sự giúp đỡ của thầy Vương

Thông, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số lớp cấu trúc đại số đặc biệt và mỗi quan hệ giữa chúng, với các kiến thức ở phô thông, từ đó góp phần làm phong phú thêm các lớp cầu trúc đại số

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu:

- Các nhóm

- Vành

- Môđun

+ Phạm vị nghiên cứu: Đọc các tài liệu có liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu sâu hơn về các nhóm, các vành, các môdun

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách, tra cứu tải liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CÂU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ

Thay cho cach viét f(x,y) ta viết xfy

Thường ký hiệu: +,., *, O,

Ta mở rộng cho phép toán đại số m ngôi, đó là ánh xạ f: X” ->X

Thuong viét f(x1,x2,X3, Xm)-

Nếu X là tập hữu hạn có n phan tử ta có thé tính được:

Số phép toán đại số 2 ngôi xác định trên X là: n"ˆ

Số phép toán đại số 2 ngôi xác định trên X là: nh

> a-b (không là PTĐS 2 ngôi)

> a+b (không là PTĐS 2 ngôi) -> a” (không là PTĐS 2 ngôi)

b+» Max {a,b} (là PTDS 2 ngôi)

> Min {a,b} (là PTDS 2 ngôi)

> (a,b): USCLN (không là PTĐS 2 ngôi)

> [a,b|: BSCNN (không là PTĐS 2 ngôi)

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Tóm lại trên có vô số PTĐS 2 ngôi

Tương tự trên các tập số khác , [v2] [M2] , , K:số siêu phức,

ta có nhiều phép toán đại số 2 ngôi

2 Đối tượng là các số nguyên đồng dư theo môđun n

„= {0,1, n—1}

Có 2 PTĐS 2 ngôi thường dùng: ¡+ j= j + j

Lj=Í.j

Cần chứng minh: itj> n thi i+ j= k,ke {0,1, n-1}

ijen thi ij=k,ke {0,1, n-1}

3 Đối tượng là đa thức

R[x]: f(x)+ g(x)

f(x).g(x)

Tổng quát A[x], với A là vành giao hoán, có đơn vị bất ki

Nhận xét: Các ví dụ 2, 3 xuất phát từ các PTĐS 2 ngôi trên các đối tượng

đã biết ta xây dựng được các PTĐS 2 ngôi trên các đối tượng mới

4 Đối tượng là tập hợp

Các phép toán: \2, ¬, \, ®

5 Đối tượng là phép thế đặc biệt S:

6.Đối tượng là ma trận Matp( )

Phép toán * có đơn vị nếu lx| =1

Nếu |x|>1 thì * có nhiều đơn vị trái mà không có đơn vị phải

8.Xuất phát từ tập X đã biết ta có thể xây dựng được nhiều phép toán trên các đối tượng mới

Ví dụ: -Từ phép cộng, nhân các số thực ta xây dựng được các phép toán

ø,j: X" ->M

Ta có (pAW)(x)=ø(z)Aw() ›: (p=V)(x)=ø(x)=>w(z)

(ovự)(x)=ø(x)vw) › (p=v)(z)=ø(x)<v(>)

- Cho (X,+) là nhóm giao hoán

Kí hiệu End(x) = { f: X—> X là tự đồng cấu của X }

Xác định phép cộng trên End (x) như sau:

VxeX f,ge End(x), (f+g)(x) = Í(x)+g(x)

Vx, y EX ,f,ge End(x), (f+g)(x+y)= f(x+y)+g(x+y)

=fŒ)+fy)+g(x)+g0)

= [fx)>g(Œ)]+ [f)+g0)]

= đ+g)(x)+d+g)0)

Suy ra (Í+g)ceEnd(x)

9.Thể Quarternion: (Còn gọi là số siêu phức)

