ôn luyện đạo hàm thi thpt quốc gia môn toán

 Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm... Do đó, ta cần phải nắm vững kiến thức về phương trình bậc 2 như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc 2 với 1

Trang 1

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717 Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 sinx'cosx sinu'u'.cosu

 (cos )'x  sinx (cos )'x  u'.sinu

Trang 2

 Để hàm số y f x m ,  đồng biến (tăng) trên

 Bước 1: Tìm miền xác định của y' f x'( )

 Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về

một vế Đặt vế còn lại là g x( ) Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải

để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu g x'( ) ta đưa vào bảng

xét dấu g x'( )

 Bước 3: Tính g x'( ) Cho g x '( ) 0 và tìm nghiệm

 Bước 4: Lập bảng biến thiên của g x'( )

 Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé” Nghĩa là: khi ta đặt

 ( ) 1

m g x hoặc mg x( ) 2  thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị

m  số lớn nhất trong bảng biến thiên ứng với  1 hoặc m  số nhỏ nhất

trong bảng ứng với  2

 Loại 4: Tìm m để hàm số y ax3 bx2 cxd có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) e

Ta giải như sau:

a 



 

 Bước 3: Biến đổi x1x2 e thành x1x224 x x1 2 e2 2 

 Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m

 Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

 Một số lưu ý khi giải toán

Trang 3

☼ Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét và so sánh nghiệm của phương trình

 Giả sử hàm sốy f x  tăng hoặc giảm trên khoảng a b,  ta có: f u( ) f v( )u v

 Giả sử hàm sốy f x  tăng trên khoảng a b,  ta có: f u( )f v( )u v

 Giả sử hàm sốy f x  giảm trên khoảng a b,  ta có: f u( )f v( )uv

 Nếuy f x  tăng trên  a b, vày g x  là hàm hằng hoặc hàm số giảm trên a b,  thì

phương trình f x g x  có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng  a b, Nói cách khác, nếu cóx o  a b, sao chof x o g x o thì phương trìnhf x g x  có nghiệm duy nhất

đồng biến và một hàm nghịch biến Khi đó  C1 và  C2 giao nhau tại một điểm

duy nhất có hoành độ x o Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) Giải bất phương trình: f x g x 

 Bước 1: Xét tính đơn điệu của hàm số h x f x   g x

 Bước 2: Chứng minh h x( ) là hàm đơn điệu    

ỨNG DỤNG SỰ ĐƠN ĐIỆU - GIẢI PT - BPT

Trang 4

  

 Lý thuyết giáo khoa

 Khái niệm cực trị của hàm số: Giả sử hàm sốy  f x( )xác định trên

tậpD D    vàx  o D

 x o là điểm cực đại của hàm số y  f x( ) nếu a b, D và x o a b,  sao cho

     

f x  f x  x a b x Khi đó: f x o được gọi là giá trị cực đại của y f x( )

 x o là điểm cực tiểu của hàm số y  f x( ) nếu a b, D và x o a b,  sao cho

   o ,  ; \ o

f x f x  x a b x Khi đó: f x o được gọi là giá trị cực tiểu của y  f x( )

 Nếu x o là điểm cực trị của hàm số y  f x( ) thì điểm x f x o; ( )o  được gọi là điểm cực

trị của đồ thị hàm số y  f x( )

 Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman)

Nếu hàm số y  f x( )có đạo hàm tại x o và đạt cực trị tại điểm đó thì f x ' o 0 Nghĩa

là hàm số y  f x( ) chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm

 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

 Định lý 1: Giả sử hs y f x( ) liên tục trên khoảng a b; x ovà có đạo hàm a b, \  x o

◊ Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x o thì y f x( )đạt cực tiểu tại

x

Điểm cực tiểu

Điểm Điểm cực tiểu cực đại

a x o b

y

 Tập hợp các tâm đường tròn (quỹ tích tâm I của đường tròn)

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn  C , ta có thể làm theo các bước sau

