Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 5: Nguyên hàm - Tích phân)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I.. Khóa học Luyện thi THPT

Trang 2

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx

Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và

được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )

Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫f x dx( ) =F x( )+C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

a) Tính chất 1: ( ∫f x dx( ) )′ = f x( )

01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Trang 3

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,

mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Trang 4

d x dx

Trang 5

Trang 6

x d

Trang 7

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4( ) ln

32( )

x

F x

x x

2 1( ) ln

2 1

2 2( 1)( )

Trang 8

2 3( )

3 5

Tìm m x

Trang 9

x x

( ) ( ) . , , ( ) ( 3 2)

x x

Bài 5: [ĐVH] Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin3 , ,

∫

Trang 10

I =∫ dx 52) I52 =∫32x+1dx

Trang 11

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f '( )x dx

Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và

được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )

Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫f x dx( ) =F x( )+C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:

a) Tính chất 1: ( ∫f x dx( ) )′ = f x( )

01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Trang 12

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,

mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Trang 13

d x dx

Trang 15

x d

Trang 16

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

4( ) ln

32( )

x

F x

x x

2 1( ) ln

2 1

2 2( 1)( )

Trang 17

2 3( )

3 5

Tìm m x

Trang 18

x x

( ) ( ) . , , ( ) ( 3 2)

x x

Bài 5: [ĐVH] Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin3 , ,

∫

Bài 12: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau:

Trang 19

I =∫ dx 52) I52 =∫32x+1dx

Trang 20

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

2

11

Trang 21

x

d n u

x x

x dx

d x x

Trang 22

Ví dụ 5: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) I13=∫3sin cosx x dx b) 14 sin5

x dx d x u

a) I16=∫tanxdx b) I17 =∫ sin 4 cos 4x x dx c) 18 sin

1 3cos

x dx I

x

=+

∫

Lời giải:

a) Sử dụng các công thức

sin x (cos )ln

du

u C u

d u u

Trang 23

2

dx

x u

tancos

1

1 tancos

dx

x

x x

tan tan 1 tan (tan ) tan tan (tan )

2

dx

x u

Trang 24

b) Sử dụng các công thức

1sin x cos

1

n n

1

.2

x

x e

Trang 25

1 Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn

x

−

∫

Trang 26

• 8 sin 2

7 2 cos 2

xdx I

−

∫

Trang 27

x

x e

x

=+

x

+

=∫

Trang 28

DẠNG 1 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN

1

x dx I

t tdt tdt dx

xdx

t x

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn

Trang 29

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

b) Đặt

3

3 3

3ln

2

22

t x

dx tdt x

2

11

2

1

x x

Trang 30

=+ +

=

+

Trang 31

DẠNG 2 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Trang 32

29

2(2 tan ) 2(1 tan )

Trang 33

2

cossin sin

1

11

x

t t

sin 1 cos (1 cos )(1 cos )sin 3 cot

Trang 34

=

−

∫

Trang 35

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

x x I

Trang 36

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2

Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số

Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên

Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để

Trang 37

Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta

có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!

Trang 38

∫

Trang 39

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo)

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2

du

C u u

=+ +

dx I

Trang 40

t t

Trang 41

Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm

đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách

thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học

Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

=+ +

dx I

Trang 42

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3

Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích và đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy)

( )( ) ax

Trang 43

∫

Trang 44

dx I

Trang 45

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3

TH2: Q(x) = 0 có 2 nghiệm: một nghiệm đơn, một nghiệm kép

Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến

Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Trang 46

Ta có

125

Q x ax bx cx d x x mx nx p , trong đó mx2+nx+ =p 0 vô nghiệm

Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:

1 1

Trang 47

- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Trang 48

(3 2 )(4 3)

x x dx I

2

4( 1)

x

=+

Trang 49

I KĨ THUẬT PHÂN TÍCH TỬ CÓ CHỮA NGHIỆM CỦA MẪU SỐ

−

=+

+

=+

∫ x dx

I x

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P1

Trang 51

III KĨ THUẬT XỬ LÍ NGUYÊN HÀM CÓ MẪU BẬC 6

=

∫

05 MỘT SỐ KĨ THUẬT TÌM NGUYÊN HÀM HỮU TỈ - P2

Trang 52

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG

Các hằng đẳng thức lượng giác:

2 2

sin cos 11

1 tancos

1

1 cotsin

tan cot 1

x x

2

1 cos 2sin

2

x x

- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: sin 2 2sin cos2 2 2 2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

Trang 53

Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin cos

2

2sin

t x t

Trang 54

III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

2 4 2 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

sin 3 cos sin 4 sin 2

9

2 2

Trang 55

a) I1=∫sin cos 2x x dx b) I2=∫sin 3 cosx x dx

c) I3=∫(2sin2x−sin cosx x−cos2x dx )

Trang 56

Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sinx, cosx

sin sin cos sin (sin ) sin (sin )

3

2 2

Trang 57

Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 ln sin 1

4 sin 1 sin 1 sin 1

1 cos

x dx I

x

=+

cos 1

x dx I

4sin 4sin sin

4 1 cos sin 4sin 2sin 2

Trang 58

x dx I

Trang 59

c) I3=∫sin cos (1 cos )x x + x 2dx d) 4 cos 2

∫

a) I1=∫cos 2 (sinx 4x+cos4x dx) b)

∫

5 cos 2

xdx I

Trang 60

Dạng 3 Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2

sin sin cos cos

A x+B x x+C x thì ta chia cả tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x

Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan 2 x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính

07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moonv.vn

Trang 61

Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau:

x x

3

tantan

x x

Trong cả hai nguyên hàm I 5 và I 6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số

có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều!

2sin 5sin cos 3cos

dx I

=

∫

Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta

cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự Chia cả tử và mẫu số

tan

2sin 5sin cos 3cos 2 tan 5 tan 3 2 5 3

Trang 62

Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, hoặc khai triển công thức lượng giác cho cách giải dưới ta sẽ thu

được cùng một kết quả Nếu các em không tự tin với khẳng định đó thì thầy sẽ chứng minh điều này

x

1 sin 2

dx I

x

=+

Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên

Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin 2n x thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích

1 2

d A sin x B cos x C A cos x B sin x dx

d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx

Cách giải:

Trang 63

Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( )2

x

=+

Do cos2xdx=1 d sin 2x( )=1 d 1 sin 2x( + )

2 2 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau:

d ( A sin x B cos x C ) ( A B ) sin 2 x dx

d sin x cos x sin 4 x dx

Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa 6 + 6 = −3 2

sin x cos x 1 sin 2x.

Trang 64

x dx I

−

++

Trang 65

sin cos 1 sin 2

44

(sin 2 cos )

dx I

Trang 66

Dạng 6 Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân     ←   → ←   →   +  

2 2

21

1cos α 1

cos α

α2sin

2

dx x

I

dx x

2 2 2

1 tan

22

1cos1

Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t

Định dạng
Số trang	98
Dung lượng	3,08 MB