SKKN sư DUNG VT TRONG CM BDT

Sáng kiến được giải C cấp sở, năm học 2015 2016. Sáng kiến có sự đầu tư nghiêm túc, không sợ bị lừa dối. Sáng kiến giúp người xem tham khảo, có thể bổ sung để làm sáng kiến cho riêng mình, hoặc dùng làm tài liệu để giảng dạy ôn thi học sinh giỏi, ôn thi Đại Học...

TRƯỜNG THPT TRẦN QUANG KHẢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC

Người viết: Bùi Đình Tùng

CưM’gar, tháng 01 năm 2015

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình Toán học phổ thông hiện nay, bất đẳng thức là một

nội dung được đề cập rất ít, chỉ một bài nằm trong chương IV, Sách giáo khoa Đại số 10, Ban cơ bản Và cách chứng minh bất đẳng thức mà sách giáo khoa đề cập tới cũng chỉ dừng lại ở việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si và biến đổi tương đương Vì vậy, học sinh gặp không ít khó khăn khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các phân môn Số học, Hình học, Lượng giác

và Giải tích ở trường THPT Vì thế, học sinh thường lúng túng, không mấy hứng thú khi chứng minh bất đẳng thức

Từ thực trạng đó, người dạy học phải biết tìm cách khơi dậy niềm đam

mê, kích thích sự tìm tòi, bằng cách cho học sinh làm quen với những phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức Từ đó, giúp các em tìm được cách giải những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm thấy vẻ đẹp, sự hấp dẫn và độc đáo trong lời giải bài toán này

Trong chương I Sách giáo khoa, Hình học 10, Ban cơ bản các em học sinh được tìm hiểu về nội dung Vectơ Đây là một công cụ tốt để giải quyết một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức một cách hiệu quả Tuy vậy,

phần lớn học sinh không nghĩ đến và không biết cách sử dụng công cụ vectơ

để chứng minh bất đẳng thức.

Với mong muốn giảm bớt những khó khăn cho học sinh, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về chứng minh bất đẳng thức, đồng thời nâng cao

hiệu quả dạy và học bất đẳng thức, tôi chọn và nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.

2 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu mối quan hệ giữa kiến thức vectơ (cụ thể là 3 tính chất của vectơ ) với dạng toán về bất đẳng thức, từ đó đưa ra cách thức vận dụng những tính chất đó để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, nhằm

mở rộng khả năng nhìn nhận vấn đề trong giải toán nói chung và chứng minh bất đẳng thức nói riêng Qua đó, giúp cho người dạy và học có thêm một cách

để giải quyết tốt những bài toán về bất đẳng thức, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học bất đẳng thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về vectơ, đặc biệt là những tính chất của vectơ có thể sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Từ đó, đưa ra một số bài toán bất đẳng thức có thể sử dụng tính chất của vectơ để giải

4 Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, đề tài có liên quan đến vấn đề sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức; tìm hiểu chương trình, sách giáo khoa Toán THPT

+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: Trải nghiệm thực tế thông qua việc dạy và học chương IV SGK Đại số 10 Ban cơ bản cụ thể bài Bất Đẳng Thức; tìm hiểu vấn đề thông qua việc ôn thi học sinh giỏi chuyên đề Bất đẳng thức

và Bất phương trình

+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho việc dạy các em

sử dụng kiến thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức

5 Đóng góp của đề tài:

- Về lý luận:

+ Góp phần làm rõ thêm mối quan hệ biện chứng giữa các đơn vị kiến thức của chương trình Toán học

- Về thực tiễn:

+ Giúp cho học sinh có thêm một cách nhìn nhận và phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ

+ Góp phần rèn luyện và phát triển tư duy khái quát, tư duy biện chứng cho học sinh qua giải toán chứng minh bất đẳng thức

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Chứng minh toán học

Chứng minh trong Toán học là: Phép chứng minh một mệnh đề (B) là một dãy hữu hạn các mệnh đề A 1 , A 2 , , A n , B trong đó mỗi A i hoặc là tiên đề, giả thiết, định nghĩa, định lí , hoặc là kết luận lôgíc của một số mệnh đề trong dãy đứng trước nó, (B) đứng cuối dãy và là kết luận lôgíc của một số mệnh đề trong dãy đứng trước nó.