 Bước 1 Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I

 Bước 2 Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I  

 Bước 3 Khử m giữa x và y ta được phương trình F x; y  0

 Bước 4 Dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền của x hoặc y

 Bước 5 Phương trình tập hợp điểm là F x; y  cùng với phần giới hạn ở bước 4 0

 Lưu ý: Để tìm tập hợp điểm là đường tròn, ta cũng thực hiện tương tự như các

bước trên

 Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng : AxByC0 và đường tròn

 C : x2 y22ax2by c 0, ta có thể thực hiện như sau

 Phương pháp 1 So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bán kính R

 Xác định tâm I và bán kính R của  C

 Tính khoảng cách từ I đến  + d I;  R   cắt  C tại hai điểm phân biệt

+ d I;  R   tiếp xúc với  C + d I;  R   và  C không có điểm chung

 Phương pháp 2 Toạ độ giao điểm (nếu có) của  và  C là nghiệm của hệ phương trình:

+ Hệ   có 2 nghiệm   cắt  C tại hai điểm phân biệt

+ Hệ   có 1 nghiệm   tiếp xúc với  C + Hệ   vô nghiệm   và  C không có điểm chung

 Vị trí tương đối của hai đường tròn  C1 và  C2

 I I1 2 R1R2  C1 tiếp xúc ngoài với  C 2

 I I1 2  R1R2  C1 tiếp xúc trong với  C 2

 I I1 2 R1R2  C1 và  C ở ngoài nhau 2

 I I1 2  R1R2  C1 và  C ở trong nhau 2

Trang 5

f/ Dạng 6  C đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B

 Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và  

 Xác định tâm I   d '

 Bán kính I d

g/ Dạng 7  C đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2

 Tâm I của  C thoả mãn:      

o Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong  1 , ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1

và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2

o Nếu 1 // 2, ta tính R 1d 1, 2

2

   , và  2 được thay thế bới I  d

h/ Dạng 8  C tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường

 Phương trình của  C có dạng: x2 y22ax2by c 0  

 Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào   ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c

 Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của  C

 Định lý 2: Giả sử hàm số y  f x( )có đạo hàm trên a b; x o; f x ' o 0 vàf x '' o 0

◊ Nếu f '' x  o 0 thì y  f x( ) đạt cực đại tại x o

◊ Nếu f '' x  o 0 thì y  f x( ) đạt cực tiểu tại x o

 Một số lưu ý khi giải toán

 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại '( ) 0

''( ) 0

o o

o

y x x

o

y x x

o

y x x

 Nếu y' không đổi dấu khi đi qua nghiệm (nghiệm kép) thì hàm số không có cực trị

 Đối với hàm bậc 3 thì y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm có cực trị

 Không cần xét hàm số y  f x( ) có hay không có đạo hàm tại điểm x x o nhưng không

thể bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục tại điểm x o”

 Nếu x o là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị bằng cách thay x o vào

( )

y f x y o  f x( )o hoặc có thể thay x o vào phương trình đường thẳng nối hai điểm

cực trị:

 Hàm bậc ba: y f x ax3 bx2 cx d

o Chia f x( ) cho f x'( ) ta được: f x( )Q x f x( ) '( )Ax B

o Khi đó, giả sử x y , 1, 1 x y là các điểm cực trị thì: 2, 2  

o o

o

Q x y

 Hàm số y  f x( ) có n cực trị  y’ = 0 có n nghiệm phân biệt

 Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng: yax4bx2c a 0

Trang 6

 

Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a  0

Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a  0

 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x 0

Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi a  (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại) 0

Hàm số chỉ có cực đại khi a  (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu) 0

Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a  0

Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a  0

 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm

Khi đó: Hàm chỉ có cực tiểu khi a  (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại) 0

Hàm số chỉ có cực đại khi a  (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu) 0

 Một số lưu ý khi giải toán

 Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường là nghiệm của phương trình bậc 2 Do đó, ta cần phải nắm vững kiến

thức về phương trình bậc 2 như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc 2 với 1 số  bất

kỳ, các điều kiện có nghiệm của phương trình, … đồng thời, nó liên quan đến một số tính chất

của hình học phẳng (xem phần ôn tập hình học phẳng trang 5)

A và B phải nằm về hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng của đồ thị

Trong mặt phẳng Decac Oxy cho:

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

d/ Dạng 4  C đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng Δ

 Xác định tâm I    d

 Bán kính R IA

e/ Dạng 5  C đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng 

 Tâm I của  C thoả mãn:

Trang 7

 Các bài toán dựng tam giác

Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam

giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó Để giải loại bài toán này ta thường sử

dụng đến các cách dựng tam giác Ta thường gặp một số loại cơ bản sau đây

a/ Loại 1 Dựng ΔABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường

cao BB, CC

 Xác định tọa độ các điểm BBCBB ', C BCCC '

 Dựng AB qua B và vuông góc với CC

 Dựng AC qua C và vuông góc với BB

 Xác định tọa độ AAB AC

b/ Loại 2 Dựng ΔABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường

cao BB, CC

 Dựng AB qua A và vuông góc với CC

 Dựng AC qua A và vuông góc với BB

 Xác định BABBB ', C ACCC '

c/ Loại 3 Dựng ΔABC, khi biết đỉnh A, 2 đường thẳng chứa 2

đường trung tuyến BM, CN

 Xác định trọng tâm GBM CN

 Xác định A đối xứng với A qua G (BA // CN, CA // BM)

 Dựng dB qua A và song song với CN

 Dựng dC qua A và song song với BM

 Xác định BBMd , CB CNdC

d/ Loại 4 Dựng ΔABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và

trung điểm M của cạnh BC

 Xác định AAB AC

 Dựng d1 qua M và song song với AB

 Dựng d2 qua M và song song với AC

 Xác định trung điểm I của AC : IACd1

 Xác định trung điểm J của AB : JABd2

A

B' C'

 Vị trí tương đối – Khoảng cách – Góc

 Xem lại lí thuyết

 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau

+ Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng

+ Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó

 Để A và B nằm về 2 phía (khác phía) so với đường thẳng  ax Aby Ac ax  B by B c0

 Để A và B nằm về cùng phía so với đường thẳng  ax Aby Ac ax  B by B c0

 Để A và B cùng nằm trong đường tròn hay cùng nằm ngoài đường tròn

 Cách 1: Dùng bảng biến thiên để tìm max – min Phương pháp này thường dùng cho

bài toán tìm GTLN và GTNN trên một khoảng

– Dạng toá: Tìm GTLN và GTNN dựa vào định nghĩa và tính chất

maxf x M f x, M

minf x n f x, m

Trang 8

 Bước 1: Tính f x' 

 Bước 2: Xét dấuf x'  và lập bảng biến thiên

 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

 Cách 2: Thường dùng khi tìm max – min của hàm số liên tục trên một đoạna b, 

[ , ][ , ]

 Một số lưu ý khi giải toán

 Lưu ý 1: Phương trình f x '  0có thể là phương trình mũ, logarit, đại số, lượng giác, … Do đó đó, cần

nắm vững kiến thức về cách giải phương trình các loại

 Lưu ý 2: Đối với hàm lượng giác dạng: 1 1 1  

 Lưu ý 4: Để tìm tham sốm n, của hàm sốf x m n( , , )vớixlà biến số sao cho ( , , ) có

max ( , , )f x m n a và min ( , , )f x m n b Ta làm như sau:

 Bước 1: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D mà đề cho hoặc ta tìm

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng a khi và chỉ khi

 Tương tự ta được phương trình (2)

 Bước 3: Giải hệ phương trình  

Dạng toán 1 Lập phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan

Lập phương trình đường thẳng d

 Bước 3 Tọa độ điểm cố định:

+ Nếu   được biến đổi về  1 thì tọa độ thỏa A 0

Trang 9

 Góc giữa hai đường thẳng

 Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y1 c1 0 có VTPT n1 a ;b1 1 và đường thẳng

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng:

Cho đường thẳng : axby c 0 và hai điểm M x ; y , N x ; y M M  N N 

+ M, N nằm cùng phía đối với  axM byM c ax N byN c 0

+ M, N nằm khác phía đối với axM byM c ax N byN c 0

 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y1 c1 0 và 2 : a x2 b y2 c2 0 cắt nhau

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:

Đặt vấn đề: Tìm max – min của hàm số y f x( ) trên một miền D cho trước ?