Số siêu phic,dim =2,din K =4

Kí hiệu K={ arbi+cJ+dk|a,b,c de }

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

-Phép cộng : z =a+bi+cJ+dk

8=a +b i+c j+dk Suyra ø+/=(a+a”)+(b+b”)i+(c+cˆ”)j+(d+d”)k

-Phép nhân các vectơ cơ sở cho dưới bảng sau:

,”#

Chú ý Để nhớ bảng nhân cân hoán vị vòng quanh và phản hoán vị (trừ d¡,c¡)

cụ thể là : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j

-Căn cứ vào bảng nhân trên ta thực hiện đựơc phép nhân giữa các phần tử của

Giả sử zeK* =a”+bf+c”+d”+0

Ta biến đối như sau:

-Nhđn vô hướng :rc ,rzra+(rb)i+(rc)J+(rd)keK

Ta có (K,+) cùng với nhđn vô hướng trín lập thănh - không gian vectơ

Vậy (K,+,, nhđn vô hướngvới )lă - đại số không giao hoân Đại

Ta viết phĩp toân theo lỗi nhđn

e Kếthợp: Vx, y,z eX: (xy)z=x(yZ)

e Giaohoân: Vx,yeX: xy=yx

e Tôn tại trung hoă (đơnvị: ÔôØeX:Ø+x=x VxeX

deeX:ex=x Vxex

e Mỗi xeX, 3 phần tử đôi - xeX, phần tử nghịch đảo xeX

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

cho a=2—>0*2=0”+2”+2.0=4z+2— không có đơn vị Cách 2: Xem (2) như đa thức của biếnae :a”+(e—1).a+e?=0

1=0

e?=0

Cách 3: Xem (2) là phép toán bậc 2 với e, chọn a=2=> e* +2e+2=0 c6

A =1-2=-1— phương trình không có nghiệnmc —>(2) không đúng với a=2

-Nếu X=Y là nói gọn R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X

-Mở rộng ta gọi bộ phận Re X,x X;x xX, là quan hệ n ngôi xác định trên X,x X; x x X,

b VD

1 X là tập người, Y=

xR¡n nếu n là tuổi của x tính đến năm nào đó

xRạn nếu n > tuôi của x

XR3n néu n< tudi cua x

xR„n nếu x sinh năm n, có thê dẫn ra nhiều quan hệ R tương tự

2 X là tập người

Xét các quan hệ R sau:

xRy nếu x là bố đẻ của y xRy nếu x là bạn cùng tuôi với y xRy nếu x là cùng giới với y xRy nếu x lả cùng trình độ học vấn với y 3.Trén các số tự nhiên xét các quan hệ sau:

xRy néu x < y xRy néu x|y xRy nếu (x-y):4 xRy nếu x: y 4.X là tập các tam giác

AazcR A esc > Agape = Ange

> Nag ® Agee

S Nuc Ngee

c.Tinh chat

Cho R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X

1 Tinh chat phan xa : Ta noi R có tính chat phan xa nếu VxeX, xRx

2 Tính chất đối xứng: Vx,ye X, Nếu xRy thì yRx

3 Tính chất phản xứng: V x,ye X Gia sử xRy và yRx suy ra X=y

4 Tính chất bắc cầu: Vx,y,ze X Gia sử xRy và yRz suy ra xRz

d Hai quan hệ 2 ngôi đặc biệt

> Quan hệ tương đương

-Định nghĩa : Quan hệ 2 ngôi R có 3 tính chất : Phản xạ, đôi xứng, bac cau la quan hé tuong duong

Thuong ki higu : ~

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Sự phân hoạch: Chia X z ø ra thành các bộ phận khác rỗng và rời nhau

từng đôi, khi đó ta có sự phân hoạch tập X

x,yeX, gọi là so sánh được với nhau nếu x<y hoặc y<x

Tập sắp thứ tự bộ phận (X,<) gọi là toàn phần nếu Vx,y e X đều so sánh được với nhau