Như vậy, chứng minh (B) là tìm ra một dãy hữu hạn A 1 , A 2 , , A n thỏa mãn:

Mỗi A i (i = 1, 2, , n) của dãy đó hoặc là tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy

từ một số trong các A 1 , A 2 , , A i – 1 nhờ những quy tắc kết luận lôgíc; A n chính

là (B);

Mỗi một chứng minh đều gồm 3 thành phần: luận cứ (gồm các tiền đề), luận chứng (lập luận), luận đề (mệnh đề cần chứng minh).

Theo Nguyễn Anh Tuấn (giáo trình Lôgíc toán và Lịch sử Toán học, NXB ĐHSP, 2012)

Như vậy, để chứng minh một bất đẳng thức (coi là một mệnh đề B)

được hiểu là quá trình suy luận diễn dịch: Từ giả thiết và những điều đã được thừa nhận →A 1→ A 2→ → A n→ B.

2 Phương pháp vectơ

• Cơ sở toán học:

Phương pháp vectơ xuất phát từ kiến thức và phương pháp về không gian vectơ trong hình học giải tích; mà thực chất là việc dùng công cụ đại số

để nghiên cứu hình học (đại số hóa hình học)

Trong đó dựa trên hệ tiên đề Weill (với những khái niệm cơ bản là vectơ, điểm) dựa trên hai nhóm tiên đề

Trong nghiên cứu hình học, PP vectơ tương tự như phương pháp tọa

độ, chỉ khác là gần với phương pháp tổng hợp (còn gọi là phương pháp tiên

đề Hình học Ơclit) hơn vì có thông qua yếu tố vectơ (đoạn thẳng phương

-chiều - độ dài) Mặt khác cũng cần thấy rằng: Phương pháp vectơ ứng với quan điểm biến hình, mang màu sắc của cấu trúc đại số, thoát ly trực giác ít hơn so với phương pháp tọa độ

• Một số kiến thức về vectơ:

a Độ dài của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ ar = ( ; );a a b1 2 r = ( ; )b b1 2 Độ dài của vectơ

a

r

là: 2 2

1 2

ar = a +a

b Tích vô hướng của hai vectơ

os( , )

a b= a b c a b

r r r r r r

c Các tính chất của vectơ (sử dụng để chứng minh bất đẳng thức)

Trong phạm vi đề tài này, tôi nêu ra 3 tính chất của vectơ được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức

Tính chất 1: ( )ar 2 = ar 2 ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar r=0

Tính chất 2: ar + ≥ +br a br r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar

và br

cùng chiều

Mở rộng: Với 3 vectơ , , a b cr r r

Ta có: ar + + ≥ + +br cr a b cr r r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar

, br

và cr

cùng chiều

Tính chất 3: a br r ≤ a br r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar

và br

cùng phương

II MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁCH

SỬ DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI BÀI TOÁN

1 Những bài toán sử dụng tính chất 1

2 2

( )ar =ar ≥ 0

Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng tính chất 1 khi trong bài toán

xuất hiện tổng các bình phương hoặc bình phương của một tổng Nhưng cũng có những bài toán người ta cố tình dấu sự xuất hiện của tổng các bình phương hoặc bình phương của một tổng Đối những bài toán dạng này đòi hỏi người học phải phát hiện nhanh, có thể dùng tính chất 1 để biến đổi về bài toán đã cho.

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng : cos2A + cos2B + cos2C

2

3

−

≥

Phân tích bài toán: Chúng ta chú ý trong bài toán có cos2A, cos2B, cos2C.

