Gián án Hệ trục tọa độ DECAC vuông góc trong không gian (tiết 35)

Hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gianHệ ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc O gọi là hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz hay hệ toạ độ Oxyz... Toạ độ của vect

1 Hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian

Hệ ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc O

gọi là hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz (hay hệ toạ độ Oxyz).

Trục cao

Điểm O gọi là gốc toạ độ

Chú ý: i , j , k là ba vectơ đơn vị và:

Chú ý: i , j , k là ba vectơ đơn vị và:

i j = k j = j i = 0

1 2 2

2





 j k i

x

y

z

O

i

k j

2 Toạ độ của vectơ đối với hệ toạ độ

Trong không gian cho hệ toạ độ Oxyz và

một vectơ v tuỳ ý.

Tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho:

c = -9k

Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của v.

Kí hiệu: v = (x; y; z) hoặc v (x; y; z).

Ví dụ1 (BT1 SGK) Viết toạ độ của các vectơ sau:

a = -2 i + j = (-2) i + 1 j + 0 k

b = 7 i - 8 k = 7 i + 0 j + (-8) k

= 0 i + 0 j + (-9) k

 a = (-2; 1; 0)

 b = (7; 0; -8)

 c = (0; 0; -9)

v = x i + y j + z k

Vậy: v = (x; y; z)  v = x i + y j + z k

x

y

z

O

i

k j v

Ví dụ 2 (BT2.SGK) Viết d ới dạng của mỗi vectơ sau: x i + y j + z k

a = ;2)

2

1

; 0 (

b = ( 4; 5;0)

d = )

5

1

; 3

1

; (

u = ( 0; 3;0)

a =

 0.i + j + 2 k = j + 2 k

2

1

2 1

b =

 4.i + (-5) j + 0 k = 4 i - 5 j

0.i + (-3) j + 0 k = - 3 j

u =



i + j + k

d =

  31 15

2 Toạ độ của vectơ đối với hệ toạ độ

v = (x; y; z)  v = x i + y j + z k

Câu hỏi: Hãy tìm toạ độ của các vectơ đơn vị ?

Trả lời: i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

y

z

M

1

M

2

M

1

H

2

H

3

M

3

H

O

v

v

2 Toạ độ của vectơ đối với hệ toạ độ

v = (x; y; z)  v = x i + y j + z k

Chú ý:

Gọi , , lần l ợt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy, Oz.M1 M2 M3

2) Cho vectơ v = (x; y; z), khi đó có duy nhất điểm M sao cho v = OM.





















' '

' '

z z

y y

x

x v

v

1) Nếu v = (x; y; z), v’ = (x’ ; y’ ; z’) thì

1

M M2 M3

Khi đó x, y, z là toạ độ t ơng ứng của các điểm , , trên các trục toạ độ

Ox, Oy, Oz

3) x  v i , y  v j , z  v k

Đối với hệ trục Oxyz, nếu thìv  ( x ; y ; z ), v '  ( x ' ; y ' ; z ' )

) '

; '

; ' (

'

) '

;'

;' (

' ) v v x x y y z z

),

;

; (

Ví dụ 3 (BT3, BT4 SGK)

BT3: Cho ba vectơ a  ( 2 ;  5 ; 3 ), b  ( 0 ; 2 ;  1 ), c  ( 1 ; 7 ; 2 )

Tìm toạ độ các vectơ: d a b 3 c

3

1



c b

a

) 1

; 2

; 1 ( ,



a

) 1

; 2

; 0 ( ,



a

) 3

; 5

; 2 ( ),

1

; 4

; 5 ( ,

a

) 3

55

; 3

1

; 11 (



) 3

; 27

; 0 ( 



BT4: Tìm toạ độ vectơ x, biết rằng:

) 1

; 2

; 1









) 3

; 6

; 0 (



) 2

; 2

9

; 2

3 (

)

( 2

1













4 Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ

x

y

z

M

1

H

O x

z

y

Toạ độ của vectơ OM gọi là toạ độ của điểm M

k z j y i x OM z

y x OM

z y x

M  ( ; ; )   ( ; ; )    

Vậy:

Ví dụ 4 (BT6 SGK) Cho bốn điểm không đồng phẳng

Hãy tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

Giải Theo tính chất trọng tâm của tứ diện ta có

),

;

;

(x A y A z A

A  B (x B; y B;z B), ( ; ; ),

C C

C y z x

C 

)

;

;

(x D y D z D

D 

)

( 4

1

OD OC

OB OA

Do đó từ đẳng thức (*) suy ra toạ độ của trọng tâm G của tứ diện ABCD là:

Trong đó các vectơ OA,OB,OC,OD có toạ độ lần l ợt là toạ độ của các điểm A, B, C, D.

Và toạ độ của vectơ OG là toạ độ của điểm G.

; ( xA  xB  xC  xD

;

D C

B

A y y y

)

D C

B

A z z z

4 Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ

k z j y i x OM z

y x OM

z y x

M  ( ; ; )   ( ; ; )    

Câu hỏi 1: Cho điểm M có toạ độ (x; y; z) và dựng hình hộp

chữ nhật nh hình bên.MH2M3H3 H1M2OM1

a) Các điểm và có

mối quan hệ đặc biệt gì với điểm M

3 2

1 ,H ,H

H M1,M2,M3

b) Hãy tìm toạ độ của các điểm

và theo toạ độ của điểm M

3 2

1 ,H ,H H

3 2

1 ,M ,M

M

x

y

z

M

1

M

2

M

1

H

2

H

3

M

3

H

O

z

y x

Trả lời

a) lần l ợt là hình chiếu vuông góc của M

lên các mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, Ozx

3 2

1 ,H ,H

H

lần l ợt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.M1,M2,M3

b) H1( x ; y ; 0 ), H2( 0 ; y ; z ), H3( x ; 0 ; z )

), 0

; 0

; (

1 x

Câu hỏi 2 (TNKQ):

x

y

z

M

1

M

2

M

1

H

2

H

3

M

3

H

O

z

y x

Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M

1) qua gốc toạ độ là

A (x; -y; -z) B (-x; -y; -z) C (-x; y; z) D (z; x; y)

Với mọi điểm M có toạ độ (x; y; z), hãy chọn đáp án đúng?

2) qua mặt phẳng Oxy là

A (x; y; -z) B (x; -y; z) C (-x; y; z) D (-x; -y; z)

3) qua trục Oz là

A (x; y; -z) B (-x; -y; z) C (-y; -x; z) D (y; x; -z)

Qua bài học các em cần

- Hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz trong không gian

- Toạ độ của vectơ và của điểm đối với hệ trục

- Giữa hệ trục toạ độ Oxyz trong không gian và hệ trục toạ độ Oxy

trong mặt phẳng;

3) Biết vận dụng kiến thức vào giải toán

- Giữa các khái niệm, tính chất, định lí về toạ độ của vectơ, của điểm

trên hệ trục toạ độ Oxyz và Oxy

1) Nắm đ ợc:

2) Nhận thấy sự t ơng tự