Ta có : Nếu ae X là phần tử BN thì a là TT, ngược lại nói chung không đúng

Nếu ae X là phần tử LN thì a là TÐ, ngược lại nói chung không đúng Nếu có nhiều TT thì không có BN

Nếu có nhiều TÐ thì không có LN

- Inf(A) , Sup(A)

ChoA c X

x € X dugc goi la can dudi cua A nếu x< a với mọi ae A Phần tử lớn

nhất trong các cận đưới của A gọi là cận dưới đúng của A, Nếu có thì được kí

hiéu la inf(A)

Tương tự có cận trên và sup(A)

-Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật

- Hai tập sắp thứ tự đăng cấu:

+Cho hai tập sắp thứ tự @X,<¡) Œ,¿)

+Nếu tồn tại song ánh f:X—>X” sao cho Va,beX, a<; b thì f(a)<z›f(b) Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X, <¡) đẳng cấu với (X”, <¿)

Chú ý : Ta còn xét quan hệ tiền thứ tự : Là quan hệ hai ngôi thoả mãn phản

xa va bac cau, trong thực tê quan hệ tiên thứ tự được dùng rộng rãi hơn

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Thoả mãn một số điều kiện nào đó

Các điều kiện này gọi là hệ tiên đề của cẫu trúc sắp thứ tự (X,O,<)

1.2.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Nhom sap thir ty 14 (X,Q,<) trong do X¥¢ ,

O gồm một PTĐS 0 ngôi phép lấy phần tử trung hoà Ø

một PTĐS 1 ngôi phép lấy phần tử đối của mỗi phân tử một PTĐS 2 ngôi: a+b

Hệ tiên đề của nhóm sắp thứ tự:

1 PTĐS 2 ngôi + có tính chất kết hợp

2 PTĐS 2 ngôi + có tính chất giao hoán

3 VaeX ,O+a=a

4aeX ,Ja’e X: ata’=9

5Va,be X, giả sử a<b thì atc<b+%c

7 Quan hệ thứ tự toàn phần tương thích đối với hai phép toán, nghĩa là:

Va,be X, giả sử a<b th a+c<bc , Vce X

ac< b.c , Vc EX, a.c> b.c , Ve eX

Hệ tiên đề của trường sắp thứ tự :

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán 7.VaeX:ea=a

8 Mỗi ae X”,3aeX: a a=e

9 phép nhân phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab + ac

10 < tương thích đôi với 2 phép toán , nghĩa là

Va,beX, giả sử a < b thì a+c < b+c Vce X

ac< be Vcex, ac>b.c Vcex Chang hạn có các trường sắp thứ tự: ( ,+,„ <),( y+, <) Còn

(_ ,+,.,<) không trở thành trường sắp thứ tự theo nghĩa :

Giả sử trên xác định được quan hệ < cũng tương thích đối với hai phép

toán Khi đótacó Vxe .Šx>0vìxc “nếux>0

= x’> 0, Néux<0 > -x>0 = (-x)(-x) = x’>0

Tacó Cc ,Tamuốnquanhệ <trên khithuhepvé vẫn giữ nguyén Khi đó gặp mâu thuẫn sau :x=ie “nhưng = -1 <0 (mâu thuẫn)

S —f

Có thể xuất phát từ các trường hợp :

- Déng cau cảm sinh

- Vanh da thirc A[x]

Để người ta khái quát hóa ngoài lý do dưới đây giải thích cho thuật ngữ “Tự đo”

Va,be S,a¥ b: Chọn X là nhóm có nhiều hơn một phần tử

Chon g: S—X sao cho g(a)# g(b)

Theo định nghĩa nhóm tự do thi 3! déng cau h: F+X sao cho hf=g

=h[f(a)]= (h)(@)= g(a)# g(b)= (hf)(b)= h[f(b)]