Bây giờ, gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó:

c OA OBuuur uuur =c C, cos(OB OCuuur uuur, ) =cos2A, cos(OA OCuuur uuur, ) =cos2B Từ đây, ta nghĩ

tới tích vô hướng của hai vectơ:

OA OBuuuruuur uuur uuur= OA OB c OA OBuuur uuur , OB OCuuur uuur = OB OC cuuur uuur os(OB OCuuur uuur, )

OA OCuuuruuur= OA OC cuuur uuur OA OCuuur uuur và khi đó nếu ta gọi R là bán kính của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì R= OAuuur = OBuuur = OCuuur Từ đó, ta nghĩ tới việc

dùng tính chất 1 để chứng minh Cụ thể như sau:

Giải:

Gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có:

2

2

2

3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0 os2 os2 os2

R

R

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur

Suy ra, điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

6cosA.cosB.cosC ≤ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C (1).

Phân tích bài toán: Ta thấy trong biểu thức cần chứng minh xuất hện tổng

các bình phương Vì thế, có thể sử dụng được tính chất 1 Nhưng ở bài toán này chúng ta cần lưu ý, phải xét các trường hợp của tam giác ABC Vì ở bài toán này không nói đó là tam giác như thế nào Cụ thể, ta làm bài toán này như sau:

Giải

Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng Vì khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương

Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ OM ON OPuuuur uuur uuur , ,

sao cho:

cos cos cos









uuuur

uuur

uuur và

ˆ

ˆ ( , )

ˆ

π π π





uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur

Áp dụng tính chất (1), ta có:

(OM ON OPuuuur uuur uuur+ + ) ≥ 0

⇔uuuur +uuur +uuur + uuuur uuur+ uuur uuur+ uuur uuuur≥

0 ) cos cos cos cos

cos cos cos

cos (cos 2 cos cos

os os os 6cos cos cos

2 Những bài toán sử dụng tính chất 2

* ar + ≥ +br a br r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar

và br

cùng chiều

* ar + + ≥ + +br cr a b cr r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ar

, br

, cr

cùng chiều

Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các

bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà

biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đưa về tổng của các bình phương.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng ∀x y R, ∈ , ta có:

4 cos xcos y+ sin (x y− ) + 4sin xsin y+ sin (x y− ) 2 ≥

Phân tích bài toán: Vế trái của bài toán là tổng của hai căn bậc hai, phía

trong căn lại là tổng của các bình phương, sẻ rất thuận lợi nếu chúng ta dùng

vectơ để giải quyết bài toán, cụ thể ta sử dụng tính chất ar + ≥ +br a br r Vậy

ta nên chọn vectơ có tọa độ như thế nào cho phù hợp với bài toán?

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt 2 vectơ ur =(2cos cos ;sin(x y x y− ));

vr=(2sin sin ;sin(x y x y− ))

Ta có: ur + =vr 4 cos2 xcos2 y+sin (2 x y− ) + 4sin2 xsin2 y+sin (2 x y− )

4( os ( ) sin ( )) 2

u vr r+ = c x y− + x y− =

Áp dụng tính chất: ur + ≥ +vr u vr r , ta được:

4 cos 2xcos 2 y+ sin ( 2 x y− ) + 4sin 2 xsin 2 y+ sin ( 2 x y− ) 2 ≥ ⇒điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

a2 +a+1+ a2 −a+1≥2 (1) với mọi a thuộc R

Phân tích bài toán: Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành

tổng các bình phương

2 2

1

+ + = + ÷    +  ÷ ÷  và

2 2

1

− + = − ÷    +  ÷ ÷  .

