skkn một số bài toán hình học không gian trong giảng dạy học sinh giỏi khối 12

KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán Số năm có kinh nghiệm: 16 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: o Một số bài toán giải bằng phương pháp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Nam Hà

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG

GIẢNG DẠY HỌC SINH GIỎI KHỐI 12

Người thực hiện: Lê Thị Thu NgaLĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2013 – 2014

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1. Họ và tên: Lê Thị Thu Nga

2. Ngày tháng năm sinh: 07 – 7 – 1975

9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nam Hà

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 1998

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán

Số năm có kinh nghiệm: 16

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

o Một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

o Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong không gian

o Một số phương pháp tính tích phân lượng giác

o Một số bài toán hình học không gian trong giảng dạy học sinh giỏi khối 12

BM02-LLKHSKKN

Tên SKKN : MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG

GIẢNG DẠY HỌC SINH GIỎI KHỐI 12

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Qua nhiều năm dạy học tôi nhận thấy khả năng thu nhận kiến thức và giải quyếtcác bài toán hình học không gian của đa số học sinh là tương đối khó khăn, kể cả họcsinh khá, giỏi Do vậy khi nhận được sự phân công của tổ chuyên môn tham gia vàoviệc bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12, tôi đã soạn một số các nội dung về hình họckhông gian nâng cao phù hợp với đối tượng học sinh mà mình đang tham gia giảngdạy

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

a) Việc đổi mới và nâng cao chất lượng dạy và học là một yêu cầu khách quan,điều đó đã được nghị quyết đại hội đại biểu toàn quốc của Đảng lần thứ 11 khẳngđịnh: “ Không ngừng nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo Đổi mới phương phápdạy và học” (Trang 216 văn kiện ĐHĐB toàn quốc lần thứ 11, NXB Chính trị quốcgia)

b) Thực tiễn tôi nhận thấy thời gian qua việc dạy và học môn toán đã có nhiềuđổi mới, đa số học sinh đã nắm được các kiến thức cơ bản Tuy nhiên đối với đốitượng học sinh giỏi so với yêu cầu đặt ra vẫn còn có những hạn chế Nhằm nâng caochất lượng học cho đối tượng học sinh giỏi, giúp các em nâng cao khả năng phântích, tổng hợp, tìm mối liên hệ giữa các dạng toán nói chung và hình học không giannói riêng cần có những chuyên đề phù hợp và thường xuyên được bổ sung

Từ những vấn đề nêu trên, tôi đưa ra một số các chuyên đề hình học khônggian dành cho đối tượng học sinh giỏi khối 12

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1) Cách thức tổ chức thực hiện:

Phần nội dung này được giáo viên giảng dạy cho học sinh trong đội tuyển họcsinh giỏi khối 12 của trường THPT Nam Hà Học sinh tiếp thu các kiến thức liênquan thông qua giáo viên và các tài liệu tham khảo, sau đó giải quyết các bài toán tựluyện Giáo viên chỉnh sửa và nêu nhận xét bài làm của từng học sinh Thời gian thựchiện giải pháp : Từ tháng 7/ 2013 đến tháng 10/ 2013

2) Các dữ liệu minh chứng quá trình thực nghiệm, đối chứng giải pháp:

A Các bài toán tính góc, khoảng cách, diện tích,…trong không gian:

Các kiến thức cần ghi nhớ:

1 Để tính góc  giữa hai đường thẳng a và b ta có thể sử dụng một trong các

cách sau:

BM03-TMSKKN

a) Xác định góc giữa hai đường thẳng sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

để tính góc giữa hai đường thẳng.

b) Nếu uvà v lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì

Khi đó:  1 2 1 2

cos cos ,

b) Tính qua điểm trung gian:

 Từ A dựng đường thẳng d song song mặt phẳng (P).Khi đó

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d A P d d P d B P ( B là điểm bất kỳ trên d)

 Từ A dựng đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại O Khi đó ( ,( ))

( ,( ))

d A P OA

d B P OB ( B là điểm bất kỳ không trùng O trên d)

b) Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b Khi đó d(a,b) = MN

c) Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng a đi qua A và có vecto chỉ phương u, đường thẳng b đi qua B và có vecto chỉ phương v

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB)

và (SAD) cùng hợp với đáy một góc bằng 450, Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600

a) Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau

b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

Hướng dẫn giải:

a) I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc

của S trên AB và CD Khi đó (SIJ) 

(ABCD)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S

lên mặt phẳng (ABCD), K là hình

chiếu vuông góc của H lên đường

thẳng AD

Khi đó H  IJ, SIH SKH 450

SHI = SHK nên HK = HI Vậy H 

AC

H K

J

C B

A

S

Ví dụ 2: (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2012 - 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AB = a, BC = 2a, SA = a 3 M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB và AD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Gọi K là trung điểm SC

Ta có AM // KN nên AM //( BNK)

Vậy:

d( AM, BN) = d( AM, (BNK))= d(A, (BNK))