> f(a)# f(b) vi h la anh xa

e Gidst A CF va A= <f(S)>, anh xa f sinh rag: S> AC F

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

phép nhúng g: ŠS->A ,lạ: A->F

a E>Í(a)

ro rang iag=f, ánh xạ f và g cùng tập xác định, nhưng khác nhau TT

Theo định nghĩa 3!h: F —>A sao cho hf=g, cần chứng minh ¡ah là toàn ánh

k cting thoa man kf=(i,h)f=i,g=f » => F' la toan anh

k=i,h 14 toàn ánh do 1a là toàn ánh —1a là toàn ánh—> A=FFÐ =F=<f(S)>, tức

là £(S) là tập sinh của nhóm E

Định lí 2 (Tồn tai duy nhât nhóm tự do xác định trên tập S)

Gia su (F,f) va (F’,f) la nhom ty do cung xac định trên tap S

Khi do 4 dang cau j: FF’ sao cho jf

va 1 đăng cấu k: F”->F sao cho kf=f tức là 2 sơ đồ tam giác sau giao

Ching minh Do (£,F) là nhóm tự do xác định trên S nên 3! đồng câu nhóm i: F—>E” sao cho jÊ=F, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

Coi (f,F) trong sơ đồ trên như cặp (ø,X) trong định nghĩa

Theo trén kjf= k(jf)= kf’=f1pg, Do (f,F) 14 nhom ty do => J! đồng cấu từ

FF để tam giác ngoài cùng giao hoán =kj=1z =j là toàn cấu

Tương tự xét sơ đô:

S—f— F se

‘oy

` k/’ !

# ! +,

f

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Coơi (f,F') trong sơ đồ trên như cặp(g,X) trong định nghĩa

Theo trên jkf=j(kf)=jf=f=lz:F, do (f,F?) là nhóm tự do— 3! đồng cấu từ F?—>F để tam giác ngoài cùng giao hoán =>jk=1y: —j là toàn cấu

Vậy j là đăng câu — k=j cũng lả đẳng cấu

Chữ w được gọi là rút gọn nếu trong biểu diễn của w không xảy ra trường hợp

a’ đứng cạnh a’, VaeS

Đưa vảo kí hiệu e thay cho chữ rỗng tức là chữ không có phan tr nao cta S

Kí hiệu F lả tập gồm các chữ rút gọn và phần tử e

F={w, e}

- _ Xác định phép toán đại số 2 ngôi x trén F:

Vx,veF Nếu x=e thìuv=ev=v

Nếu v=e thì uv=ue=u Nếu x#e, vze thì uv là viết kế tiếp tích hình thức như trên, trong uv ta xóa đi các tích dạng a'a†, a†a! nêu có mặt — uv là chữ rút gon, xoa hét thi coi uv=e

- Dé dang kiém tra duoc F cing véi phép toan trén 14p thành một nhóm

e L>h(e) là phần tử đơn vị của X: h(e)=1x

w=4,`4,° 4," E>[g(ai)] & [g(a2)] oo [g(an)] fn ể, e{1,-1}, Vi =Ln

- 3! đồng câu h: F—>X sao cho hf=g

Giả sử 1 đồng cẫu k: F—>X sao cho kf=g

Khi đó VweF' w=a¡1a4°°? a”

k(w) = [k(ai)]' [k(a¿)]'2 [k(an)]”

= [k(a’s)] [k(a’2)]? [k@’a)]

= [f(a)]]”* [k[f(az)]]“? [k[fan)]]””

= [&f(a)]'^ [ŒkÐ(a2)] 2 [&kÐ(a,)]”

= [g(ai)]'ˆ [g(az)]”2 [g(an)]”~ =h(w)

>k=h

Nhận xét:

- Do f: S—› F là một đơn ánh, nên đồng nhất S với f(S) —=S-F và F=<§>

- V ánh xạ ø: S->X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F—> X ta gọi

F là nhóm tự sinh bởi tập S

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

2.1.2 Nhóm Aben tự do

a ĐN Cho 5 là một tập hợp Ta gọi nhóm Aben tự do trên tập S, một nhóm Aben F cùng với một ánh xạ f: Š—>F sao cho với mọi ánh xạ g: S—>X, X là nhóm Aben thì 3! đồng cấu h: F—>X sao cho hf=g, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