 Bước 1: Gọi y o là một giá trị tùy ý của ( )trên D, thì hệ phương trình (ẩn x)

 Bước 2: Tùy theo điều kiện của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng

Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: my o M 3  Vì y o là một giá trị bất kỳ của f x( )nên từ  3 ta suy ra được: D

D

min ( )max ( )

 Phương trình hoành độ giao điểm của  C1 và  C2 là f x( )g x( ) ( ) 

 Để  C1 cắt  C2 tại nđiểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm [phương trình( ) ] có n nghiệm phân biệt

 Lưu ý 1: Nếu một trong hai đồ thị trên có dạng hữu tỉ và có TXĐ D \  Khi đó,

để  C1 cắt  C2 tại n điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm [phương trình( ) ]

có n nghiệm phân biệt 

 Lưu ý 2: Định lí Viét đối với phương trình bậc ba: ax3 bx2 cx d 0,a0

Nếu phương trình bậc ba dạng ax3bx2cx d 0,a0 có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3

a d

trục hoành Ox tại nđiểm phân biệt (Phương pháp cực trị)

Lúc đó, phương trình hoành độ giao điểm: ax3 bx2 cx  d 0  

 Để  C cắt Oxtại 3 điểm phân biệt  có 3 nghiệm phân biệt  

(lúc này đồ thị  C tiếp xúc với trục hoành Ox)

Bài toán 2 Giao điểm của hai đồ thị

Trang 10

 Để  C cắt Oxtại 1 điểm duy nhất  chỉ có 1 nghiệm

 Lưu ý 5: Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y ax4bx2 c C   cắt

trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng (cách đều nhau) ?

Phương trình hoành độ giao điểm: ax4 bx2  c 0 1  

Do 4 nghiệm này lập thành cấp số cộng (hay cách

đều)  t1  t2 2 t1 9t1t2 Kết hợp định lí Viét, ta tìm được tham số So

với  3 giá trị tham số thỏa yêu cầu bài toán

 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  C tại điểm M x y o, o:

 Phương trình tiếp tuyến có dạng Pttt: y k tt.xx oy o   vớik tt f x' o

 Tính y' f x' k tt  f x' o

 Thay x y k o, ,o tt vào   Phương trình tiếp tuyến cần tìm

TIẾP TUYẾN

Được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

+ Đường thẳng  đi qua điểm M x ; y và có hệ số góc k Phương trình của o o o

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

 Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y1 c1 0 và 2: a x2 b y2 c2 0

 Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình 1 1 1  

Trang 11

 Phương trình tổng quát của đường thẳng

 Phương trình: axby  với c 0 a2b2  (a, b không đồn thời 0 0) được gọi là phương

trình tổng quát của đường thẳng

 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

 Vectơ u 0 được gọi là véctơ chỉ phương VTCP của đường thẳng  nếu giá của nó 

song song hoặc trùng với Δ Kí hiệu VTCP u

 Nhận xét

+ Nếu u là một VTCP của  thì ku k  0cũng là một VTCP của 

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP

 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 Vectơ n 0 được gọi là véctơ pháp tuyến VTPT của đường thẳng  nếu giá của nó 

vuông góc với  Kí hiệu VTPT n 

 Nhận xét

+ Nếu n là một VTPT của  thì kn k  0 cũng là một VTPT của 

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT

+ Nếu u

là một VTCP và n

là một VTPT của  thì u n

 Phương trình tham số của đường thẳng

 Cho đường thẳng  đi qua M x ; y và có o o o VTCP u u ;u1 2 Phương trình tham số của

● ktan với



o

xAv90

yv

HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

 Lưu ý: Viết Pttt là tìm ba thành phần x y k o, ,o tt Một số cách tìm hệ số góc k tt thường gặp:

o Nếu Pttttạo với chiều dương Oxmột góc thì k tt  f x' o  tanx o y o

o Nếu Pttt tạo với : y axb một góc thì tan

tt C

Trang 12

 Logarit thập phân: lgblogb log10b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb loge b

 loga b  .loga b  loga b2 2 loga b

d/ Các công thức đổi cơ số

Nếu P 0 Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d

Nếu P 0 Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d

 Tìm điểm M x, y d : AxByC để 0

max

MAMB + Trường hợp 1 Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d

o max

c/ Dạng toán 3 Tìm hình chiếu vuông góc của A x ; y A A lên BC với B x ; y ,C x ; y  B B  C C

Gọi H x ; y H H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC

Tọa độ điểm H thỏa hệ phương trình: AH BC

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	3,07 MB