H là trung điểm BC Tứ giác ABHN là hình

vuông có tâm I cạnh a, G là giao điểm SH và

BK, AL và GJ là hai đường cao của tam giác

J

G

K M

H

D

C B

A S

Tam giác IHG có :

Tam giác AGI có AL và GJ là hai đường cao nên ta có:

D

C B

A S

Cách 3: Chọn hệ tọa độ Axyz : A(0;0;0)

B nằm trên tia Ox, B(a; 0; 0)

D nằm trên Oy, D(0; 2a; 0)

x

N M

D

C B

A S

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Tam giác ABC vuông tại B, BSC 45 ,0 ASB  Tính tan để góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600

'

6' ' '.tan 60 ' ' 3 tan

2' ' 2

S

Một số bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN

và AC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và

ABC 300 Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 600 Hình

chiếu vuông góc của S lên (ABC) nằm trên cạnh BC Tính khoảng cách giữa SA và BC

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a M, N, I lần

lượt là trung điểm AA’, AB, BC Góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC’

Bài 4: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a G là trọng tâm

tam giác ABC M, N là trung điểm BB’, CC’ Qua G vẽ đường thẳng cắt MN tại P và AB’ tại Q Tính độ dài PQ

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác cân

với AB = AC = a, BAC 1200, BB’ = a Gọi I là trung điểm CC’

a) Chứng minh tam giác AB’I vuông

b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC và SAB là các tam giác đều Chân đường cao

hình chóp đối xứng với tâm O của đáy qua cạnh AB Diện tích toàn phần của hình

chóp là S Tính góc giữa mặt phẳng (SAC) và (ABC)

B Các bài toán tính thể tích khối đa diện.

Một số kiến thức cần ghi nhớ:

4) Trong hệ tọa độ Oxyz :

a) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V ABCD A B C D ' ' ' ' AB AD AA,  '

6) Để xác định chân đường cao của hình chóp ta lưu ý một số trường hợp sau:

 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc có các cạnh bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy

 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp cũng

là đường cao của mặt bên đó

 Hình chóp có hai mặt bên kề nhau vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh chung của hai mặt bên đó

 Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao sẽ cách đều tất cả các cạnh của đáy nên chân đường cao đó sẽ là:

+ Tâm đường tròn nội tiếp đáy nếu nó nằm trong đáy

+ Tâm đường tròn bàng tiếp đáy nếu nó nằm ngoài đáy

 Hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt nằm trên SA, SB, SC nhưng không trùng

S Khi đó ta có .

' ' '

.' ' '

S ABC

S A B C

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có khoảng cách từ C đến mp(SAB)

bằng d và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng  Tính thể tích khối chóp theo d và 

Ví dụ 2: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a Mặt phẳng

(SBC) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) tạo với đáy một góc  Tính thể tích khối chóp S.ABC

Vì H cách đều 2 cạnh AB và AC nên H nằm trên

đường phân giác trong của góc BAC mà ABC

đều nên đường phân giác này cũng là đường

trung tuyến Vậy H là trung điểm BC

Gọi BK là đường cao của ABC

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính theo a thể tích của khối

tứ diện đều MNPQ trong đó M, N là hai đỉnh nằm trên đường chéo B’D của hình lập phương và P, Q là hai đỉnh nằm trên đường chéo AC của đáy

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Giả sử MNPQ là tứ diện đều cạnh b

D'

C' B'

A'

D

C B

Ví dụ 4: Một hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có sáu mặt đều là hình thoi cạnh a, các

góc ở đỉnh A đều bằng 600 Tính thể tích của khối hộp ABCD A’B’C’D’

Theo giả thiết : A’A = A’B = A’D = a

Dựng A’H  (ABCD) thì H là tâm tam giác

2'

Ví dụ 5: Cho tứ diện SPQR có SP = a, SQ = b, SR = c và đôi một vuông góc nhau

A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh PQ, QR, RP

a) Chứng minh rằng các mặt của tứ diện SABC là là các tam giác bằng nhau

b) Tính thể tích của khối tứ diện SABC

Chứng minh tương tự ta có SB = AC, SC = AB

Vậy các mặt của tứ diện SABC bằng nhau (c – c – c )

ABC SABC

B A

R

Q P

Một số bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có CD = a, Đường vuông góc hạ từ trung điểm H của của

đoạn AB xuống đường thẳng CD bằng b và tạo với hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) những góc bằng nhau và bằng  Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Bài 2: Một hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật và có đường cao bằng h Năm

mặt của hình chóp có diện tích bằng nhau Tính thể tích khối chóp đó theo h

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = a, ABCD là hình vuông cạnh a

M là một điểm trên cạnh SB sao cho SM = x (0 < x < a) Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại

N Mặt phẳng (ADM) chia S.ABCD thành 2 phần: một phần là khối chóp S.ADNM

có thể tích V1, phần còn lại có thể tích bằng V2 Tìm x để 1

2

5 4

V

V 

Bài 4: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF, mặt chéo SAC là tam giác vuông có

cạnh huyền bằng a

a) Tính thể tích khối chóp

b) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Các mặt phẳng (ABC’), (AB’C), (A’BC) cắt

nhau tại O H là hình chiếu của O lên (ABC)

a) Chứng minh H là trọng tâm tam giác ABC

b) Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Tính thể tích OABC theo V

Bài 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A, BC = 2a,

BAC Đỉnh A’ cách đều ba điểm A, B, C và cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có AB’CD’ là tứ diện đều cạnh a Tính thể

tích của khối tứ diện ABC’D

Bài 8: Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhau và vuông góc nhau có AB là

đoạn vuông góc chung Trên Ax, By lấy M, N sao cho AM = x, BN = y

a) Chứng minh các mặt của tứ diên MABN là các tam giác vuông

b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện MABN

Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho một điểm O và một đường thẳng d cách điểm O một

khoảng OH = h Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C sao cho BOH COH 300 Trên tia Ot vuông góc mặt phẳng (P) lấy một điểm A sao cho OA = OB Tính thể tích khối tứ diện OABC và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)

C Các bài toán liên quan đến điểm cố định, đường thẳng cố định, mặt phẳng cố định.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB là đáy lớn), I là

trung điểm SC Một mặt phẳng () thay đổi nhưng luôn chứa AI, cắt SB, SD tại M và

N

a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

b) IM cắt BC tại P, IN cắt CD tại Q Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là

giao điểm của SO và AI Khi đó E là điểm

S

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau S là điểm không nằm trong mặt

phẳng (ABCD) , M là điểm di động trên SB Mặt phẳng (MAD) cắt SC tại N Giả sử

AM cắt DN tại I Chứng minh rằng khi M di động trên SB thì I luôn nằm trên mộtđường thẳng cố định

Phương pháp: Chứng minh điểm di động A luôn nằm trên một đường thẳng cố định

A

S

Ví dụ 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt

phẳng , M, N lần lượt là hai điểm di động nằm trên AD và BE sao cho AM BN

MD NE

Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định

Phương pháp: Chứng minh một đường thẳng di động d song song với một mặt phẳng

cố định ta có thể sử dụng một số phương pháp:

+ Định lý Thalès (phần đảo) trong không gian

+ Chứng minh d nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có AM BN

MD NE nên MN, AB và DE cùng song

song với một mặt phẳng (1)

Trong mặt phẳng (ADF) kẻ MK//DF (K  (AF)

Khi đó (KMN) // (DEF) mà MN  (KMN) nên MN

//(DEF)

K

N M

B A

C D

A

Ví dụ 4: (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2010 - 2011)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông M là điểm di động trên đoạn AB ( 0 < AM < AB ) Lấy điểm N thuộc cạnh A’D’ sao cho A’N =

AM Chứng minh rằng MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định khi

M thay đổi

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (ABB’A’) dựng MH// AA’

trong mặt phẳng (ADD’A’) dựng NK // AA’

Khi đó AC  (MHNK) nên AC  MN

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AA’ và CC’

Khi đó IJ cố định

Ta có: IJ //AC và IJ đi qua tâm của hình chữ

nhật MHNK nên IJ vuông góc với MN tại

trung điểm của MN

A'

D

C B

J

I

A

Một số bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Trên các cạnh AA’, BC, C’D’ lấy các

điểm M, N, P sao cho AM = CN = D’P Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luônsong song với một mặt phẳng cố định

Bài 2: Trong mặt phẳng () cho hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy cố định Lấy 2

điểm A, B cố định không nằm trên mặt phẳng () Giả sử đường thẳng AB luôn cắt() Một mặt phẳng () di động luôn chứa AB, cắt Ox tại E và cắt Oy tại F Chứngminh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD Một điểm M di động trong không

gian sao cho ta luôn có AMB AMD 90 

  Chứng minh rằng M luôn nằm trên một mặtphẳng cố định

Bài 4: Cho tứ diện ABCD Hai điểm I, J lần lượt nằm trên hai đường thẳng AD và BC

sao cho IA JB

ID JC Chứng minh IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đaý ABCD là hình bình hành tâm O, M là điểm di

động trên SA Đường thẳng đi qua M và song song AD cắt SD tại N, BN cắt SO tại P

a) Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định

b) Q là điểm nằm trên cạnh CD sao cho CQ SM

CD SA Chứng minh rằng MQ luôn songsong với một mặt phẳng cố định

D Các bài toán chứng minh

Đối với các bài toán chứng minh, học sinh cần phải có kiến thức tổng hợp, biết phân tích giả thiết bài toán, lập được mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu cần chứng minh

để đưa ra được phương pháp giải thích hợp

Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC.

a) Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối SA và

BC, SB và AC, SC và AB đồng quy tại điểm O

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trọng tâm của các mặt ABC, SBC, SAC, SAB Chứngminh rằng SI, AJ, BK và CL cũng đồng quy tại O và ta có

1 4