Chứng minh Tương tự trong phần nhóm tự do

c Tôn tại nhóm Aben tự do xác định trên tập S

Định H2 (Tồn tai duy nhât) Giả sử (F,Ð và (F”,Ÿ) là hai nhóm Aben tự do xác định trên S Khi đó 3! đồng cấu j: F —> E? sao cho jP=f

3! đồng cấu k: F°—> F sao cho kf=f

Chứng minh Tương tự phần nhóm tự do

Định lí 3 (Tồn tai nhóm tự do Aben)

Cách 1 Đưa vào khái niệm: hoán tử của 2 phần tử:

Cho a,be X là nhóm, gọi phân tử aba ”b” là hoán tử của 2 phần tử a, b

Kí hiệu T'(x) =({aba"'b',a,b eX }) là nhóm con của X được sinh bởi tập các

hoán tử của X, gọi là nhóm con hoán vị của nhóm X Ta cũng có nhóm thương Xf (x) là nhóm Aben

=> K(x) = K(a"a” a™) =[K(a,)I"[K(a,)]” [K(a,,)]™ , a 1a hoán tử

= a, =aba'b',a,beG= k(a,) =k(a)k(b)k(a)k(b")

=k(a)k(a" )k(b)k(b") =0y

=>k(a,)"0, Vi=1,m => k(a)=0,

Khi đó k sinh ra đồng cấu k”=h: F—› X sao cho hp=k

( Tông quát: Cho đồng cấu f: X -› Y, AAX = 3 nhóm thương Xf, néu

Ac Kerf thi f sinh ra déng cau f': X/, > Y

XA b> f(x) quy tắc f` xác định khắp nơi

quy tắc f là đơn trị vì VxA, x'A e XY, gia su xA=x’A > x x’eA

Do Ac Kerf > f(x"'x’)=ey > f(x) f(x’)=ey => f(x)=f(’)

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Khi đó đồng cấu k°=h”p: G_› X cũng thỏa mãn kˆj=h'pj=h =g

Do tích duy nhất của đông câu tir G->X (kj=g=k’j >k’=k)

Và cộng là phương trình đại số 2 ngôi xác định trên F

- Kiểm tra được (E,+) là nhóm Aben, trung hòa là Ø: $ —>

lkhit = s Ms) = loạn, “8

e CM (F,f) 1a nhom Aben ty do

Tôn tại đồng cấu h

- _ Giả sử g: S—> X là ánh xạ tùy ý từ S đến nhóm Aben X

Xác định ánh xạ h: F X

p> h(g)= > 9(s)g(s),g(s) là số nguyên và bằng 0

ses hau hét — 3) 9(s)g(s)

Vi VOM FNO=LleOFMO= Yeo Oe! ses seS ses

ø(s) là sô nguyên, f{s) là ánh xạ từ $S—> được xác định ở trên

H’ la dong cầu = h'ø) =h'(Ò ;ø(s)ƒ()) = 3 ,ø(s)h'Iƒ(9]

=> ø@)(Œ'ƒX$)=3_ø()g(3) = h(Ø)

=>h=h'

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Nhận xét: Vì f: S—> F là đơn ánh — đồng nhất S với f{s) và F=<S> và vơi mọi ánh xạ g: S —> X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F—> X

Do đó nói gọn F là nhóm Aben tự do xác định trên §

Tập S được gọi là cơ sở của nhóm Aben tự do § Gọi |S| là hạng của nhóm Es

Kí hiệu là r(Fs) (range)

2.1.3 Nhóm Aben hữu hạn sinh

e« Tích trực tiếp:

- Cho 2 nhóm A,B Trên tập tích Đề các P=AxB xác định phép toán

sau:

(a,b).(c,d)=(ac,bd)