Từ đó, ta có thể đặt: 1; 3

2 2

r

; 1 ; 3

r

, đến đây sử dụng tính chất

2, ta được điều phải chứng minh Cụ thể như sau:

Giải:

BĐT (1) ⇔ 2 ) 2

2

3 ( ) 2

1

2

3 ( ) 2

1 ( −a + ≥2 Trong mặt phẳng

tọa độ Oxy đặt vectơ: )

2

3

; 2

1 ( +

2

3

; 2

1

v= − Áp dụng tính chất

ur + ≥ +vr u vr r , ta có:

2 2

2

Điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Chứng minh rằng :

2

2 xy y

x + + + y2 +yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3 (x+ y+z) với x, y, z > 0

Phân tích bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều so với bài

toán trước Giáo viên chỉ cần gợi ý cho học sinh trong bài toán này phải sử dụng ba vectơ, vì vế trái của bài toán là tổng của ba căn bậc hai Cụ thể, ta làm như sau:

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt vectơ:

);

2

3

; 2

(x y y

2

3

; 2 (y z z

2

3

; 2 (z x x

w= +

Áp dụng tính chất: u+ v+ w ≥ u+v+w, ta có:

u vr r uur+ + = x y z+ + + x y z+ + = x y z+ + ⇒ điều phải chứng minh

Ví dụ 4 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:

ab

a

b2 + 2 2 +

bc

b

c2 + 2 2 +

ca c

a2 + 2 2 ≥ 3

Phân tích bài toán: Chúng ta để ý điều kiện của bài toán a, b, c > 0 Và ở

vế trái của bất đẳng thức, phía trong các căn có a, b (b, c, c, a) thì dưới mẫu

số của biểu thức đó có tích a.b ( b.c, c.a) Vì vậy, ta nghĩ tới việc đưa các tích a.b, b.c, c.a vào trong dấu căn Khi đó, ta được bài toán quen thuộc Cụ thể, như sau:

Giải: Ta có: VT = 12 22 12 22 12 22

a +b + b +c + c +a Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy, đặt ba vectơ: u ( ;1 2);

a b

=

( ; );

v

b c

=

w ( ; )

c a

=

uur

Áp dụng tính chất: u+ v+ w ≥ u+v+w, ta có:

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Cho x y z+ + ≤ 1. Chứng minh rằng:

82

Phân tích bài toán: Dễ thấy vế trái của bất đẳng thức là tổng của 3 căn bậc

hai và phía trong mỗi căn bậc hai là tổng của các bình phương Vì vậy, bài toán này sử dụng được tính chất 2 Cụ thể, như sau:

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt ba vectơ: u ( ; );x 1

x

=

( ; );

y

=

w ( ; )z

z

=

uur

Khi đó, áp dụng tính chất: u+ v+ w ≥ u+v+w, ta có:

2 2 2 2 2

Ta cần chứng minh 2 1 1 1 2

3

3

0 < t 1

9

≤

( )

+ + + + + ≥ + = + Ta đi chứng minh

9

9t 82

t

+ ≥ ( 0 < t 1

9

≤ ) ⇔ 9t2 − 82t+ ≥ ⇔ 9 0 (9 1)(t− t− ≥ 9) 0 Bất đẳng thức

đúng, do 9 1 0;t− ≤ t− < 9 0 Suy ra, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

3 Những bài toán sử dụng tính chất 3

a br r ≤ a br r

Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các

bài toán chứng minh bất đẳng thức mà khi một vế của bài toán có chứa tổng các biểu thức thì vế còn lại có chứa tích các căn bậc hai hoặc một số

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi a, b, c, ta có:

) )(

(a2 c2 b2 d2

cd

ab+ ≤ + + (3)

Phân tích bài toán: Ta thấy biểu thức trong căn ở vế phải của bất đẳng thức

là tích của hai biểu thức không âm Do đó, ta có thể biến đổi:

2 2 2 2 2 2 2 2

(a +c b)( +d ) = a +c . b +d Và đây chính là tích độ dài của hai

vectơ có tọa độ lần lượt là (a; c) và (b; d) Cộng với chiều của bất đẳng thức

cần chứng minh, ta nghĩ tới tính chất: .a br r ≤ a br r Từ đó, ta giải quyết bài toán như sau:

Giải:

Đặt u=( c a, ); v=( d b, ) Áp dụng tính chất 3, ta có:

u vr r = ab cd+ ≤ u vr r = a +c b +d = a +c b +d ⇒Điều phải chứng

minh

Ví dụ 2 Giả sử hệ phương trình









= + +

= + +

16

3

2 2

2 2

z yz y

y xy x

có nghiệm CMR:

xy + yz + zx ≤ 8

Phân tích bài toán:

Từ giả thiết bài toán

2 2

2

3 3

16

x



Từ đó, giúp ta

nghĩ tới việc đặt ( ; 3 )

x

z

vr= z y+ Sau đó, dựa vào yêu cầu chứng minh của bài toán để chúng ta thêm bớt một lượng cho phù hợp Cụ thể, ta làm như sau:

Giải

Đặt ( ; 3 )

x

z

r

và

u vr r= xy yz zx+ + ≤ u vr r ⇒xy yz zx+ + ≤ = Điều phải chứng

minh

Ví dụ 3 Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:

x+ y+ x ≤ x y z+ + 3

Phân tích bài toán:

Chúng ta viết bài toán đã cho dưới dạng x.1 + y.1 + x.1 ≤ x y z+ + 3, lúc này bài toán trở nên dễ nhận ra hơn nhiều Cụ thể, VT của bài toán chính

là tích vô hướng của hai vectơ uur= ( ; ; );x y z vur= (1;1;1), còn VP là tích độ dài của hai vectơ đó Từ đó, ta giải quyết bài toán này như sau:

Giải:

Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho các vectơ:

( ; ; )

ur

(1;1;1)

v=

ur

Ta có: uur r.v≤ u vr r ⇔ x+ y+ x ≤ x y z+ + 3 là đpcm.

Ví dụ 4 Cho ba số thực a, b, c Chứng minh rằng

a + b + c ≤ 3(a2 + +b2 c2 )

Phân tích bài toán:

Chúng ta viết bài toán đã cho dưới dạng a.1+ b.1 + c.1 ≤ 3 (a2 + +b2 c2 )

Khi đó, ta nghỉ ngay tới VT của bài toán chính là tích vô hướng của hai

vectơ uur= (a;b;c);vur= (1;1;1), còn VP là tích độ dài của hai vectơ đó Từ đó,

ta giải quyết bài toán này như sau:

Giải:

Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho các vectơ:

(a;b;c)

ur

(1;1;1)

v=

ur

Ta có: uur r.v≤ u vr r ⇔ a b c+ + ≤ 3(x y z+ + ) là đpcm

C KẾT LUẬN

Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức không những giúp học sinh khắc sâu hơn kiến thức về vectơ, mà nó còn giúp học sinh bớt đi những khó khăn trong chứng minh bất đẳng thức Qua đó, phần nào giúp cho người học năng động hơn, hấp dẫn hơn và say mê hơn đối với môn Toán nói chung, bất đẳng thức nói riêng

Từ góc độ một giáo viên THPT, xuất phát từ nhu cầu cải tiến và nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, tôi đã nghiên cứu vấn đề trên trong phạm

vi một SKKN, với nội dung dạy học là “Bất đẳng thức” ở lớp 10 Đóng góp chủ yếu của đề tài ở chỗ đã giúp cho người dạy và học có thêm một cách để giải quyết tốt những bài toán về bất đẳng thức

Với một thời gian tìm hiểu và thực nghiệm tại các lớp giảng dạy (lớp 10A1 năm học 2011-2012, lớp 10A2, 10A7 năm học 2012-2013, lớp 10A1,

10A9 năm học 2014 - 2015) tôi đã trình bày đề tài “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức” Nội dung chủ yếu là sử dụng các tính chất của

vectơ vào chứng minh bất đẳng thức

Với thời gian nghiên cứu có hạn, cũng như kinh nghiệm giảng dạy còn

ít, rất mong các thầy cô là anh, chị đi trước góp ý thêm để đề tài có giá trị thực tiễn cao hơn nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói chung, giảng dạy chủ đề bất đẳng thức nói riêng

Tôi xin chân thành cám ơn!