Khi đó P là nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B

- Có2 đơn cấu iA: A > AxB ,Íg B —> AxB

ab> (a, Cp) b (ca,b)

gọi là phép nhúng tự nhiên

Có 2 toàn câu PA: Axð>A ,Ps AXBOB

(ab) ba (a,b) yb

Gọi là các toàn cầu (phép chiếu ) tự nhiên

Do iạ, is là các phép nhúng nên đồng nhất A với i(A), b với i(B) do đó coi

A, B là các nhóm con chuẩn tắc của P (A= KerPg, B= KerPa)

Phan tich: Cho A,BAX , Néu X= AB và A í\ B={e} thì ta nói X phân tích

được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A, B

Định lí 1 Nếu X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chuẩn tặc A, B thì vơi moi phần tử của A giao hoán được vơi moi phần tử của B và vơi moi phân tử của X biểu diễn duy nhất dưới dạng ab, ae A, beB

Chứng minh -VaceA, VbeB Xét hoán tử c=aba 'b'=(aba”)b” e B vì BA

xX

=a(ba”b”) eAviA AX

>ceAf\B={e}>c=e> aba'b' => ab = ba

- VxeX, gia su x=ab-uv, aueA, b,veB

nhân trai véi a", phải với v'= au=bv' e A nB={e} = au=e —b= v

Ví dụ: Cho X=<a>s, chon A=<a’>3, B=<a’>>

A={e,a7.a"}, B={e,a”}, AB=(e,a”,a”,a`,a',a}=X, A f\B={e}

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

That vay V (a;,b1),(a2,b2) € P,

f((a1,b1),(a2,b2))= f((aiaz , bib2))= ajagb;b2

Do X là phân tích thành tích trực tiếp của A,B = f là toàn ánh, f là đơn ánh (giả sử (a,b) c Kerf >f(a,b)=ab=e=ee => (a,b)= (e,e)

Từ đó ta đồng nhất nhóm X với tích trực tiếp AxB Vì thế nên gọi là sự phân tích trên là phân tích thành tích trực tiếp

eCho A,B là hai nhóm tùy ý, theo trên ta cóiA(A)=Ax{eg},

ip(B)={eq} xB, ia, ís là các đơn cầu nên đồng nhất A=ia(A), B=ip(B)

Ta có P phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chính tác ia(A) và ip(B) Với sự đồng nhất trên ta cũng nói P phân tích được thành tích trực tiếp

của 2 nhóm con A,B; p=AB

Ta có thê mở rộng khái niêm nảy cho một họ bắt kỳ các nhóm

Thật vậy: Cho họ các nhóm {X;}; € I

Kí hiệu P= IT X; là tích Đề các của chúng: P= X, x X¿ x X,

Xác định phép toán : ( x, ),- ier —=(X,y;);.; phép nhần theo từng thành phần, khi đó P là một nhóm

Ki higu W={(x;),_, € Pl x, =e,, hau hét}, tacé WAP W goi la tich truc

tiếp yếu của họ {Xi}; € I

Nếu I là tập hữu hạn thì W=P

e Tổng trực tiếp yếu là tông trực tiếp của các nhóm, thường kí hiệu là :

Là các đơn cấu, toàn cấu, gọi là phép nhúng, chiếu thứ ¡

Định lí 3 Cho họ các nhóm X; cho cấp vô hạn {X;};e¡

Khi đó Đ® #Ƒ, F là nhóm Aben tự do sinh bởi tập I

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Bồ đề 1 Nhóm (_ ,+) là không phân tích được

CM: giả sử ngược lạ > =A@B, AfB={0}, A #{0}, Bz {0}

=> dacA,az0bcBbz0

Xét abcA vì ab= a+a+ +a

b

abce AfìB— ab=0—hoặc a=0 abcB

vì ab= b+b+ +b hoặc b= 0 — mâu thuẫn

"——

-Nhóm Xyclic cấp hữu hạn

Bồ đề 2 P là số nguyên tố,me 7, khi đó nhóm Xyclic ( „›+) là không phân tích được

Chứng minh giả sử ngược lại

Giảsử „=A@B, A,Bz (0), „, AnB={0)

Via,Be ”— hoặc œz< 8 hoặc B<a

Nếu œz</Ø — p?=p®*p“ e< p“> >BcA

=> Af)B=B+{0}=> mâu thuẫn

Nhóm Xyclic cấp p” gọi là nhóm Xyclic nguyên sơ, p là số nguyên tó

Từ các định lý trên ta đi đến kết luận:

1, Một nhóm Xyclic không tầm thường là không phân tích được ©> nó vô hạn hoặc nguyên sơ (tức là có cấp p",me_ *, p là số nguyên tô)

2, V nhóm Xyclic cấp hữu hạn là phân tích được thành tổng trực tiếp của các nhóm Xyclic nguyên sơ

e Nhóm Aben hữu hạn sinh

Nhóm hữu hạn sinh là nhóm có tập sinh là tập hữu hạn

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

=> h là một toàn ánh > X EY eth (theo DL co ban vé déng cau nhóm)

Bồ đề 4 Vơi moi G là nhóm con của nhóm Aben tự do F hạng n đều là nhóm Aben ty do hang r(G) < n

Hơn nữa trong F có co s6 @ = {u,,Uy, ,U, }

Hơn nữa trong G có cơ sở B ={,,v;, ,„} , m=r(G) sao cho v;=tu;

Chung minh

Quy nap theo n:

- n=0 thi F={0} >G={0} r(F)=I(G)=1, chonte * batky tức là

mệnh đề đúng

- _ Giả sử mệnh đề đúng với n-1:

+ B¡ xây dựng 2 hệ phần tử zeƑ' và đ@eŒG

e Vir(F)=n => gid su ý={X,,X,, X„} là cơ sở nào đó củaF,G €

=> VgeG, g có sự biểu diễn duy nhất dưới đạng:

G=k)x;+ +k.x, » ke Vi=ln

Mỗi cơ sở ý chọn số A(E), mỗi geG cho bé phan {k;,k2, k,} c , do do khi đã cô định cơ sở ý thì trong các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của G cho một bộ phân khác đ các số tự nhiên khác 0 vì geG thi -g eG —>3 các

số tự nhiên khác 0 —= có số bé nhất, giả sử là A(é) Lại giả sử 3 cơ sở é để Â(£) nhỏ nhất trong các số đã chọn ở trên

Đặt u;=xị+qazXz†+ +qnạXạ thì ={U),X2, ,X,} la cơ sở của F (giỗng như trong

không gian tuyến tính)

Khi đó ta có vị=tiXị+ » =0,x, + 3 (4, +”,

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Voi O<7, <t,,Vi=2,n Do cach chon t, 6 trén > r=0 Vi=2,n> Vv, =ty,

e Giast HC F duoc sinh béi n-1 phan tit {x, ,x,} => H là nhóm Aben

CƠ SỞ ÍV¿, ,Vmụ} của K sao cho v¡=tu¡,t€ ”, Vị= 2m Và ti¿1:/,„ Vĩ = 2,m7— Ì

Ta cần chứng minh tạ : tị, chia tạ cho tị: tạ=tigi+rị, Sn <f;

Đặt w¡=u¡-q;uạ —> {Wi,M; H,„ cũng là cơ sở của F

Vì r={ui,Xa, ,Xn} là cơ SỞ của F

{Xs, ,Xa} là cơ sở của H » Jn H={0}

Ta có J 1K c J0 (H1 G) co JVNGNHAHc INA

VWVg cG, vì ]J là một cở sở của F — g =cj, + c„w; + +c„M,„c,6 ,Vi=l1,n non?

Chia c; cho t; ta duge c;=tiqtr voi O<r <t,

Ta có {ua, ,ua} là cơ sở của H

{vi} là cơ sở của J *Áz={u,,u,, ,u,} là cơ sở của F

Theo chtng minh trén G=J ®K >VgeG,AlxeJ và yeK sao cho g=x+y

VỚI X=dIVị, dđ,c ,y=d;v; + +đ,v.„ Vì {Va; ,Vm} là cơ sở của K

3!d,e Vi=2,m

=> g=dy,+d,v,+ +d,v,, => 8 ={Vv,,V;, V„} là cơ sở của G

Bo dé 5 Voi moi nhóm Aben voi n phân tử sinh đều đẳng cấu với tổng trực

tiếp của n nhóm Xyclic cập tị,tạ, ,fạ sao cho Í<ứ, <f, < <f, <Sf_ Và f, :É,

nếu t,.¡ là hữu hạn

Chung minh Chả sử X=<{X\.X¿, ,Xa}> là nhóm Aben > VX 1 VỚI F là

BD4 nhóm Aben tự do hạng n, GARF => G cũng la Aben ty do va r(G)=m< n

Ngoài ra có một cơ sở {u,}_, CF Và CƠ SỞ {w,},cœG sao cho v¡=f(U;

Vị =1,m.t, :f,Vi= 2,m ¿+1 "”¡ — Ì

- _ Xây dựng n nhóm Xyclic như sau : Vi =lLn

Với 1<¡<m thì kí hiệu C= <ế >, | á là phân tử nào đó

n>¡>m thì kí hiệu C=<ế, >„ | (nhóm Xyclic cấp tị có thể là( ,,+))

(nhóm Xyclic cấp œ có thể là( ,+))

Kí hiệu ® =©Œ,

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

- _ ta chứng minh 1 $œ:

+ ta đã biết peO> 9: {1,2 n} C=C, UG V UC,

E>ø eCŒ,Vi =l,n + Xác định ánh xạ h: F —œ

Với xeFS x= kixi+kaxzt +k„x„ là biểu diễn duy nhất của x,k;e Vi=Lø

cho ứng với h(x)e® mà h(x) :{1,2, ,n} —>c

i>kế Vi=ln

h(x)()=k¡é e

+ta có h là một toàn cấu vì :

Vx,y€F — giả sử y=kịu + k„u,+ +k)w„ với ke Vi=l,n và

K+Y= Dk, +k,

=((x+ y))0) =(Œ, + k,)é, = kế, + kế, = (ADO + AND

= (h(x)+h(y))@) => h(x+ y)= h()+ h(y)

H là toàn ánh vì Vb C = 3i =1,n để b eC, >b = kế,,3i — 1,nk, c

Nếu i>m thì ord ế =œ=r, —>k¿ =0

Néu ism thi ord é =t, >k, =n,

Dinh li 5 (phan tich): Voi moi nhóm Aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tong truc tiép của một số hữu hạn nhóm Xyclic không phân tích được

Sự phân tích ấy sai khác một đẳng cấu

Nhóm Xyclic không phân tích được hoặc là Xyclic cấp vô hạn hoặc là nhóm Xyclic có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p

(tức là thành phần p- nguyên sơ)

Chứng minh

+Tồn tai sự phân tích

-_ Giả sử X là nhóm Aben có n phần tử sinh

theo BĐS thì 3m< n sao cho

xX OC, voi Ci=< 6, >, nếu 1<¡<m

Cị=< >, nếu m<i<n Theo DL4 thi voi 1<i<m

Trong thực hành ta sắp xếp các hạng tử như sau:

Xuất phát từ thành phần nguyên sơ với sô mũ lớn nhất của số nguyên tô nhở nhất p, sau đó thành phần nguyên sơ với số mũ lớn nhất còn lại của chính p (

nếu có vì các nhóm con Xyclic C;,C; có cấp ti, t; co thể có chung nhân tử

nguyên tô p với các số mũ khác nhau

Vd: yy »® , vi20=275

9 ;® „ vì50=2.5